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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Kugelvolumen
Kugelvolumen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Kugelvolumen: Aufgabenstellung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:21 Sa 09.01.2010
Autor: derdickeduke

Aufgabe
Es sei [mm] Vol(B_n(r)):=\lambda^n\{x\in \IR^n,||x||\le r\} [/mm] für r>0

Hallo Leute,
der Rest der Aufgabe ist dann schon nicht mehr interessant. Ich will hier ja auch keine Lösungen, sondern ich will gerne verstehen, was es mit [mm] Vol(B_n(r)):=\lambda^n{x\in \IR^n,||x||\le r} [/mm] für r>0 auf sich hat und zwar Stück für Stück. [mm] Vol(B_n(r)) [/mm] steht für das Volumen einer n-dimensionalen Kugel, mit Radius r, soviel ist noch klar. Was auch klar ist, ist [mm] {x\in \IR^n,||x||\le r} [/mm] für r>0. Das sind die x, die sich in der Kugel befinden. Was sich mir nicht erschließt ist [mm] das\lambda^n. [/mm] Was bedeutet es hier?

Vielen Dank für jeden Tipp

        
Bezug
Kugelvolumen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:28 Sa 09.01.2010
Autor: AT-Colt

Hi,

das [mm] $\lambda^{n}$ [/mm] weist üblicherweise auf das Lebesgue-Maß hin. Ein Maß ordnet einer (messbaren) Menge (z.B. einer Kugel mit Radius $r$) eine nichtnegative Zahl zu, nämlich ihr Volumen bezüglich dieses Maßes.

Das Lebesgue-Maß ist quasi das "gute" Maß, das bei kartesischen Koordinaten das Volumen zuordnet, das wir der Menge auch "aus dem Bauch heraus" zuordnen würden.

Für nähere Details siehe Maßtheorie, das ist ein ziemlich umfangreiches Teilgebiet der Mathematik ^^;

Gruß,

AT-Colt

Bezug
                
Bezug
Kugelvolumen: nur so aus Interesse
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:36 Sa 09.01.2010
Autor: derdickeduke

Vielen Dank!
Folgende Frage ist jetzt mehr Interesse als dass es mit der Aufgabe zu tun hätte
gibt es eigentlich eine Formel für n-dimensionales Kugelvolumen?

Bezug
                        
Bezug
Kugelvolumen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:45 Sa 09.01.2010
Autor: AT-Colt

Ja, die gibt es. Sie lautet [mm] $r^{n}\bruch{\pi^{\bruch{n}{2}}}{\Gamma\left(\bruch{n}{2}+1\right)}$. [/mm] Hierbei wurde die Gammafunktion benutzt. Einen einfacheren Ausdruck kenne ich gerade nicht.

Gruß,

AT-Colt

Bezug
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