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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:55 So 08.07.2012 | | Autor: | poke |
| Aufgabe | | Ein Beweis, den ich mal zur Diskussion stellen wollte. |
KÜRZEN VON SUMMENTERMEN
Bewiesen werden soll, dass das Kürzen von Summentermen (Kürzung von Teilsummen) möglich ist.
Es sei:
(a + b + c + d + e)/(a + b) = p/q mit x ∈ R, p ≠ 0, q ≠ 1, p ≠ q
(und also auch p - q ≠ 0)
Die Einschränkung erfolgt, weil für diese Fälle die Lösung trivial ist. Es folgt weiter:
(a + b) + (c + d + e)/ (a + b) = 1 + (c + d + e) = p - q + 1
Aus der angenommenen Äquivalenz folgt:
p/q = p - q + 1
p = pq - q2 + q
p – pq - q + q2 = 0
(p - q) * (1 - q) = 0
Diese Gleichung ist nur erfüllt für p - q = 0 und q = 1, also die Fälle, die ausgeschlossen wurden.
Es folgt daraus, dass das Kürzen von Summentermen nicht möglich ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:11 So 08.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ein Beweis, den ich mal zur Diskussion stellen wollte.
> KÜRZEN VON SUMMENTERMEN
>
> Bewiesen werden soll, dass das Kürzen von Summentermen
> (Kürzung von Teilsummen) möglich ist.
>
> Es sei:
>
> (a + b + c + d + e)/(a + b) = p/q mit x ∈ R, p ≠ 0,
> q ≠ 1, p ≠ q
> (und also auch p - q ≠ 0)
Sollte nicht auch q [mm] \ne [/mm] 0 sein ?
>
> Die Einschränkung erfolgt, weil für diese Fälle die
> Lösung trivial ist.
Welche Lösung ?
> Es folgt weiter:
>
> (a + b) + (c + d + e)/ (a + b) = 1 + (c + d + e) = p - q
> + 1
Das ist nun ünerhaupt nicht nachvollziehbar !!
>
> Aus der angenommenen Äquivalenz
Von welcher Äquivalenz ist hier die REde ?
> folgt:
>
> p/q = p - q + 1
>
> p = pq - q2 + q
>
> p – pq - q + q2 = 0
>
> (p - q) * (1 - q) = 0
>
> Diese Gleichung ist nur erfüllt für p - q = 0 und q = 1,
> also die Fälle, die ausgeschlossen wurden.
>
> Es folgt daraus, dass das Kürzen von Summentermen nicht
> möglich ist.
>
Was Du hier treibst ist völlig unklar !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 So 08.07.2012 | | Autor: | poke |
Lieber Fred,
q ≠ 0; da hast du natürlich völlig recht, aber für den Beweis ist es nicht notwendig.
Lösung ist sicher missverständlich, korrekt wäre wohl Wert des Bruchs, meint: für die ausgeschlossenen Werte von p und q stellt sich das "Problem" des Kürzens von Summenthermen nicht, d.h. das Ergebnis wäre trivial, weshalb die genannten Werte für p und q ausgeschlossen sind. Anders gesagt: für p = 0, q = 1 und p = q stellt sich das Problem des Kürzens nicht, weil es keine echten Brüche sind. Aber am Ende kommt heraus, dass das Kürzen von Summenthermen nur genau in diesen Fällen möglich ist, also nur genau dann, wenn ein Bruch kein Bruch ist. Ich glaube man nennt dieses Beweisverfahren Reductio ad absurdum. Aber weiter im Text:
Btr. Nachvollziehbarkeit & "Äquivalenz":
(a + b + c + d + e) = p
(a + b) = q
(c + d + e) = p - q
=>
(a + b + c + d + e)/(a + b)
=
(a + b)/(a + b) + (c + d + e)/(a + b)
oder
p/q
=
[q + (p - q)]/q
=
q/q + (p - q)/q = 1 + (p -q)/q (so wäre es richtig)
Nun nehme ich aber an, dass man Summentherme kürzen kann. Um die Unrichtigkeit zu beweisen kürze ich im Summentherm:
[q + (p - q)]/q
=
q/q + (p - q) = 1 + (p - q) (! falsch, aber eben angenommen es wäre richtig)
Da sich beim Kürzen der Wert eines Bruches nicht ändert folgt die "Äquivalenz":
p/q = 1 + (p - q) usw. s. Gleichungsumformung im Artikel u. Conclusio.
Ich hoffe, ich konnte meine Beweisführung jetzt verständlich machen (wahr wohl doch recht unklar).
Besten Gruß
Hagen
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