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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Mi 30.11.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion:
$z = a [mm] \cdot [/mm] t [mm] \cdo e^{-b \cdot t}$
[/mm]
(Aus einer Grafik muss man noch den Knotenvektor [mm] $\vec{t} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 2 \\ 3 \\ 5 }$ [/mm] (das ist quasi die x-Achse eines normalen KS) und den [mm] $\vec{z} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 \\ 5 \\ 3 \\ 1 }$ [/mm] ablesen.)
Erstellen sie daraus nun ein lineares Gleichungssystem! |
Hi Leute!
Ich hab nun als ersten Schritt die Gleichung logarithmiert. Die sieht dann so aus:
$z = a [mm] \cdot [/mm] t [mm] \cdo e^{-b \cdot t} \Leftrightarrow [/mm] ln(z)=ln(a)+ln(t)-b [mm] \cdot [/mm] t$
Nun muss man anscheinend für $ln(a)$ und $-b$ neue Parameter einführen nämliche [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] ein.
Erste Frage dazu: Warum führt man hier neue Parameter ein?
Wenn ich sie nun eingeführt habe, sieht die linearisierte Funktion so aus:
$ln(z) = [mm] x_1 [/mm] + ln(t) - [mm] x_2 \cdot [/mm] t$
Nun muss man anscheinend noch das $ln(z)-ln(t)$ durch ein y ersetzen.
Zweite Frage dazu: Warum wird das gemacht?
Wenn man dann mit dem linearisieren fertig ist, sieht die "neue" Funktion so aus:
$y = [mm] -x_2 \cdot [/mm] t + [mm] x_1$
[/mm]
Könnt ihr meine Fragen beantworten?
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Hallo bandchef,
> Gegeben sei die Funktion:
>
> [mm]z = a \cdot t \cdo e^{-b \cdot t}[/mm]
>
> (Aus einer Grafik muss man noch den Knotenvektor [mm]\vec{t} = \pmat{ 1 \\ 2 \\ 3 \\ 5 }[/mm]
> (das ist quasi die x-Achse eines normalen KS) und den
> [mm]\vec{z} = \pmat{ 2 \\ 5 \\ 3 \\ 1 }[/mm] ablesen.)
>
> Erstellen sie daraus nun ein lineares Gleichungssystem!
>
>
> Hi Leute!
>
> Ich hab nun als ersten Schritt die Gleichung logarithmiert.
> Die sieht dann so aus:
>
> [mm]z = a \cdot t \cdo e^{-b \cdot t} \Leftrightarrow ln(z)=ln(a)+ln(t)-b \cdot t[/mm]
>
> Nun muss man anscheinend für [mm]ln(a)[/mm] und [mm]-b[/mm] neue Parameter
> einführen nämliche [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] ein.
>
> Erste Frage dazu: Warum führt man hier neue Parameter
> ein?
>
Um die Unbekannten [mm]x_{1}, x_{2}[/mm] in linearer Form vorliegen zu haben.
> Wenn ich sie nun eingeführt habe, sieht die linearisierte
> Funktion so aus:
>
> [mm]ln(z) = x_1 + ln(t) - x_2 \cdot t[/mm]
>
> Nun muss man anscheinend noch das [mm]ln(z)-ln(t)[/mm] durch ein y
> ersetzen.
>
> Zweite Frage dazu: Warum wird das gemacht?
>
Um eine Gerade zu erhalten.
>
> Wenn man dann mit dem linearisieren fertig ist, sieht die
> "neue" Funktion so aus:
>
> [mm]y = -x_2 \cdot t + x_1[/mm]
>
Die neue Funktion sieht so aus: [mm]y=x_{1}+x_{2}*t[/mm]
>
> Könnt ihr meine Fragen beantworten?
Siehe oben.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mi 30.11.2011 | | Autor: | bandchef |
Ergänzung zur ersten Frage:
Warum wird gerade [mm] a=x_1 [/mm] und [mm] b=x_2 [/mm] gesetzt?
Ergänzung zur zweiten Frage:
Woher weiß ich, dass ich die noch nicht linearisierte Funktion in die Form einer "Geradengleichung" bringen muss und vor allem: Woher weiß ich, dass ich dafür ich $ln(z)$ und $ln(t)$ verwenden muss?
Wenn ich nun aus der oben angegebenen linearisierte Funktion ein lin. Gls ableite, sieht das dann so aus:
[mm] $F\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{y}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow -x_2\cdot \vec{t}+x_1 [/mm] = y$
[mm] $\Leftrightarrow -x_2\cdot \vec{t}+x_1 [/mm] = [mm] ln(\vec{z})-ln(\vec{t})$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \pmat{ -1 +1 \\ -2 + 1 \\ -3 + 1 \\ -5 + 1} \cdot \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] = [mm] \pmat{ -ln(1) + ln(2) \\ -ln(2) + ln(5) \\ -ln(3) + ln(3) \\ -ln(5) + ln(51) }$
[/mm]
Nennt man das hier nun eine "Approximation" weil die Elemente im x-Vektor kleiner der Zeilenanzahl der Funktionsmatrix ist?
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Hallo bandchef,
> Ergänzung zur ersten Frage:
>
> Warum wird gerade [mm]a=x_1[/mm] und [mm]b=x_2[/mm] gesetzt?
>
Nun, weil [mm]x_{1},x_{2}[/mm] üblicherweise die Unbekannten
eine linearen Gleichungssystems darstelllen.
>
>
> Ergänzung zur zweiten Frage:
>
> Woher weiß ich, dass ich die noch nicht linearisierte
> Funktion in die Form einer "Geradengleichung" bringen muss
Das steht in der Aufgabe, zwar nicht direkt.
Aber ein Lineares Gleichungssystem deutet auf eine Gerade ein.
> und vor allem: Woher weiß ich, dass ich dafür ich [mm]ln(z)[/mm]
> und [mm]ln(t)[/mm] verwenden muss?
Die logarithmierte Gleichung trennst Du nach unbekannten
und bekannten Variablen. Hier ist z und t bekannt bzw. a und b unbekannt.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:21 Mi 30.11.2011 | | Autor: | bandchef |
Entschuldige bitte, aber da hat sich leider ein Edit von meiner letzten Frage mit einer Antwort von dir überschnitten. Vielleicht magst du meine letzte Frage nochmals durchlesen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mi 30.11.2011 | | Autor: | bandchef |
Du schreist, dass ein lineares Gleichungssystem auf eine Gerade hin deutet. Ist das dann generell so, oder nur hier in diesem Beispiel der Fall?
Kannst du dich evtl. noch zu meiner anderen Frage äußern?
-> Nennt man das hier nun eine "Approximation" weil die Elemente im x-Vektor kleiner der Zeilenanzahl der Funktionsmatrix ist?
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Hallo bandchef,
> Du schreist, dass ein lineares Gleichungssystem auf eine
> Gerade hin deutet. Ist das dann generell so, oder nur hier
> in diesem Beispiel der Fall?
>
Das gilt nur im Fall von zwei Unbekannten.
Im Fall von 3 Unbekannten ist das eine Ebene.
Bei mehr als 3 Unbekannten ist das eine Hyperebene.
Allen ist gemeinsam. dass die Unbekannten linear vorkommen.
> Kannst du dich evtl. noch zu meiner anderen Frage
> äußern?
>
> -> Nennt man das hier nun eine "Approximation" weil die
> Elemente im x-Vektor kleiner der Zeilenanzahl der
> Funktionsmatrix ist?
>
Das nennt man eher ""Optimierung".
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Do 01.12.2011 | | Autor: | bandchef |
Der Begriff Optimierung ist aber in der gesamten Vorlesung noch nicht gefallen. Es muss entweder Approximation oder Interpolation sein... Wie erkennt man dann ob das eine oder das andere zutrifft?
Wenn ich nun bspw. in die Eingangs erwähnte Funktion noch einen dritten unbekannten Parameter hinzufüge, weil dann die Funktion bspw. noch größeren Realitätsbezug bekommt, dann bildet also das Gls. eine Ebene ab? Interessant...
Ich weiß ja nicht ob das zu viel Umstand für dich macht, aber ich würde mich freuen, wenn du vielleicht eine weitere Aufgabe in der Form für mich hättest. Ich hab dazu gestern schon mal ne halbe Stunde investiert um irgend eine Seite zu finden die solche Aufgaben beinhaltet, aber leider nix gefunden. Kannst du mir da vielleicht aushelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 Do 01.12.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
in Wirklichkeit sind dein z und t werte wohl üblicherweise meßwerte, etwa t=zeit und Z =Zählrate.
man trägt sie gegeneinander auf und sieht, das ding hat nen max und geht dann gegen 0 vielleicht weiss man auch noch aus physikalischen Gründen, dass sich zfür große zeiten 0 annähern muss.
deshalb versucht man mal [mm] z=a*e^{-bt} [/mm]
dann kann man natürlich 2 Punkte einsetzen, daraus a und b bestimmen aber passen dann auch die restlichen 3?
besser man macht ne lineare gleichung draus, trägt dann ln(z)-ln(t) graphisch gegen t auf. Falls die vermutung der formel richtig ist sollte das jetz ne Gerade geben.
wenn das "Gesetz" [mm] z=a*e^{-bt} [/mm] stimmt, sollten jetzt die punkte auf ner geraden liegen.
da das aber messungen mit Fehlern sind, brauchts nicht genau stimmen! man hat die auswahl zwischen einer menge graden. und entscheidet sich dann für die, die am besten passt. damit hat man dann die "beste Approximation" für a und b.
das soll dir die Motivation hinter dem vorgehen erklären. nicht das vorgehen selbst.
Gruss leduart
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