Kugelvolumen und Halbraum < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Den Durchschnitt des Halbraums {(x,y,z)| [mm] z>\psi [/mm] }mit der Vollkugen [mm] B_r(0)\subseteq \IR^3 [/mm] bezeichnen wir mit A. Hierbei ist r>0 der Radius der Kugel, 0 deren Mittelpunkt und [mm] \psi \in \IR. [/mm] Bestimme das Volumen von A in Abhängigkeit von r und [mm] \psi. [/mm] |
bei dieser Aufgabe habe ich gar keine Ahnung mit welchem Ansatz man da rangehen soll. Das ist für mich gerade etwas unverständlich. Es geht um eine Kugel mit dem Mittelpunkt 0, okay, das der radius > 0 sein muss ist auch klar. Das Volumen einer Kugel ist ja allgemein V= [mm] \bruch{4}{3}\pi*r^3 [/mm] aber dann fehlt mir hier die Abhängigkeit zu [mm] \psi. [/mm]
So...
Gruß
mathegirl
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Hallo Mathegirl,
vielleicht liegt es nur an der Formulierung der Aufgabe?
> Den Durchschnitt des Halbraums [mm]\{(x,y,z)|z>\psi\}[/mm] mit der
> Vollkugel [mm]B_r(0)\subseteq \IR^3[/mm] bezeichnen wir mit A.
Wenn Du in mathematischen Formeln geschweifte Klammern brauchst, kommt ein backslash davor, \{a\} ergibt also [mm] \{a\}.
[/mm]
> Hierbei ist r>0 der Radius der Kugel, 0 deren Mittelpunkt
> und [mm]\psi \in \IR.[/mm] Bestimme das Volumen von A in
> Abhängigkeit von r und [mm]\psi.[/mm]
>
> bei dieser Aufgabe habe ich gar keine Ahnung mit welchem
> Ansatz man da rangehen soll. Das ist für mich gerade etwas
> unverständlich. Es geht um eine Kugel mit dem Mittelpunkt
> 0, okay, das der radius > 0 sein muss ist auch klar. Das
> Volumen einer Kugel ist ja allgemein V=
> [mm]\bruch{4}{3}\pi*r^3[/mm] aber dann fehlt mir hier die
> Abhängigkeit zu [mm]\psi.[/mm]
Die ist ja gerade gesucht. Die Kugel wird in der Höhe [mm] \psi [/mm] waagerecht durchgeschnitten. Ist [mm] \psi\le{-r}, [/mm] so liegt die gesamte Kugel im angegebenen Halbraum. Ist [mm] \psi\ge{r}, [/mm] so ist der Durchschnitt von Kugel und Halbraum leer. Ist [mm] \psi=0, [/mm] so besteht der Durchschnitt gerade aus einer Halbkugel, Volumen [mm] \bruch{2}{3}\pi*r^3.
[/mm]
Soweit die einfachen Fälle. Du sollst nun eine Formel aufstellen für [mm] -r\le\psi\le{r}, [/mm] bzw. die Formel für einen ![[]](/images/popup.gif) Kugelabschnitt herleiten.
Grüße
reverend
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Ich versteh es trotzdem nicht...ich weiß nicht, wie ich daraus das Volumen bestimmen soll...meine einzige Idee dazu wäre:
Also die Randfunktion ist:
[mm] y=\wurzel{r^2-(x-r)^2}
[/mm]
= [mm] \wurzel{2xr-x^2}
[/mm]
Eingesetzt in die Volumenformel
[mm] V=\pi \integral_{0}^{\psi}{2rx-x^2 dx}
[/mm]
= [mm] \pi [rx^2-\bruch{1}{3}]_0^\psi
[/mm]
= [mm] \pi(r*\psi-\bruch{1}{3}*\psi^3)
[/mm]
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Hallo Mathegirl,
> Ich versteh es trotzdem nicht...ich weiß nicht, wie ich
> daraus das Volumen bestimmen soll...meine einzige Idee dazu
> wäre:
>
>
> Also die Randfunktion ist:
>
> [mm]y=\wurzel{r^2-(x-r)^2}[/mm]
> = [mm]\wurzel{2xr-x^2}[/mm]
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Das hast Du aus einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse r und den Katheten y und (x-r) bestimmt, nehme ich an. Fragt sich nur, wo (x-r) herkommen soll, und ob z gerade Urlaub macht.
> Eingesetzt in die Volumenformel
>
> [mm]V=\pi \integral_{0}^{\psi}{2rx-x^2 dx}[/mm]
Hm. Das ist die Formel, wenn ich eine Funktion y=f(x), die in der (x,y) liegt, um die x-Achse rotieren lasse. Das ist hier doch nicht gefragt.
Schließlich schneidet die Ebene [mm] z=\psi [/mm] die Kugel (und die Fälle, wo sie nicht schneidet, schließen wir vorher aus).
Also brauchen wir als Integrand eine Funktion, die die Schnittfläche in der Höhe z angibt und integrieren dann über dz in den Grenzen von [mm] \psi [/mm] bis +r.
Grüße
reverend
> = [mm]\pi [rx^2-\bruch{1}{3}]_0^\psi[/mm]
>
> = [mm]\pi(r*\psi-\bruch{1}{3}*\psi^3)[/mm]
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