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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:12 Fr 16.12.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe 1 | | Sei [mm] \alpha [/mm] eine reguläre, nach der Bogenlänge parametrisierte [mm] C^2-Kurve [/mm] in [mm] \IR^3. [/mm] Zeigen Sie: Treffen sich die Geraden durch [mm] \alpha(s) [/mm] in Richtung n(s) alle in einem Punkt, so ist die Spur der Kurve Teil einer Kreislinie. |
| Aufgabe 2 | Sei [mm] \alpha [/mm] eine reguläre, nach der Bogenlänge parametrisierte [mm] C^3-Kurve [/mm] ohne singuläre Punkte 1. Ordnung. Zeigen Sie, dass die Torsion [mm] \tau [/mm] von [mm] \alpha [/mm] gegeben ist durch:
[mm] \tau(s)=-\bruch{\alpha^{'}(s)\times \alpha^{''}(s)*\alpha^{'''}(s)}{|k(s)|^2} [/mm] |
Hallo!
Aufgabe 1:
Der Normalenvektor ist ja [mm] n(s)=\bruch{\alpha^{''}(x)}{k(s)} [/mm] mit der Krümmung [mm] k(s)=|\alpha^{''}(s)|.
[/mm]
Mir ist klar, dass die Krümmung im Kreis konstant sein muss.
Wie kann ich einfließen lassen, dass sich alle diese Geraden in einem Punkt treffen? Viellecht dass die an [mm] \alpha(s) [/mm] anliegenden Tangentenvektoren eine konstante Änderungsrate haben müssen?! Damit wäre die Krümmung konstant und das ist nur im Kreis der Fall??!
Aufgabe 2:
Für den Binormalvektor gilt $ [mm] b(s)=t(s)\times [/mm] n(s) $ mit dem Tangentenvektor t(s) und Normalenvektor n(s).
Es sind [mm] t(s)=\alpha^{'}(s) [/mm] und [mm] n(s)=\bruch{\alpha^{''}(s)}{k(s)} [/mm] also:
[mm] b(s)=\bruch{\alpha^{'}(s)\times \alpha^{''}(s)}{k(s)}
[/mm]
Für die Torsion gilt jetzt
[mm] b^{'}(s)=\tau(s)*n(s)
[/mm]
Jetzt müsste ich b(s) ableiten, oder? Irgendwie bekomme ich da nichts Vernünfitiges hin um auf das gesuchte Ergebnis zu kommen. Kann jemand helfen?
Vielen Dank schonmal! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 Fr 16.12.2011 | | Autor: | chesn |
Kann denn keiner etwas dazu sagen? Wäre sehr net.. bin ein bisschen am verzweifeln.. [mm] :\
[/mm]
Dankeschön!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 Fr 16.12.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]\alpha[/mm] eine reguläre, nach der Bogenlänge
> parametrisierte [mm]C^2-Kurve[/mm] in [mm]\IR^3.[/mm] Zeigen Sie: Treffen
> sich die Geraden durch [mm]\alpha(s)[/mm] in Richtung n(s) alle in
> einem Punkt, so ist die Spur der Kurve Teil einer
> Kreislinie.
> Sei [mm]\alpha[/mm] eine reguläre, nach der Bogenlänge
> parametrisierte [mm]C^3-Kurve[/mm] ohne singuläre Punkte 1.
> Ordnung. Zeigen Sie, dass die Torsion [mm]\tau[/mm] von [mm]\alpha[/mm]
> gegeben ist durch:
>
> [mm]\tau(s)=-\bruch{\alpha^{'}(s)\times \alpha^{''}(s)*\alpha^{'''}(s)}{|k(s)|^2}[/mm]
>
> Hallo!
>
> Aufgabe 1:
>
> Der Normalenvektor ist ja [mm]n(s)=\bruch{\alpha^{''}(x)}{k(s)}[/mm]
> mit der Krümmung [mm]k(s)=|\alpha^{''}(s)|.[/mm]
> Mir ist klar, dass die Krümmung im Kreis konstant sein
> muss.
>
> Wie kann ich einfließen lassen, dass sich alle diese
> Geraden in einem Punkt treffen? Viellecht dass die an
> [mm]\alpha(s)[/mm] anliegenden Tangentenvektoren eine konstante
> Änderungsrate haben müssen?! Damit wäre die Krümmung
> konstant und das ist nur im Kreis der Fall??!
Du kannst doch o.B.d.A. annehmen, dass sich alle Geraden im Ursprung schneiden (wenn nicht, verschiebst du die Kurve um einen konstanten Vektor). Dann muss die Verbindungslinie [mm] Ursprung--$\alpha(s)$ [/mm] auf der Geraden liegen, also [mm] $\alpha(s)$ [/mm] sich von $n(s)$ nur um einen Faktor unterscheiden.
> Aufgabe 2:
>
> Für den Binormalvektor gilt [mm]b(s)=t(s)\times n(s)[/mm] mit dem
> Tangentenvektor t(s) und Normalenvektor n(s).
> Es sind [mm]t(s)=\alpha^{'}(s)[/mm] und
> [mm]n(s)=\bruch{\alpha^{''}(s)}{k(s)}[/mm] also:
>
> [mm]b(s)=\bruch{\alpha^{'}(s)\times \alpha^{''}(s)}{k(s)}[/mm]
>
> Für die Torsion gilt jetzt
>
> [mm]b^{'}(s)=\tau(s)*n(s)[/mm]
Fehlt da nicht ein Minuszeichen?
Zur Berechnung von $b'$: aus [mm] $b=t\times [/mm] n$ folgt doch
[mm] b' = t' \times n + t\times n' = n \times n + t\times n' = t\times n' [/mm] .
und dann ist [mm] $\tau(s) [/mm] = - b'(s)*n(s) $ .
Viele Grüße
Rainer
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