Kugelkoordinaten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 So 08.01.2012 | | Autor: | joas84 |
| Aufgabe | Berechnen Sie mit Kugelkoordinaten das Integral
[mm] \integral_{}^{}{}\integral_{}^{}{}\integral_{H}^{}{(x^2+y^2) dx}
[/mm]
wenn H der Halbkugelbereich ist, der oberhalb der xy−Ebene und unterhalb der Kugel [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + z2 = 1 liegt. |
Meine Fragen lautet nun:
Wie kann ich den Integrand in Kugelkoordinaten umwandeln?
Bzw. Wie sind die Regeln dafür??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 So 08.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
meinst du wirklich dx im Integral?
wenn du Kugelkoordinaten kennst musst du doch nur x und y insetzen? und dann auf die Transformationsmatrix achten bzw dV auch in Kugelkoordinaten.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 So 08.01.2012 | | Autor: | joas84 |
Sorry. Sollte natürlich dV heissen.
Also laut meinem Formelbuch ist:
x= r* cos(theta)*cos(phi)
y= r* cos(theta)*sin(phi)
z= r* sin(theta)
Dann würde ich als Integrand erhalten:
[mm] r^2*cos(theta)^2*cos(phi)^2+r^2*cos(theta)^2*sin(phi)^2
[/mm]
stimmt dies?
Wie bekomme ich nun das dV? ist dies immer gleich für einen bestimmten Typ von Transformation?
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Hallo joas84,
> Sorry. Sollte natürlich dV heissen.
>
> Also laut meinem Formelbuch ist:
>
> x= r* cos(theta)*cos(phi)
> y= r* cos(theta)*sin(phi)
> z= r* sin(theta)
>
> Dann würde ich als Integrand erhalten:
>
> [mm]r^2*cos(theta)^2*cos(phi)^2+r^2*cos(theta)^2*sin(phi)^2[/mm]
>
> stimmt dies?
>
Ja, das kannst Du noch vereinfachen.
Jetzt brauchst Du noch die Funktionaldeterminante.
>
> Wie bekomme ich nun das dV? ist dies immer gleich für
> einen bestimmten Typ von Transformation?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 So 08.01.2012 | | Autor: | joas84 |
Wenn ich es vereinfache bekomme ich:
[mm] r^2*cos(theta)^2
[/mm]
laut den Lösungen sollte es aber
[mm] r^2*sin(theta)^2 [/mm]
geben.
Was stimmt nun?
Für die Funktionsdeterminante:
[mm] dV=r^2*sin(theta)drdthetadphi
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 So 08.01.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Wenn ich es vereinfache bekomme ich:
>
> [mm]r^2*cos(theta)^2[/mm]
das kommt raus, wenn Du Deinen obigen Term vereinfachst.
>
> laut den Lösungen sollte es aber
>
> [mm]r^2*sin(theta)^2[/mm]
Das bekommst Du auch heraus, wenn Du die ![[]](/images/popup.gif) übliche Definition der Kugelkoordinaten verwendest.
>
> geben.
>
> Was stimmt nun?
Beides ist richtig, Du musst Dich nur konsequent für eine der beiden Varianten entscheiden. Ich empfehle Dir, bei der üblichen Konvention zu bleiben.
>
>
> Für die Funktionsdeterminante:
>
> [mm]dV=r^2*sin(theta)drdthetadphi[/mm]
Das stimmt bei üblicher Konvention.
Schau mal, wenn Du den Formeleditor verwendest, sieht das auch nicht mehr so hässlich aus:
[mm] $\mathrm{d}V=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta$
[/mm]
Du kannst auch auf die Formel klicken um zu sehen, wie man das schreibt.
Gruß,
notinX
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