Kurvenbest. aus deren Tangente < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Di 28.10.2008 | | Autor: | Waldmann |
| Aufgabe | Es sei M der Berührungspunkt zwischen einer Kurve, die durch den Punkt P(-a/a) geht, und einer Tangente dieser Kurve. Die Schnittpunkte der Tangente mit der x- und y-Achse sollen A bzw. B heißen. Bestimmen sie diejenige Kurve y=f(x), für die der Berührungspunkt M jeder beliebigen Kurventangente den durch die zugehörigen Punkte A und B begrenzten Tangenenabschnitt [mm] \overline{AB} [/mm] halbiert.
a) Zeigen Sie, daß die gesuchte Kurve der Differentialgleicung dy/dx = - y/x genügt.
b) Lösen sie die Differentialgleichung und stellen sie die Lösungskurve graphisch dar. |
Ich habe mit dem Aufgabenteil b) angefangen, weil ich hoffte aus dessen lösung dann auf a) schließen zu können, da ich mir bei a) nicht sicher war/bin, wie ich meinen Ansatz zu wählen hab.
daher habe ich nach der Methode der getrennten Variablen die Differentialgleichung gelöst und komme daher auf eine Funktion [mm] y=1/(x\*e^{d}) [/mm] , wobei d=c1+c2 , also die beiden Integrationskonstanten zu einer Konstanten d zusammengefasst sind. Durch Ableiten komme ich auch wieder auf die Ausgangsdifferentialgleichung, also scheint das Ergebnis richtig zu sein, doch nun zu meinem Problem mit der Aufgabe, wenn ich den Punkt (-a/a) einsetze sollte ich ja theoretisch die Gleichung umstellen können, sodass ich auf [mm] e^{d} [/mm] schließen kann, doch dummerweise bleibt dann stehen [mm] e^{d}= 1/-a^{2}, [/mm] obwohl die E Funktion nicht negativ werden kann. Ein weiteres Problem das ich habe wenn ich mir die Funktion vorstelle ist, dass es ja durch [mm] y=1/x*e^d [/mm] eine Hyperbel mit Stauchungs oder Streckungsfaktor sein müsste. Eine Hyperbel dieser Art müsste im 1. und 3. Quadranten liegen und kann somit auch nicht den Punkt P(-a/a) enthalten (wenn a>0 liegt dieser im 4. Quadranten bei a=0 im Koordinatenursprung und für a<0 im 2. Quadranten).
Ich überdenke die Aufgabe schon eine lange Weile, doch sehe leider keine Möglichkeit aus dieser "Sackgasse" herauszukommen. Vielleicht hat ja jemand von euch eine Idee, was ich "falsch" gemacht haben könnte bzw was ich nicht bedacht habe oder ähnliches. Auch wäre ich über Hinweise zur Vorgehensweise für a) sehr glücklich, da ich leider Momentan nicht weiß, wie von den gegebenen Bedingungen zu der gesuchten DIfferentialgleichung kommen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Di 28.10.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Waldmann,
zu b)
Ich würde mir da keine allzu großen Gedanken über das negative [mm] e^{d} [/mm] machen. Einerseits ist [mm] e^{i*\pi} [/mm] = -1, also auch negativ und zweitens gibt es eine einfache Regel bei Differentialgleichungen: Probe gut, alles gut. Mit anderen Worten: Deine Lösung y(x) = [mm] \bruch{-a^{2}}{x} [/mm] erfüllt die Anfangswertaufgabe (geht durch(-a,a) und löst die DGl), also ist sie eine Lösung.
Gruß
Uli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 Di 28.10.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Waldmann,
ich habe mir jetzt auch zu a) ein paar Gedanken und eine Skizze gemacht. Eigentlich ist sie selbsterklärend.
Die Skizze ist mit GeoGebra erstellt. Ich füge auch noch die html-Variante hinzu, die tuts aber nur wenn Du Java-Runtime hast.
Gruß
Uli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Waldmann |
ah danke, mit der Skizze kann ich was anfangen, und das Problem mit dem Minus hat sich nun auch geklärt, nämlich indem ich bei der Integration die Beträge nicht vernachlässige.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Mi 29.10.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Waldmann,
ich hatte schon ein schlechtes Gewissen, dass ich Dich mit meiner flapsigen Bemerkung über [mm] e^{i\pi} [/mm] auf eine falsche Fährte gelockt habe und das auch noch ohne  - Sorry. Das scheint aber nicht der Fall zu sein, Du hast schon selber gemerkt, dass die Stammfunktion von 1/x ln(|x|) ist.
Aber der zweite Teil meiner Antwort war schon ernst gemeint: In der Schule lernt man "Bei Wurzelgleichungen ist die Probe unerlässlich" und dies gilt genauso für Differentialgleichungen.
Gruß
Uli
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