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Forum "Physik" - Kugel rollt Ebene hinab
Kugel rollt Ebene hinab < < <
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Kugel rollt Ebene hinab: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 18:02 Mi 08/01/2020
Author: makke306

Aufgabe
Eine Kugel rollt eine geneigte Ebene mit dem Neigungswinkel α=20° hinab.
A)Welche Zeit benötigt die Kugel vom Stillstand aus für die Strecke [mm] S_1=1m [/mm]
B)Welche Geschwindgikeit v hat der Schwerpunkt zur Zeit [mm] t_1 [/mm]

Kann mir jmd. sagen ob mein Rechenweg so korrekt ist:

Für die Zeit [mm] t_1 [/mm] habe ich die Formel für die Gleichmäßig Beschleunigte Bewegung hergenommen da der Körper in Y Richtung fällt. S=1/2*g*sinα => [mm] \wurzel{\bruch{2s}{g*sin\alpha}} [/mm] = 0,77s
B)
Energieerhaltungssatz:
[mm] Epot_1=Ekin_2 [/mm]
[mm] Ekin_2=E_trans [/mm] + E_pot
Trägheitsmoment Kugel= [mm] I_s=2/5mr^2 [/mm]

Wenn ich inden Energieerhaltungssatz die Translationsbewegung und die Rotationsbewegung einsetze komme ich auf eine Geschwindigkeit von v= [mm] \wurzel{\bruch{10}{7}*g*h} [/mm]
Aber ich glaube dass da mein Ansatz nicht stimmt da ich hier ja nicht die Höhe sondern den Weg [mm] s_1 [/mm] einsetzen muss. Kann mir jmd. weiterhelfen?

        
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Kugel rollt Ebene hinab: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 20:23 Mi 08/01/2020
Author: HJKweseleit

Zu B)
Wenn die Kugel keinen Schlupf hat (nicht durchrutscht), ist die Translationsgeschwindigkeit  v = [mm] \omega*r. [/mm]

Daraus ergibt sich: [mm] E_{trans}=0,5 [/mm] m [mm] v^2 [/mm] sowie [mm] E_{rot}=0,5 [/mm] I [mm] \omega^2= 0,5*0,4mr^2\omega^2=0,2mv^2. [/mm]

Somit [mm] E_{trans}+E_{rot}=0,7mv^2. [/mm]

Diese Energie kommt aus der potenziellen Energie des Höhenverlustes von 1 m * sin(20°). Die kannst du nun selber leicht berechnen.

Zu A)
Die Zeit berechnest du nun am schnellsten mit Hilfe eines Integrals: dt = ds/v, wobei sich v gemäß obiger Überlegung für jede bisher zurückgelegte Zwischenstrecke berechnen lässt (s statt 1 m einsetzen). Das integrierst du über s von 0 bis 1 m.

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Kugel rollt Ebene hinab: Einfacher
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 00:52 Do 09/01/2020
Author: HJKweseleit

Zu A)
Es geht noch viel einfacher: Auch hier liegt eine glm. beschl. Bewegung vor. Wenn du die Endgeschwindigkeit v in B) berechnet hast, kannst du daraus direkt die Zeit berechnen:

Im Durchschnitt ist die Kugel mit der halben Endgeschwindigkeit v/2 gerollt und hat 1 m zurückgelegt, also hat sie dafür die Zeit t = 1 m/(0,5 v) = 2m/v benötigt.


Für glm. beschl. Bewegungen gilt immer: für einen bestimmten Streckenabschnitt kann man so rechnen, als hätte sich der Körper mit dem Mittelwert aus Anfangs- und Endgeschwindigkeit dieses Streckenabschnittes bewegt.

Beispiel: Ein Körper beschleunigt in 5 s glm. von 30 m/s auf 50 m/s. Welchen Weg legt er dabei zurück?

Mittlere Geschwindigkeit ist 40 m/s, die mit 5 s gefahren ergibt 200 m. Beschleunigung ist für [mm] \Delta [/mm] v = 20 m/s und [mm] \Delta [/mm] t = 5 s: a = 4 [mm] m/s^2. [/mm]

Anderes Beispiel: ein Körper beschleunigt auf 500 m von  50 m/s glm. auf 150 m/s.

Mittlere Geschwindigkeit ist 100 m/s, Zeit für 500 m daher 5 s, Beschleunigung 20 [mm] m/s^2. [/mm]

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Kugel rollt Ebene hinab: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 16:01 Do 09/01/2020
Author: makke306

Wenn ich dt = ds/v Integriere erhalte ich ja:
[mm] S=1/2*g*t^2 [/mm] Eingesetzt mit dem Winkel =>
[mm] 1m*sin\alpha=1/2*g*t^2 [/mm] => [mm] t=\wurzel{\bruch{2sin\alpha}{g}} [/mm] = 0,26s
Stimmt die Zeit?

Zu B)
Da Habe ich ja dann:
E_Pot=E_Kin
[mm] m*g*1m*sin*\alpha=0,7*m*v^2 [/mm]
[mm] v=\wurzel{(1*g*sin\alpha)/{0,7}} [/mm] = 2.1 m/s
Stimmt die Geschwindikeit?

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Kugel rollt Ebene hinab: Fast okay
Status: (Answer) finished Status 
Date: 18:20 Do 09/01/2020
Author: Infinit

Hallo makke306,
die erste Berechnung ist okay, bei der zweiten Berechnung hat sich jedoch beim Gleichsetzen der Energien eine 0,7 eingeschlichen, statt der 0,5, die zu einem Faktor 2 uner der Wurzel führt. Demzufolge ist die Geschwindigkeit etwas größer, bei knapp 2,6 m/sec.
Dre Hinweis von HJKwesekeit zur Berücksichtigung der Rotationsenergie,die auch durch die potentielle Energie aufgebraht werden muss, ist physikalisch vollkommen richtig.Da du ja aber keinen Kugelradius kennst, kann man diesen Anteil nicht berechnen. Dies nur als algemeiner Kommentar; fast immer wird, zumindest in der Schulphysik, diese Art von Aufgabe nicht korrekt beschrieben, allerdings fällt dies auch kaum einem Schüler auf.
Viele Grüße,
Infinit  

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Kugel rollt Ebene hinab: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 20:19 Do 09/01/2020
Author: HJKweseleit

Hallo Infinit,
das sehe ich etwas anders. Unter der Voraussetzung, dass die Kugel homogen ist und ohne Schlupf rollt, ist der im Trägheitsmoment vorkommende Radius gleichzeitig der Radius für die Gleichung [mm] v=\omega*r, [/mm] falls die Kugel normal über eine Ebene rollt.

Will sagen: Bei solch einer Kugel ist immer [mm] E_{rot}+E_{trans}=0,7mv^2, [/mm] unabhängig vom (unbekannten) Radius.

Beispiel: m=6 kg, r=0,1 m, v = 4 m/s.
[mm] E_{trans}=0,5 [/mm] m [mm] v^2 [/mm] =48 J
[mm] \omega [/mm] = v/r = 40/s   I = 0,4 [mm] mr^2 [/mm] = 0,024 [mm] kgm^2 [/mm]
[mm] E_{rot}= [/mm] 0,5 I [mm] \omega^2 [/mm] = 19,2 J = 40% von [mm] E_{trans}. [/mm]

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Kugel rollt Ebene hinab: Jetzt klar
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 11:32 Fr 10/01/2020
Author: Infinit

Hallo hjkweseleit,
da habe ich wirklich zu "kurz" gedacht. Unter der Annahme einer homogenen Masseverteilung ergibt sich dann wirklich [mm] 0,7 m v^2 [/mm].
Vielen Dank für die Korrektur und viele Grüße,
Infinit

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Kugel rollt Ebene hinab: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 20:21 Do 09/01/2020
Author: chrisno

Im Maschinenbaustudium ist es angebracht, das Trägheitsmoment zu berücksichtigem.

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Kugel rollt Ebene hinab: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 21:27 Do 09/01/2020
Author: makke306

[mm] E_K=E_p+E_t [/mm]
[mm] E_K= 0,2*m*v^2+0,5*m*v^2= 0,7*m*v^2 [/mm]
Kinetische Energie beträgt also [mm] 0,7*m*v^2 [/mm] und dies habe ich dann mit der Potentiellen Energie gleichgesetzt.
[mm] E_P=E_K [/mm]
[mm] m*g*1*sin*\alpha=0,7*m*v^2 [/mm]
[mm] v=\wurzel{(1*g*sin\alpha)/{0,7}} [/mm] = 2.189 m/s

Daher komme ich eben auf diese 0,7... Sonst wenn ich 0,5 habe dann habe ich ja nur die Translationsbewegung. Aber ich muss ja die Rotationsbewegung auch hinzurechnen


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Kugel rollt Ebene hinab: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 11:35 Fr 10/01/2020
Author: Infinit

Hallo makke306,
sorry, da habe ich nicht richtig zu Ende gedacht und Dich damit verwirrt.
Viele Grüße,
Infinit

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Kugel rollt Ebene hinab: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 20:58 Do 09/01/2020
Author: HJKweseleit


> Wenn ich dt = ds/v Integriere erhalte ich ja:
>  [mm]S=1/2*g*t^2[/mm] Eingesetzt mit dem Winkel =>
>  [mm]1m*sin\alpha=1/2*g*t^2[/mm] => [mm]t=\wurzel{\bruch{2sin\alpha}{g}}[/mm]

> = 0,26s
>  Stimmt die Zeit?

Nein, völlig falsch. Das ist die Zeit, die die Kugel braucht, wenn du sie neben der schiefen Ebene die 34,2 cm Höhenunterschied im freien Fall fallen lässt. Das a ist hier nicht g = 9,81 [mm] m/s^2 [/mm] !!!  (s.u.)


>  
> Zu B)
>  Da Habe ich ja dann:
>  E_Pot=E_Kin [mm] \red{+E_{rot} } [/mm]
>  [mm]m*g*1m*sin*\alpha=0,7*m*v^2[/mm]
>  [mm]v=\wurzel{bruch{1*g*sinalpha)}/{0,7}}[/mm] = [mm] 2.1\red{9} [/mm] m/s
>  Stimmt die Geschwindikeit? [ok]

Hier nimmst du g, weil du damit die potenzielle Energie durch den Höhenverlust berechnest.

Jetzt nur noch: Durchschnittsgeschwindigkeit = (0+2,19)/2 m/s=1,095 m/s für 1 m Strecke, macht t = 0,91 s für den Ablauf.

In 0,91 s auf 2,19 m/s beschleunigt: a = 2,4 [mm] m/s^2. [/mm] Gäbe es die abbremsende Rotationsenergie nicht, müsste das [mm] 9,81m/s^2*sin(20)=3,355 m/s^2 [/mm] sein, es ist aber nur 5/7 davon.




Per Integral sähe das so aus:

Nach Durchlaufen der einer Höhe h gilt:
m*g*h=0,7 [mm] mv^2 [/mm] sowie
[mm] h=s*sin(\alpha), [/mm] somit nach Division durch m
[mm] g*s*sin(\alpha)=0,7 v^2 [/mm]

[mm] v=\wurzel{\bruch{g*s*sin(\alpha)}{0,7}}=\bruch{ds}{dt} [/mm]

[mm] dt=\wurzel{\bruch{0,7}{g*s*sin(\alpha)}}ds=\wurzel{\bruch{0,7}{g*sin(\alpha)}}\bruch{ds}{\wurzel{s}} [/mm]

t [mm] =\wurzel{\bruch{0,7}{g*sin(\alpha)}}\integral_{0}^{S}{\bruch{ds}{\wurzel{s}}}=\wurzel{\bruch{0,7}{g*sin(\alpha)}}*2*\wurzel{S}. [/mm]

Setzt man die Zahlenwerte ein, erhält man genau die 0,91 s von oben.





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Kugel rollt Ebene hinab: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 22:07 Do 09/01/2020
Author: makke306


> Per Integral sähe das so aus:
>  
> Nach Durchlaufen der einer Höhe h gilt:
> m*g*h=0,7 [mm]mv^2[/mm] sowie
>  [mm]h=s*sin(\alpha),[/mm] somit nach Division durch m
>  [mm]g*s*sin(\alpha)=0,7 v^2[/mm]
>  
> [mm]v=\wurzel{\bruch{g*s*sin(\alpha)}{0,7}}=\bruch{ds}{dt}[/mm]
>  
> [mm]dt=\wurzel{\bruch{0,7}{g*s*sin(\alpha)}}ds=\wurzel{\bruch{0,7}{g*sin(\alpha)}}\bruch{ds}{\wurzel{s}}[/mm]
>  
> t
> [mm]=\wurzel{\bruch{0,7}{g*sin(\alpha)}}\integral_{0}^{S}{\bruch{ds}{\wurzel{s}}}=\wurzel{\bruch{0,7}{g*sin(\alpha)}}*2*\wurzel{S}.[/mm]
>  
> Setzt man die Zahlenwerte ein, erhält man genau die 0,91 s
> von oben.

Das sieht mir aber zu kompliziert aus um die Zeit zu berechnen. Kann ich diese nicht auch mit der Energierhaltung lösen?
Winkelbeschleunigung = [mm] >\alpha=a/r [/mm]
[mm] E_{Rot}=2/5*m*r*(a/r)^2 [/mm]

m*g*h=m*a+2/5*m*a
[mm] a=\bruch{(5*g*h)}{7} [/mm]
[mm] a=\bruch{(5*g*sin\alpha)}{7}= [/mm] 2,39

[mm] s=0.5*a*t^2 [/mm]

[mm] t=\wurzel{(2s/a)} [/mm]


Bezug
                                                
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Kugel rollt Ebene hinab: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 00:48 Fr 10/01/2020
Author: HJKweseleit


> > Per Integral sähe das so aus:
>  >  
> > Nach Durchlaufen der einer Höhe h gilt:
> > m*g*h=0,7 [mm]mv^2[/mm] sowie
>  >  [mm]h=s*sin(\alpha),[/mm] somit nach Division durch m
>  >  [mm]g*s*sin(\alpha)=0,7 v^2[/mm]
>  >  
> > [mm]v=\wurzel{\bruch{g*s*sin(\alpha)}{0,7}}=\bruch{ds}{dt}[/mm]
>  >  
> >
> [mm]dt=\wurzel{\bruch{0,7}{g*s*sin(\alpha)}}ds=\wurzel{\bruch{0,7}{g*sin(\alpha)}}\bruch{ds}{\wurzel{s}}[/mm]
>  >  
> > t
> >
> [mm]=\wurzel{\bruch{0,7}{g*sin(\alpha)}}\integral_{0}^{S}{\bruch{ds}{\wurzel{s}}}=\wurzel{\bruch{0,7}{g*sin(\alpha)}}*2*\wurzel{S}.[/mm]
>  >  
> > Setzt man die Zahlenwerte ein, erhält man genau die 0,91 s
> > von oben.
>  
> Das sieht mir aber zu kompliziert aus um die Zeit zu
> berechnen.

Wenn du in meine Lösung schaust (über dem Strich), kannst du erkennen, dass du die Zeit fast im Kopf berechnen kannst: Weg durch mittlere Geschwindigkeit, das ist alles.
Da ich dummerweise in meinem ersten Beitrag von einem Integral gesprochen habe, wollte ich dir mit obiger Rechnung nur zeigen, dass das auch geht - aber das ist so, als wenn man zum Bäcker um die Ecke mit dem Hubschrauber fliegt oder als wenn man die Fläche eines Quadrates per Integral berechnet. Möglich, aber unsinnig. Schau dir noch mal in meinem zweiten Beitrag die beiden Rechenbeispiele an, um zu erkennen, wie einfach ein kompliziert aussehender Sachverhalt bei einer glm. beschl. Bewegung gelöst werden kann!!!

Kann ich diese nicht auch mit der

> Energierhaltung lösen?
>  Winkelbeschleunigung = [mm]>\alpha=a/r[/mm]
>  [mm]E_{Rot}=2/5*m*r*(a/r)^2[/mm]

Falsch!

[mm] E_{Rot}=1/2*I*\omega^2=(1/2)*(2/5)*m*r^{2}*(v/r)^2 [/mm]


>  
> m*g*h=m*a+2/5*m*a

Falsch! Links steht eine Energie, gemessen in Joule. Rechts stehen Kräfte (Masse mal Beschleunigung), gemessen in Newton.

Außerdem: Wenn die Bahn - bei gleichem Winkel - länger wird, dürfte sich an a nichts ändern. Die rechte Seite bleibt ganz richtig gleich, links wird aber h größer und damit auch der Wert der linken Seite. Das passt nicht.


>  [mm]a=\bruch{(5*g*h)}{7}[/mm]

Hier ebenso.

>  [mm]a=\bruch{(5*g*sin\alpha)}{7}=[/mm] 2,39

Warum stimmt das jetzt? Weil die Länge zufällig 1 m ist, hast du die 1 und fälschlich auch die Einheit m weggelassen, und durch diesen Fehler hebt sich der erste Fehler zufällig wieder auf. Die letzte Gleichung ist für eine Kugel grundsätzlich richtig. Für einen reibungsfrei gleitenden Körper gilt: a = [mm] g*sin\alpha. [/mm]

>  
> [mm]s=0.5*a*t^2[/mm]
>  
> [mm]t=\wurzel{(2s/a)}[/mm]
>  

Ja.

Hier noch mal ein Beispiel zur glm. beschl. Bewegung, das sehr kompliziert aussieht, aber ganz einfach zu lösen ist:

Jemand fährt mit 40 m/s, als er glm. beschleunigt und nach 5 Sekunden 280 m weiter weg ist.

Wer in 5 s 280 m weit fährt, hat eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 56 m/s. Da die Anfangsgeschwindigkeit 40 m/s und die mittlere 56 m/s beträgt, muss die Endgeschwindigkeit 72 m/s sein. Die Beschleunigung ist dann 32 m/s Zuwachs durch 5 s, also 6,4 [mm] m/s^2. [/mm]

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Kugel rollt Ebene hinab: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 16:08 Fr 10/01/2020
Author: makke306

Ok aber wieso hast du die Durchsschnittgeschwindigeit mit 2.19/2 berechnet?

Die Formel für die Durchschnittsgeschw. lautet ja:
v = [mm] (s_1+s_2)/(t_1+t_2) [/mm]

Bezug
                                                
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Kugel rollt Ebene hinab: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 17:51 Fr 10/01/2020
Author: HJKweseleit


> Ok aber wieso hast du die Durchsschnittgeschwindigeit mit
> 2.19/2 berechnet?
>  
> Die Formel für die Durchschnittsgeschw. lautet ja:
> v = [mm](s_1+s_2)/(t_1+t_2)[/mm]

Autsch!

[mm] v=(s_1-s_2)/(t_1-t_2) [/mm]


>  


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Kugel rollt Ebene hinab: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 19:24 Fr 10/01/2020
Author: makke306

Mh, verstehe trotzdem nicht ganz wieso man durch 2 dividieren muss um die Durchschnittsgeschwindikeit zu berechnen. Die Strecke ist ja nicht 2m sondern 1m... Und die Zeit t ist ja auch noch nicht bekannt.
Bzw. hast du da einfach den durchschnittswert von [mm] 0_{Anfangsgeschwindigkeit} [/mm] + [mm] 2,19_{Engeschwindigkeit}m/s [/mm] hergenommen und diesen dann durch 2 dividiert?

Bezug
                                                                
Bezug
Kugel rollt Ebene hinab: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 00:22 Sa 11/01/2020
Author: leduart

Hallo
wen etwas linear wächst wie hier v mit [mm] v_e=v_a+a*t [/mm] kann man wirklich den Durchschnitt mit [mm] (v_a+v_e)/2 [/mm] berechnen
[mm] v_e=v_a+a*t [/mm] , [mm] (v_e+v_a)=2v_a+a*t [/mm] , [mm] (v_a+v_e)/2 =v_a+a/2*t, [/mm]
[mm] s=v_a*t+a/2*t^2, \overline{v}=s/t=v_a+a/2*t [/mm] also dasselbe Ergebnis .
Gruß ledum

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Kugel rollt Ebene hinab: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 22:02 Sa 11/01/2020
Author: HJKweseleit


>  Bzw. hast du da einfach den durchschnittswert von
> [mm]0_{Anfangsgeschwindigkeit}[/mm] + [mm]2,19_{Engeschwindigkeit}m/s[/mm]
> hergenommen und diesen dann durch 2 dividiert?

Ja!!! Schau dir bitte alle meine anderen Rechenbeispiele an, da wird es immer so gemacht. Auf diese Weise kannst du fast immer die Aufgaben ganz simpel lösen.


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