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| Aufgabe | | Auf einer Kugel liegen die Punkte A (0/0/0), B (6/0/0) und C (0/6/0). Die Kugel berührt die Gerade durch die Punkte P (0/0/10) und Q (5/0/15). Zeigen Sie, dass der Mittelpunkt der Kugel die Form M (3/3/m) hat. Geben Sie eine Gleichung der Kugel an. |
Wie geht diese Aufgabe?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Mi 05.07.2006 | | Autor: | Oliver |
Hallo Laura,
erst einmal willkommen im Matheraum.
Vielleicht zunächst zum ersten Teil: Die Koordinatenform der Kugelgleichung lautet ja
[mm] $(x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2=r^2$
[/mm]
Wenn Du nun die Information, dass A, B und C auf der Kugel liegen, in dieser Koordinatenform aufschreibst und Dir mal ganz genau anschaust, worin sich die drei erhaltenen Gleichungen unterscheiden, wirst Du bestimmt von selbst auf die Lösung kommen.
Z.B. für A ergibt sich [mm] $(0-m_1)^2+(0-m_2)^2+(0-m_3)^2=r^2$
[/mm]
Und für B ergibt sich [mm] $(6-m_1)^2+(0-m_2)^2+(0-m_3)^2=r^2$
[/mm]
Welchen Wert muss dann [mm] m_1 [/mm] haben?
Wenn Du von da ab alleine weiter kommst (für die Kugelgleichung musst Du noch die weitere Information ausnutzen, dass die Gerade berührt wird), kannst Du ja hier das Ergebnis posten ... falls es irgendwo hängt, stell ruhig Deine Fragen, aber sei so nett und knobel erst einmal selbst. Es gibt nichts schöneres (okay, einige Sachen fallen mir schon ein), als nach einigen Mühen selbst auf die Lösung für ein Matheproblem zu kommen.
Viele Grüße
Oliver
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| Aufgabe | | Auf einer Kugel liegen die Punkte A (0/0/0), B (6/0/0) und C (0/6/0). Die Kugel berührt die Gerade durch die Punkte P (0/0/10) und Q (5/0/15). Zeigen Sie, dass der Mittelpunkt der Kugel die Form M (3/3/m) hat. Geben Sie eine Gleichung der Kugel an. |
Ich wusste net wie ich dir/ ihnen direkt antworten kann... Für m1 ergibt sich 3 und für m2 auch, aber wie kann ich die Information nutzen, dass die Kugel die Gerade berührt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 Mi 05.07.2006 | | Autor: | Siegfried |
Wie sieht den Deine Kugelgleichung aus?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:38 Mi 05.07.2006 | | Autor: | Laura1712 |
Die endgültige Kugelgleichung muss ich ja erst erstellen.
Bis jetzt habe ich die Gleichungen für B und C mit der Gleichung für A gleichgesetzt und jeweils für m1 und m2 3 rausbekommen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:01 Mi 05.07.2006 | | Autor: | Siegfried |
A, B und C sind Vektoren, wenn ich das richtig gesehen habe...?
Ich hab' noch nicht ganz verstanden, was Du gemacht hast.
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Ich habe jeweils A, B und C in die allgemeine Kugelgleichung eingesetzt (siehe Antwort Oliver). Danach hab ich, wie schon gesagt, die einzelnen Kugelgleichungen gleichgesetzt und die Werte für m1 und m2 ausgerechnet.
Jetzt weiß ich nicht genau, wie ich die Information des Berührens verwenden soll?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 Do 06.07.2006 | | Autor: | Oliver |
'Abend Laura,
sorry, dass es so lange mit der Antwort gedauert hat.
Du kannst folgende Informationen verwenden:
- Es existiert ein Punkt T auf der Kugel, der sich auf der Gerade PQ befindet:
$ [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 10} [/mm] + s * [mm] \vektor{5 \\ 0 \\ 5} [/mm] = [mm] \vektor{t_1 \\ t_2 \\ t_3}$
[/mm]
- Die Gerade PQ steht senkrecht zu der Gerade durch TM:
$ [mm] \vektor{t_1-3 \\ t_2-3 \\ t_3-m} [/mm] * [mm] \vektor{5 \\ 0 \\ 5} [/mm] = 0$
- Der Abstand von T zu M ist identisch mit dem Radius der Kugel r
[mm] $r^2 [/mm] = [mm] 3^2 [/mm] + [mm] 3^2 [/mm] + [mm] m^2$
[/mm]
[mm] $r^2 [/mm] = [mm] (t_1-3)^2 [/mm] + [mm] (t_2-3)^2 [/mm] + [mm] (t_3-m)^2$
[/mm]
Damit solltest Du eigentlich weiter kommen, ich habe leider keine Zeit die Aufgabe komplett durch zu rechnen ... vielleicht kann ja jemand einspringen, wenn Du noch Fragen hast.
Gute Nacht
Oliver
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