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| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Funktion auf Nullstellen, Extrem und Wendestellen und zeichnen Sie den Graphen.
[mm] f(x)=0,5x(x-2)^3 [/mm] |
Einen schönen Sonntag wünsche ich,
ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum im Internet gestellt und hoffe auf Unterstützung von euch.
Es handelt sich um folgendes:
Bei der oben stehenden Aufgabe bin ich nun wie folgt vorgegangen:
1. Symmetrie: Die Funktion ist nicht symmetrisch, da sowohl gerade als auch ungerade Exponenten von x vorhanden sind.
2. Nullstellen: f(x) = 0
Da habe ich glaube ich dann auch schon meinen ersten Hänger (ist zwar peinlich)...
kann mir jemand Mal erklären, wie ich beim auflösen der Klammer auf folgendes Ergebnis komme: f(x) = 0,5x [mm] (x^3-6x^2+12x-8).
[/mm]
Somit komme ich zu den Nullstellen x1 = 0, x2 = 2(gef.), x3 und x4 = 2
3. Extremwerte: 1. Ableitung von f(x)
[mm] f'(x)=2x^3-9x^2+12x-4 [/mm] /:2
[mm] f'(x)=x^3-4,5x^2+6x-2
[/mm]
Extremwert 2(gefunden)
Durch Polynomdivision komme ich dann ebenfalls mit der abgeleiteten Gleichung wieder auf Null.
Danach Anwendung der P-Q Formel, womit sich Extremwert 2 =2 und Extremwert 3 = 0,5 ergibt.
Jetzt die 2.Ableitung
[mm] f''(x)=6x^2-18x+12
[/mm]
f''(2)=24-36+12=0 und somit ein Sattelpunkt (2/0)
f''(0,5)=1,5-9+12=4,5>0 und somit Min (0,5/-0,84)
Allerdings ist mir hierbei nicht klar wie ich auf die -0,84 gekommen bin!
Und wie errechne ich hierbei mein Max Wert???
So...jetzt werden nur noch die Wendepunkte errechnet mit:
f''(x)=0
[mm] 0=6x^2-18x+12 [/mm] /:6
[mm] x^2-3x+12
[/mm]
P-Q Formel
xWP 1 = 2
xWP 2 = 1
Und hier meine Frage an euch, weil ich den folgenden Punkt überhaupt nicht verstanden hab.
Aufstellen der Gleichung der Wendetangente!
(Alles was jetzt kommt ist 1zu1 von meinem Lehrer übernommen aber nicht verstanden)
yWT 1 = mx+b
f'(2) = 0
b=yWT1-mx
b=0-0*2
yWT 1 = 0
yWT 2 = mx+b
f'(1) = 1
b=yWT2-mx
b=-0,5-1*1
b=-1,5
yWT 2 = x-1,5
Ich bitte euch um Überprüfung meiner Vorgehensweise bei dieser Rechnung und um Erklärung des letzten Punktes "Gleichung der Wendetangente"
Vielen Dank für eure Mühen.
Gruß,
Stephan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 So 02.04.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
> 1. Symmetrie: Die Funktion ist nicht symmetrisch, da
> sowohl gerade als auch ungerade Exponenten von x vorhanden
> sind.
Und was hat das mit Symmetrie zu tun? In der Gleichung jeder Parabel tauchen gerade und ungerade Exponenten auf und jede Parabel ist symmetrisch.
> 2. Nullstellen: f(x) = 0
> Da habe ich glaube ich dann auch schon meinen ersten
> Hänger (ist zwar peinlich)...
> kann mir jemand Mal erklären, wie ich beim auflösen der
> Klammer auf folgendes Ergebnis komme: f(x) = 0,5x
> [mm](x^3-6x^2+12x-8).[/mm]
> Somit komme ich zu den Nullstellen x1 = 0, x2 = 2(gef.),
> x3 und x4 = 2
Absolut richtig. [mm] (x-2)^{3} [/mm] brauchst du gar nicht auszumultiplizieren - man sieht sofort eine Nullstelle bei x=2. Wenn x=2 reduziert sich [mm] (x-2)^{3} [/mm] auf [mm] 0^{3}.
[/mm]
> 3. Extremwerte: 1. Ableitung von f(x)
Das ist die erste Ableitung:
> [mm]f'(x)=2x^3-9x^2+12x-4[/mm] /:2
Und das ist die erste Ableitung durch 2, also f'/2, also NICHT f':
> [mm]f'(x)=x^3-4,5x^2+6x-2[/mm]
> Extremwert 2(gefunden)
> Durch Polynomdivision komme ich dann ebenfalls mit der
> abgeleiteten Gleichung wieder auf Null.
> Danach Anwendung der P-Q Formel, womit sich Extremwert 2
> =2 und Extremwert 3 = 0,5 ergibt.
2 und 0,5 sind die Wurzeln der ersten Ableitung. Ob das Extremwerte sind, willst du erst jetzt anhand der zweiten Ableitung bestimmen.
> Jetzt die 2.Ableitung
> [mm]f''(x)=6x^2-18x+12[/mm]
Richtig.
> f''(2)=24-36+12=0 und somit ein Sattelpunkt (2/0)
Kann sein. Dann muss [mm] f'''(2)\not=0.
[/mm]
> f''(0,5)=1,5-9+12=4,5>0 und somit Min (0,5/-0,84)
Richtig.
> Allerdings ist mir hierbei nicht klar wie ich auf die
> -0,84 gekommen bin!
Es müsste gelten f(1/2)=-0,84. Falls was anderes für f(1/2) rauskommt, dann musst du auch -0,84 durch den Wert von f(1/2) ersetzen.
> Und wie errechne ich hierbei mein Max Wert???
Es gibt einfach keinen.
> So...jetzt werden nur noch die Wendepunkte errechnet mit:
> f''(x)=0
> [mm]0=6x^2-18x+12[/mm] /:6
> [mm]x^2-3x+12[/mm]
> P-Q Formel
> xWP 1 = 2
> xWP 2 = 1
Richtig.
> Und hier meine Frage an euch, weil ich den folgenden Punkt
> überhaupt nicht verstanden hab.
>
> Aufstellen der Gleichung der Wendetangente!
> (Alles was jetzt kommt ist 1zu1 von meinem Lehrer
> übernommen aber nicht verstanden)
>
> yWT 1 = mx+b
> f'(2) = 0
> b=yWT1-mx
> b=0-0*2
> yWT 1 = 0
>
> yWT 2 = mx+b
> f'(1) = 1
> b=yWT2-mx
> b=-0,5-1*1
> b=-1,5
> yWT 2 = x-1,5
Keine Ahnung was das soll. Du sollst f'''(x) bestimmen. Falls [mm] f'''(1)\not=0 [/mm] ist (1;f(1)) ein Wendepunkt. Genau so musst du mit f'''(2) vorgehen.
Gruß,
dormant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 So 02.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stromberg!
Zur Wendetangente: verwende hier die Punkt-Steigungs-Form
[mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y-y_W}{x-x_W}$
[/mm]
Dabei sind [mm] $x_W$ [/mm] und [mm] $y_W$ [/mm] die Koordinaten des Wendepunktes und [mm] $m_t$ [/mm] die Steigung an dem betrachteten Wendepunkt:
[mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] f'(x_W)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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