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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 Fr 21.03.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | | Stellen Sie die Gleichung der Kugel auf. O (0/0/0), A(1/-1/4) und B(4/3/1) sind Punkte auf der gesuchten Kugel. Der Mittelpunkt liegt in der Ebene x3 =2. |
Moin,
irgendwie verstehe ich die Ebene nicht.
Ok, ich kann die allgemeine Kugelgleichung aufstellen...
(x1 [mm] -m1)^2 [/mm] + (x2 [mm] -m2)^2 [/mm] + [mm] (x3-m3)^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
Hier ist weder M(m1/m2/m3) noch r gegeben.
Die Ebene hätte (m.E.) die Gleichung
E: x3 -2 = 0
=> Normalenvektor [mm] \vektor{0\\0 \\ 1}
[/mm]
Länge des Normalenvektors ebenfalls 1.
Bei ähnlichen Aufgaben konnten wir den Mittelpunkt der Kugel in die Hessesche Normelform einsetzen und so den Radius bestimmen.
d = | [mm] \bruch{x3 -2}{1} [/mm] |
Allerdings gibt es ja gar keine Tangentialebene an die Kugel, die durch den Mittelpunkt der Kugel verläuft...
Meine Idee war die Punkte in die Kugelgleichung einsetzen und das Gleichungssystem zu lösen. Leider führt das nicht zum gewünschten Ergebnis?!
[mm] (0-m1)^2 [/mm] + [mm] (0-m2)^2 [/mm] + [mm] (0-m3)^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
[mm] (1-m1)^2 [/mm] + [mm] (-1-m2)^2 [/mm] + [mm] (4-m3)^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
[mm] (4-m1)^2 [/mm] + [mm] (3-m2)^2 [/mm] + [mm] (1-m3)^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
[mm] m1^2 +m2^2 [/mm] + [mm] m3^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm] (I)
1 -2*m1 + [mm] m1^2 [/mm] + 1 +2*m2 [mm] +m2^2 [/mm] + 16 -8m3 [mm] +m3^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm] (II)
16 -8*m1 + [mm] m1^2 [/mm] +9 -6*m2 [mm] +m2^2 [/mm] + 1 -2*m3 [mm] +m3^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm] (III)
II-I
18 - 2*m1 +2*m2 -8*m3 = 0
9 -m1 + m2 - 4 m3 = 0
III-I
26 - 8*m1 - 6*m2 -2m3 = 0
13 - 4*m1 - 3*m2 -m3 = 0
Nun fehlt mir aber noch eine Gleichung...
Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß
Wolfgang
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Fr 21.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Stellen Sie die Gleichung der Kugel auf. O (0/0/0),
> A(1/-1/4) und B(4/3/1) sind Punkte auf der gesuchten Kugel.
> Der Mittelpunkt liegt in der Ebene x3 =2.
> Moin,
>
> irgendwie verstehe ich die Ebene nicht.
>
> Ok, ich kann die allgemeine Kugelgleichung aufstellen...
>
> (x1 [mm]-m1)^2[/mm] + (x2 [mm]-m2)^2[/mm] + [mm](x3-m3)^2[/mm] = [mm]r^2[/mm]
>
>
> Hier ist weder M(m1/m2/m3) noch r gegeben.
Teilweise schon! Es gilt m3=2.
Da nun O, A und B auf der Kugel liegen, kannst du für jeden Punkt seine 3 Koordinaten in die Kugelgleichung einsetzen.
Damit erhältst du ein System aus 3 Gleichungen mit den 3 Unbekannten m1, m2 und r.
Ach, ich sehe gerade, dass du diesen Ansatz sowieso verfolgt hast. Lediglich m3=2 hat dir gefehlt.
Viele Grüße
Abakus
>
>
> Die Ebene hätte (m.E.) die Gleichung
>
> E: x3 -2 = 0
>
> => Normalenvektor [mm]\vektor{0\\0 \\ 1}[/mm]
>
> Länge des Normalenvektors ebenfalls 1.
>
>
> Bei ähnlichen Aufgaben konnten wir den Mittelpunkt der
> Kugel in die Hessesche Normelform einsetzen und so den
> Radius bestimmen.
>
>
> d = | [mm]\bruch{x3 -2}{1}[/mm] |
>
> Allerdings gibt es ja gar keine Tangentialebene an die
> Kugel, die durch den Mittelpunkt der Kugel verläuft...
>
>
> Meine Idee war die Punkte in die Kugelgleichung einsetzen
> und das Gleichungssystem zu lösen. Leider führt das nicht
> zum gewünschten Ergebnis?!
>
>
> [mm](0-m1)^2[/mm] + [mm](0-m2)^2[/mm] + [mm](0-m3)^2[/mm] = [mm]r^2[/mm]
>
> [mm](1-m1)^2[/mm] + [mm](-1-m2)^2[/mm] + [mm](4-m3)^2[/mm] = [mm]r^2[/mm]
>
> [mm](4-m1)^2[/mm] + [mm](3-m2)^2[/mm] + [mm](1-m3)^2[/mm] = [mm]r^2[/mm]
>
> [mm]m1^2 +m2^2[/mm] + [mm]m3^2[/mm] = [mm]r^2[/mm] (I)
>
> 1 -2*m1 + [mm]m1^2[/mm] + 1 +2*m2 [mm]+m2^2[/mm] + 16 -8m3 [mm]+m3^2[/mm] = [mm]r^2[/mm]
> (II)
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> 16 -8*m1 + [mm]m1^2[/mm] +9 -6*m2 [mm]+m2^2[/mm] + 1 -2*m3 [mm]+m3^2[/mm] = [mm]r^2[/mm]
> (III)
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> II-I
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> 18 - 2*m1 +2*m2 -8*m3 = 0
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> 9 -m1 + m2 - 4 m3 = 0
>
>
> III-I
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> 26 - 8*m1 - 6*m2 -2m3 = 0
>
> 13 - 4*m1 - 3*m2 -m3 = 0
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> Nun fehlt mir aber noch eine Gleichung...
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> Vielen Dank für eure Hilfe!
>
> Gruß
> Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Fr 21.03.2008 | | Autor: | hase-hh |
Die Idee hatte ich auch schon, habe dann aber vorhin m1 und m2 verwechselt :-( .
9 - m1 + m2 -4*2 = 0 => m2 = m1 -1
13 - 4m1 - 3m2 -2 = 0
11 - 4m1 -3m1 +3 = 0 => m1 = 2
m2 = 1
m3 = 2
M (2/1/2)
Kugelgleichung:
(x [mm] -2)^2 [/mm] + (y [mm] -1)^2 [/mm] + (z [mm] -2)^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm]
für alle gegebenen Punkte gilt dann [mm] r^2 [/mm] = 9
Übrigens, wie kann ich mir die gegebene Ebene überhaupt vorstellen?
Ich habe ja im Prinzip nur eine Richtung?
Gruß
Wolfgang
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Hallo hase-hh,
> Die Idee hatte ich auch schon, habe dann aber vorhin m1 und
> m2 verwechselt :-( .
>
> 9 - m1 + m2 -4*2 = 0 => m2 = m1 -1
>
> 13 - 4m1 - 3m2 -2 = 0
>
> 11 - 4m1 -3m1 +3 = 0 => m1 = 2
>
> m2 = 1
>
> m3 = 2
>
> M (2/1/2)
>
> Kugelgleichung:
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> (x [mm]-2)^2[/mm] + (y [mm]-1)^2[/mm] + (z [mm]-2)^2[/mm] = [mm]r^2[/mm]
>
> für alle gegebenen Punkte gilt dann [mm]r^2[/mm] = 9
>
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> Übrigens, wie kann ich mir die gegebene Ebene überhaupt
> vorstellen?
Die Ebene [mm]x_{3}=2[/mm] beinhaltet alle Punke [mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2}\\ x_{3}}[/mm], für die die [mm]x_{3}[/mm]-Koordinate den Wert 2 annimmt.
>
> Ich habe ja im Prinzip nur eine Richtung?
Die eine Richtung ist der Normalenvektor [mm]\pmat{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] und der steht senkrecht auf der Ebene E.
Die Ebene läßt sich auch so darstellen:
[mm]E:\overrightarrow{x}=\pmat{0 \\ 0 \\ 2}+u*\pmat{1 \\ 0 \\ 0}+v*\pmat{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
>
> Gruß
> Wolfgang
>
Gruß
MathePower
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