Kugeln ziehen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Do 12.11.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | In einer Urne seien w weiße und s schwarze Kugeln.
Es wird folgendermaßen gezogen: Nach jedem Ziehen wird die gezogene Kugel zurückgelegt, zusammen mit einer weiteren (neuen) Kugel derselben Farbe. Sei nun K die Nummer des Durchgangs, bei dem erstmals eine schwarze Kugel gezogen wird.
(i) Fall s=1. Begründen Sie, warum [mm] P(K>i)=\frac{w}{w+i} [/mm] gilt.
(ii) Fall s=2. Begründen Sie, warum [mm] P(K>i)=\frac{w(w+1)}{(w+i)(w+i+1)} [/mm] gilt. |
Hallo,
ich denke das Grundmodell ist leicht zu verstehen.
Allerdings komme ich nicht darauf, warum die angegebenen W' gelten.
Ist s=1 habe ich also eine schwarze Kugel.
Die W' diese beim ersten Mal zu ziehen ist doch: [mm] P(s)=\frac{s}{w+s}.
[/mm]
Sie beim 2ten Mal zu ziehen: [mm] P((w,s))=\frac{s}{w+1+s}, [/mm] wobei man das s immer durch eine 1 ersetzen kann.
Aber wenn ich das so fortsetze, komme ich nie auf die verlangte Formel. Wo liegt der Fehler?
Bei (ii) ergibt sich das gleiche Problem.
Gruß Unk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Do 12.11.2009 | | Autor: | abakus |
> In einer Urne seien w weiße und s schwarze Kugeln.
> Es wird folgendermaßen gezogen: Nach jedem Ziehen wird
> die gezogene Kugel zurückgelegt, zusammen mit einer
> weiteren (neuen) Kugel derselben Farbe. Sei nun K die
> Nummer des Durchgangs, bei dem erstmals eine schwarze Kugel
> gezogen wird.
> (i) Fall s=1. Begründen Sie, warum [mm]P(K>i)=\frac{w}{w+i}[/mm]
> gilt.
Nimm mal an, du hast 2 erfolglose Versuche, schwarz zu ziehen. Das erste mal klappt es im Versuch 3.
Vor der ersten Ziehung hattest du w weiße und s=1 schwarze.
Da du weiß gezogen hast, wird eine weitere weiße Kugel dazugelegt, unhd du hast w+1 weiße und immer noch eine schwarze.
Nach dem 2. Fehlversuch hast du eine weitere weiße Kugel dazubekommen, jetzt also w+2.
Nach i aufeinanderfolgenden Fehlversuchen hast du immer noch eine schwarze, mittlerweile aber w+i weiße Kugeln.
Und nun mache dir ein Baumdiagramm für den Pfad
"w-w-w-w-w...-w-s"
Die Wahrscheinlichkeiten für w werden in jedem Schritt größer:
zuerst w/(w+1), dann (w+1)/(w+2) ....
Da du entlang dieses Pfades multiplizieren musst, kürzt sich fast alles weg.
Gruß Abakus
> (ii) Fall s=2. Begründen Sie, warum
> [mm]P(K>i)=\frac{w(w+1)}{(w+i)(w+i+1)}[/mm] gilt.
> Hallo,
>
> ich denke das Grundmodell ist leicht zu verstehen.
> Allerdings komme ich nicht darauf, warum die angegebenen
> W' gelten.
> Ist s=1 habe ich also eine schwarze Kugel.
> Die W' diese beim ersten Mal zu ziehen ist doch:
> [mm]P(s)=\frac{s}{w+s}.[/mm]
> Sie beim 2ten Mal zu ziehen: [mm]P((w,s))=\frac{s}{w+1+s},[/mm]
> wobei man das s immer durch eine 1 ersetzen kann.
>
> Aber wenn ich das so fortsetze, komme ich nie auf die
> verlangte Formel. Wo liegt der Fehler?
>
> Bei (ii) ergibt sich das gleiche Problem.
>
> Gruß Unk
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Do 12.11.2009 | | Autor: | Unk |
> > In einer Urne seien w weiße und s schwarze Kugeln.
> > Es wird folgendermaßen gezogen: Nach jedem Ziehen wird
> > die gezogene Kugel zurückgelegt, zusammen mit einer
> > weiteren (neuen) Kugel derselben Farbe. Sei nun K die
> > Nummer des Durchgangs, bei dem erstmals eine schwarze Kugel
> > gezogen wird.
> > (i) Fall s=1. Begründen Sie, warum
> [mm]P(K>i)=\frac{w}{w+i}[/mm]
> > gilt.
> Nimm mal an, du hast 2 erfolglose Versuche, schwarz zu
> ziehen. Das erste mal klappt es im Versuch 3.
> Vor der ersten Ziehung hattest du w weiße und s=1
> schwarze.
> Da du weiß gezogen hast, wird eine weitere weiße Kugel
> dazugelegt, unhd du hast w+1 weiße und immer noch eine
> schwarze.
> Nach dem 2. Fehlversuch hast du eine weitere weiße Kugel
> dazubekommen, jetzt also w+2.
> Nach i aufeinanderfolgenden Fehlversuchen hast du immer
> noch eine schwarze, mittlerweile aber w+i weiße Kugeln.
> Und nun mache dir ein Baumdiagramm für den Pfad
> "w-w-w-w-w...-w-s"
> Die Wahrscheinlichkeiten für w werden in jedem Schritt
> größer:
> zuerst w/(w+1), dann (w+1)/(w+2) ....
> Da du entlang dieses Pfades multiplizieren musst, kürzt
> sich fast alles weg.
>
> Gruß Abakus
Soweit bin ich schonmal. Was mich nun noch stört:
Ang. wir ziehen schwarz das erste Mal beim 3ten Versuch.
Dann ziehen wir wws.
Dafür die W' ist doch aber [mm] \frac{w}{w+1}\cdot\frac{w+1}{w+2}\cdot\frac{1}{w+3}. [/mm] Oder nicht?
Der letzte Bruch stört mich dann aber. Anscheinend muss dieser gleich 1 sein, damit die Formel stimmt. Aber wieso ist er das auch? Wenn ich beim dritten Versuch schwarz ziehe habe ich eine schwarze Kugel und insgesamt w+3 Kugeln.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Do 12.11.2009 | | Autor: | abakus |
> > > In einer Urne seien w weiße und s schwarze Kugeln.
> > > Es wird folgendermaßen gezogen: Nach jedem Ziehen
> wird
> > > die gezogene Kugel zurückgelegt, zusammen mit einer
> > > weiteren (neuen) Kugel derselben Farbe. Sei nun K die
> > > Nummer des Durchgangs, bei dem erstmals eine schwarze Kugel
> > > gezogen wird.
> > > (i) Fall s=1. Begründen Sie, warum
> > [mm]P(K>i)=\frac{w}{w+i}[/mm]
> > > gilt.
> > Nimm mal an, du hast 2 erfolglose Versuche, schwarz zu
> > ziehen. Das erste mal klappt es im Versuch 3.
> > Vor der ersten Ziehung hattest du w weiße und s=1
> > schwarze.
> > Da du weiß gezogen hast, wird eine weitere weiße
> Kugel
> > dazugelegt, unhd du hast w+1 weiße und immer noch eine
> > schwarze.
> > Nach dem 2. Fehlversuch hast du eine weitere weiße
> Kugel
> > dazubekommen, jetzt also w+2.
> > Nach i aufeinanderfolgenden Fehlversuchen hast du immer
> > noch eine schwarze, mittlerweile aber w+i weiße Kugeln.
> > Und nun mache dir ein Baumdiagramm für den Pfad
> > "w-w-w-w-w...-w-s"
> > Die Wahrscheinlichkeiten für w werden in jedem Schritt
> > größer:
> > zuerst w/(w+1), dann (w+1)/(w+2) ....
> > Da du entlang dieses Pfades multiplizieren musst,
> kürzt
> > sich fast alles weg.
> >
> > Gruß Abakus
>
> Soweit bin ich schonmal. Was mich nun noch stört:
> Ang. wir ziehen schwarz das erste Mal beim 3ten Versuch.
>
> Dann ziehen wir wws.
Hallo,
ich glaube, ich war mit meinem Pfad einen Schritt zu weit.
P(K>i) sagt och nur etwas über die Wahrscheinlichkeit der Fehlversuche VOR dem Treffer im K-ten Versuch aus.
Dann passt die Formel auch.
Gruß Abakus
> Dafür die W' ist doch aber
> [mm]\frac{w}{w+1}\cdot\frac{w+1}{w+2}\cdot\frac{1}{w+3}.[/mm] Oder
> nicht?
> Der letzte Bruch stört mich dann aber. Anscheinend muss
> dieser gleich 1 sein, damit die Formel stimmt. Aber wieso
> ist er das auch? Wenn ich beim dritten Versuch schwarz
> ziehe habe ich eine schwarze Kugel und insgesamt w+3
> Kugeln.
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