Kürzen in Restklassenringen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Do 07.07.2005 | | Autor: | Nike001 |
Hi ihr!
Könnte mal wieder eure Hilfe gebrauchen, sitze gerade wiedermal vor einer alten Examensklausur und kann in keinem meiner Bücher eine Antwort auf folgende Frage finden:
In Z/6 ist 1*2 = 4*2. Daraus folgt aber nicht 1=4, vielmehr ist [mm] 1\not=4. [/mm] Wann darf man in Restklassenringen kürzen? (Anm.: Die Zahlen sind jeweils in Restklassenschreibweise, also mit Querstrich drüber, angegeben)
Also warum 1 hier ungleich 4 ist ist mir klar, aber wann darf man kürzen? (mathematische Festlegung/Satz o.Ä.?)
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe.
Liebe Grüße,
Nicole
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Do 07.07.2005 | | Autor: | taura |
Hi Nicole!
Ich vermute, dass du genau dann kürzen darfst, wenn der fragliche Ring ein Körper ist, sprich, durch eine Primzahl induziert. Also: [mm]\IZ_2, \IZ_3, \IZ_5, \IZ_7[/mm] usw.
Wäre aber noch zu beweisen, sollte vielleicht mal jemand drüberschauen...
Gruß Biggi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Do 07.07.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Die Vermutung der anderen Antwort geht schon in die richtige Richtung. Die sogenannten Kürzungsregeln gelten in einem Ring nur dann, wenn der Ring nullteilerfrei ist. [mm] $\IZ_6$ [/mm] ist nicht nullteilerfrei, denn in ihm ist
$0 = 2*3$.
Brauchst du hierfür noch einen Beweis?
Gruß Micha 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:04 Do 07.07.2005 | | Autor: | Nike001 |
Hi Micha,
erstmal vielen Dank für die superschnelle Antwort. Ich schätze zwar dass ich der Fragestellung nach keinen Beweis dafür geben müsste, würde ihn aber trotzdem gerne haben um das ganze nachvollziehen und für den Fall der Fälle verstehen und auch selbst anwenden zu können.
Danke schonmal!
Liebe Grüße,
Nicole
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Do 07.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> Hi Micha,
>
> erstmal vielen Dank für die superschnelle Antwort. Ich
> schätze zwar dass ich der Fragestellung nach keinen Beweis
> dafür geben müsste,
Beweis wofür? Im Übrigen: man kann die Frage, für welche Zahlen in einem Ring die Kürzungsregeln gelten, durchaus formulieren - hier würde sich die einheitengruppe anbieten!
> würde ihn aber trotzdem gerne haben um
> das ganze nachvollziehen und für den Fall der Fälle
> verstehen und auch selbst anwenden zu können.
Wofür denn *genau*?
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:49 Fr 08.07.2005 | | Autor: | Gnometech |
Grüße!
Um noch etwas präziser zu sein: Du kannst ein Element kürzen, wenn es sich um eine Einheit in dem Ring, d.h. ein invertierbares Element handelt.
In den Restklassenringen [mm] $\IZ_n$ [/mm] sind die Einheiten genau die Zahlen, die relativ prim sind zu $n$.
Also im Fall [mm] $\IZ_6$ [/mm] dürftest Du den Faktor 5 kürzen, aber den Faktor 2 eben nicht - und den Faktor 4 auch nicht, denn $ggT(4,6) = 2 [mm] \not= [/mm] 1$.
Daraus folgt sofort, dass für eine PRimzahl $n$ mit jedem Element ungleich 0 gekürzt werden kann, weil jedes relativ prim ist. 
Der Beweis ist übrigens nicht schwer und folgt im Prinzip aus dem eukl. Algorithmus:
Sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] und wir betrachten den Restklassenring [mm] $\IZ_n$. [/mm] Sei $a [mm] \in \IZ$ [/mm] relativ prim zu $n$. Ich will im folgenden die Restklasse von $a$ in [mm] $\IZ_n$ [/mm] mit [mm] $\overline{a}$ [/mm] bezeichnen.
Nach dem euklidischen Algorithmus (bzw. einer Folgerung daraus) kann ich den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen als ganzzahlige Linearkombination dieser Zahlen darstellen. Es gibt also $u, v [mm] \in \IZ$ [/mm] mit
$u [mm] \cdot [/mm] a + v [mm] \cdot [/mm] n = 1$.
Wenn ich mir diese Gleichung im Restklassenring anschaue, fällt der zweite Summand weg, da [mm] $\overline{n} [/mm] = [mm] \overline{0}$ [/mm] und es folgt:
[mm] $\overline{u} \cdot \overline{a} [/mm] = [mm] \overline{1}$.
[/mm]
Also ist [mm] $\overline{a}$ [/mm] in [mm] $\IZ_n$ [/mm] eine Einheit (=invertierbar) mit dem Inversen [mm] $\overline{u}$.
[/mm]
Und daher können wir kürzen:
Aus [mm] $\overline{b} \cdot \overline{a} [/mm] = [mm] \overline{c} \cdot \overline{a}$ [/mm] folgt sofort [mm] $\overline{b} [/mm] = [mm] \overline{c}$, [/mm] indem man beide Seiten mit [mm] $\overline{u}$ [/mm] multipliziert.
Alles klar?
Lars
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Fr 08.07.2005 | | Autor: | Nike001 |
Hi ihr!
Wollte mich bei allen für die Antworten bedanken. Habt mir prima weitergeholfen :)
Liebe Grüße,
Nicole
|
|
|
|
