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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Bara |
| Aufgabe | | Eine Kugel liegt auf dem Boden. Ist es möglich sie so neu zu positionieren (durch rotation), dass kein Punkt auf der Oberfläche der Kugel wieder am selben Ort zu liegen kommt? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich habe diese Aufgabe bekommen, finde in meinen Unterlagen aber leider nichts, was mich auch nur auf einen vernünftigen Ansatz zur Lösung des Problems bringt.
Drum würde ich euch um einen Lösungsansatz, oder eine grobe Beweisskizze bitten.
mfg
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Hiho,
überleg dir zuerst, was die Fixpunkte einer Achsenrotation um einen beliebigen Winkel sind.
Dann nimm 2 Achsen und die dazugehörigen 2 Fixpunktmengen und schneide sie. Was bleibt in der Schnittmenge enthalten?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Bara |
Wenn ich zwei Achsen durch die Kugel nehme, sagen wir mal, zur veranschaulichung, einmal die Nord-Süd Achse und eine äquatoriale Achse. Dann rotiere ich zuerst um die NS Achse und dannach um die andere. So habe ich pro Achse 2 fixe Schnittpunkte mit der Kugeloberfläche. Wobei der Schnitt dieser 4 Punkte leer sein müsste?
Wenn man es sich vorstellt befinden sich die Schnittpunkte dann an anderen Stellen.
Aber gilt das für alle Punkte? Und gibt es dazu eine etwas sachlichere Begründung?
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> Wenn ich zwei Achsen durch die Kugel nehme, sagen wir mal,
> zur veranschaulichung, einmal die Nord-Süd Achse und eine
> äquatoriale Achse. Dann rotiere ich zuerst um die NS Achse
> und dannach um die andere. So habe ich pro Achse 2 fixe
> Schnittpunkte mit der Kugeloberfläche. Wobei der Schnitt
> dieser 4 Punkte leer sein müsste?
Korrekt. Sofern du nicht gerade ne Volldrehung machst.
> Wenn man es sich vorstellt befinden sich die Schnittpunkte
> dann an anderen Stellen.
> Aber gilt das für alle Punkte? Und gibt es dazu eine
> etwas sachlichere Begründung?
Jo.
Nimm dir ein x-y-z Koordinaten-System. Leg den Kugelmittelpunkt auf (0,0,0).
Drehst du um die x - Achse, ändert sich die x-Koordinate nicht, sondern die Änderung findet einfach in der y-z-Ebene statt.
Hier weisst du nun, du hast 2 Fixpunkte, nämlich (-r,0,0) und (r,0,0).
Rotierst du nun um eine andere Achse, bspw. die y-Achse, findet analog die Änderung nur in der x-z-Ebene statt, d.h. die vorherigen Fixpunkte werden verschoben.
Du musst nun nur noch begründen, warum keine anderen Punkte an ihre "alte" Position zurückgedreht werden können.
Das liegt aber einfach daran, dass sich bei allen anderen Punkten ausser den beiden Fixpunkten die y-Koordinate bei der ersten Rotation verändert hat, bei der zweiten allerdings nicht mehr, d.h. die y-Koordinate aller anderen Punkte ist auf jedenfall von ihrer ursprünglichen verschieden.
MFG,
Gono.
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