Kurvendiskussion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion g(x) := [mm] x*e^{\bruch{1}{|x|}} [/mm]
Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich.
Ist g auf R stetig fortsetzbar? In welchen Bereichen ist g (streng) monoton wachsend bzw.
fallend? In welchen Bereichen ist g (streng) konvex bzw. konkav? |
Hallo,
Ich brauche mal eure Hilfe. Es wäre super nett wenn jemand das hier nachrechnen könnte und mir meine Fragen beantworte könnte.
Dmax: [mm] \IR/(0)
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0+}x*e^{\bruch{1}{|x|}}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0+} [/mm] x * [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0+} e^{\bruch{1}{|x|}}
[/mm]
= 0
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0-} x*e^{\bruch{1}{|x|}}
[/mm]
=0
g ist stetig ergänzbar durch den Wert 0
Bilden der der 1. und 2. Ableitung
Muss ich hier eine Fallunterscheidung durchführen?
x>0 g1'(x)= (1+ [mm] \bruch{1}{x})*e^\bruch{-1}{x}
[/mm]
g1''(x)= [mm] \bruch{1}{x³}*e^\bruch{-1}{x}
[/mm]
x<0 g2'(x)= (1- [mm] \bruch{1}{x})*e^\bruch{1}{x}
[/mm]
g2''(x)= [mm] \bruch{1}{x³}*e^\bruch{1}{x}
[/mm]
Nullstellen bestimmen für das Monotonieverhalten
g1'(x)=0 --> x= -1 g2''(-1)<0 lokales Maximum
g2'(x)=0 --> x= 1 g1''(1)>0 lokales Minimum
d.h
[mm] ]-\infty,-1] [/mm] monoton wachsend
[-1,1] monoton fallend
[mm] [1,\infty[ [/mm]
1. Ist die Funktion in den Punkten x=-1 bzw x=1 sowohl monoton wachend als auch monoton fallend?
2. Kann sich das Monotonieverhalten (oder auch Krümmungsverhalten ) generell auch an stetig ergänzbaren Definitionslücken ändern ?
Krümmungsverhalten
[mm] e^\bruch{1}{x} [/mm] bzw. [mm] e^\bruch{-1}{x} [/mm] immer positiv
deswegen hängt das Vorzeichen der 2. Ableitung von [mm] \bruch{1}{x^3}
[/mm]
ab
[mm] ]-\infty,0] [/mm] konkav
[mm] [0,\infty[ [/mm] konvex
Vielen Dank für die Hilfe
Gruß
Yannick
|
|
| |
|
Stimmt du hast Recht. Danke. Kann iich dann die Regel von l´Hopital anwenden?
|
|
|
| |
|
Hallo,
l'Hospital kannst verwenden, nachdem du geeignet umgeformt hast. Denn das ist ja an ganz klare Voraussetzungen geknüpft...
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hi
> Bilden der der 1. und 2. Ableitung
> Muss ich hier eine Fallunterscheidung durchführen?
Ja, das ist eine gute Idee.
Sei also erst einmal x positiv. Damit gilt doch zunächst:
[mm] g(x)=xe^{1/x}
[/mm]
Jetzt leiten wir das mal ab nach der Produktregel:
[mm] g'(x)=1*e^{1/x}+x*(1/x)'*e^{1/x}=e^{1/x}-x*1/x^2e^{1/x}=e^{1/x}-\frac{1}{x}e^{1/x}=(1-\frac{1}{x})e^{1/x}
[/mm]
Ich weiß also nicht, wie du auf die Minuszeichen im Exponenten gekommen bist.
Oder hast du die Bedingungen nur vertauscht?
>
> x>0 g1'(x)= (1+ [mm]\bruch{1}{x})*e^\bruch{-1}{x}[/mm]
>
> g1''(x)= [mm]\bruch{1}{x³}*e^\bruch{-1}{x}[/mm]
>
> x<0 g2'(x)= (1- [mm]\bruch{1}{x})*e^\bruch{1}{x}[/mm]
>
> g2''(x)= [mm]\bruch{1}{x³}*e^\bruch{1}{x}[/mm]
>
> Nullstellen bestimmen für das Monotonieverhalten
>
> g1'(x)=0 --> x= -1 g2''(-1)<0 lokales Maximum
> g2'(x)=0 --> x= 1 g1''(1)>0 lokales Minimum
>
> d.h
> [mm]]-\infty,-1][/mm] monoton wachsend
> [-1,1] monoton fallend
> [mm][1,\infty[[/mm]
>
> 1. Ist die Funktion in den Punkten x=-1 bzw x=1 sowohl
> monoton wachend als auch monoton fallend?
> 2. Kann sich das Monotonieverhalten (oder auch
> Krümmungsverhalten ) auch an stetig ergänzbaren
> Definitionslücken ändern (hier bei x=0)?
>
> Krümmungsverhalten
>
>
> [mm]e^\bruch{1}{x}[/mm] bzw. [mm]e^\bruch{-1}{x}[/mm] immer positiv
> deswegen hängt das Vorzeichen der 2. Ableitung von
> [mm]\bruch{1}{x^3}[/mm]
> ab
>
> [mm]]-\infty,0][/mm] konkav
> [mm][0,\infty[[/mm] konvex
>
> Vielen Dank für die Hilfe
>
> Gruß
>
> Yannick
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
> Hi
>
> > Bilden der der 1. und 2. Ableitung
> > Muss ich hier eine Fallunterscheidung durchführen?
> Ja, das ist eine gute Idee.
>
> Sei also erst einmal x positiv. Damit gilt doch zunächst:
>
> [mm]g(x)=xe^{1/x}[/mm]
>
> Jetzt leiten wir das mal ab nach der Produktregel:
>
> [mm]g'(x)=1*e^{1/x}+x*(1/x)'*e^{1/x}=e^{1/x}-x*1/x^2e^{1/x}=e^{1/x}-\frac{1}{x}e^{1/x}=(1-\frac{1}{x})e^{1/x}[/mm]
>
> Ich weiß also nicht, wie du auf die Minuszeichen im
> Exponenten gekommen bist.
> Oder hast du die Bedingungen nur vertauscht?
Du hast Recht. Ich habe gerade gemerkt ich habe die Aufgabenstellung falsch abgeschrieben. :/
|
|
|
| |
|
| Aufgabe 1 | Gegeben ist die Funktion g(x) := [mm] x*e^{\bruch{-1}{|x|}} [/mm]
Ist g auf R stetig fortsetzbar? |
| Aufgabe 2 | Gegeben ist die Funktion f(x) := [mm] x*e^{\bruch{1}{|x|}} [/mm]
Ist f auf R stetig fortsetzbar? |
Hallo,
Danke für deine Hilfe. Mir ist gerade aufgefallen, dass ich die Aufgabenstellung falsch abgeschrieben habe. Ich habe das - im Exponenten vergessen. Jetzt habe ich beide Aufgaben nochmal gelöst.
zu Aufgabe 1:
Jetzt müsste meine Rechnung doch stimmen
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0+}x*e^{\bruch{-1}{|x|}}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0+} [/mm] x * [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0+} e^{\bruch{-1}{|x|}}
[/mm]
= 0
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0-} x*e^{\bruch{-1}{|x|}}
[/mm]
=0
g ist stetig ergänzbar durch den Wert 0
zu Aufgabe 2
Hier [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0+}x*e^{\bruch{1}{|x|}} [/mm] läuft x gegen 0
und
[mm] e^{\bruch{1}{|x|}} [/mm] gegen [mm] \infty
[/mm]
Da ich nicht weiß was schneller voranschreitet muss ich hier L´Hospital anweden.
L´Hospital kann man anwenden wenn der Nenner und Zähler einens Bruchs beide gegen unendlich oder 0 laufen.
Deswegen schreibe ich meine Funktion f um.
Hospital kann ich nur anwenden wenn die Funktion in x differenzierbar ist.
Kann hier L´Hopital anwenden, da ich x gegen 0+ und 0- und nicht gegen 0?
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0+}x*e^{\bruch{1}{|x|}}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\ 0+}\bruch{e^{\bruch{1}{|x|}}}{1/x}
[/mm]
jetzt leite ich ab
[mm] =\limes_{x\rightarrow\ 0+} (1-1/x)*e^{\bruch{1}{|x|}} [/mm] = [mm] -\infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0-} x*e^{\bruch{-1}{|x|}}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\ 0-} (1-1/x)*e^{\bruch{1}{|x|}} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
f ist nicht stetig fortsetzbar
Ich hoffe das stimmt jetzt. Wäre trotzdem toll wenn das nochmal jemand nachschauen könnte!
LG
Yannick
|
|
|
| |
|
Hallo
Danke erstmal. Du hast mir schon sehr weitergeholfen.
Allerdings habe ich noch eine Frage
> Die Umwandlung zur Benutzung von L'Hospital ist richtig,
> aber siehe unten.
>
> > jetzt leite ich ab
> >
> > [mm]=\limes_{x\rightarrow\ 0+} (1-1/x)*e^{\bruch{1}{|x|}}[/mm] =
> > [mm]-\infty[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0-} x*e^{\bruch{-1}{|x|}}[/mm]
> >
> > [mm]=\limes_{x\rightarrow\ 0-} (1-1/x)*e^{\bruch{1}{|x|}}[/mm] =
> > [mm]\infty[/mm]
>
> Nein.
>
> Deine Darstellung ist falsch und die Grenzwerte auch.
Warum sind meine Darstellungen und meine Grenzwerte falsch.
Ich habe die Ableitungen nochmal nachgerechnet und die müssten stimmen oder?
oder muss ich 4 Grenzwerte bilden ?
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0+} x*e^{\bruch{-1}{x}}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0+} x*e^{\bruch{-1}{-x}}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0-} x*e^{\bruch{-1}{x}}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0-} x*e^{\bruch{-1}{-x}}
[/mm]
LG
Yannick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:20 Mi 29.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Hallo
>
> Danke erstmal. Du hast mir schon sehr weitergeholfen.
> Allerdings habe ich noch eine Frage
>
> > Die Umwandlung zur Benutzung von L'Hospital ist richtig,
> > aber siehe unten.
> >
> > > jetzt leite ich ab
> > >
> > > [mm]=\limes_{x\rightarrow\ 0+} (1-1/x)*e^{\bruch{1}{|x|}}[/mm] =
> > > [mm]-\infty[/mm]
> > >
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0-} x*e^{\bruch{-1}{|x|}}[/mm]
> > >
> > > [mm]=\limes_{x\rightarrow\ 0-} (1-1/x)*e^{\bruch{1}{|x|}}[/mm] =
> > > [mm]\infty[/mm]
> >
> > Nein.
> >
> > Deine Darstellung ist falsch und die Grenzwerte auch.
>
> Warum sind meine Darstellungen und meine Grenzwerte
> falsch.
> Ich habe die Ableitungen nochmal nachgerechnet und die
> müssten stimmen oder?
Ja, diese hat dir Richie vorgerechnet. 
> oder muss ich 4 Grenzwerte bilden ?
Nein. Guck dir den Satz von L'Hospital nochmal an!
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0+} x*e^{\bruch{-1}{x}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0+} x*e^{\bruch{-1}{-x}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0-} x*e^{\bruch{-1}{x}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0-} x*e^{\bruch{-1}{-x}}[/mm]
DieAcht
|
|
|
| |
|
Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch!
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0+} [/mm] (1-1/x)= - [mm] \infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0+} e^{\bruch{1}{|x|}} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0+} (1-1/x)\cdot{}e^{\bruch{1}{|x|}}=
[/mm]
- [mm] \infty [/mm] * [mm] \infty [/mm] = - [mm] \infty
[/mm]
Wo liegt mein Fehler?
Lg Yannick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Mi 29.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch!
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0+}[/mm] (1-1/x)= - [mm]\infty[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0+} e^{\bruch{1}{|x|}}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0+} (1-1/x)\cdot{}e^{\bruch{1}{|x|}}=[/mm]
>
> - [mm]\infty[/mm] * [mm]\infty[/mm] = - [mm]\infty[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du hast den Überblick komplett verloren
und die Regel von L'Hospital falsch verwendet,
denn du hast die komplette Funktion abgeleitet,
obwohl du sowohl den Nenner als auch den Zähler
getrennt ableiten musst!
Ist dir eigentlich der Grund der Fallunterscheidung bewusst?
Die Abbildung
[mm] f:\IR\to\IR^{+}_{0} [/mm] mit $f(x)=|x|$
ist in [mm] $x_0=0$ [/mm] nicht differenzierbar, denn es gilt:
[mm] f'_{+}(0)\limes_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x-0}{x-0}=1\not=-1=\limes_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{-x-0}{x-0}=\limes_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'_{-}(0)
[/mm]
Zurück zu deiner Aufgabe!
Wir wollen folgendes bestimmen:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0^{+}}x*e^{\frac{1}{|x|}}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0^{-}}x*e^{\frac{1}{|x|}}
[/mm]
Für $x>0$ gilt:
[mm] x*e^{\frac{1}{|x|}}=x*e^{\frac{1}{x}}=\frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}\to\frac{\infty}{\infty},x\to 0^{+}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{-\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}}{-\frac{1}{x^2}}=e^{\frac{1}{x}}\to\infty,x\to 0^{+}
[/mm]
Jetzt bist du dran mit dem zweiten Grenzwert!
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
Danke, der Grund für die Fallunterscheidung war mir nicht ganz klar.
Aber deine ausführlich Erklärung hat mit sehr geholfen.
Jetzt zum 2. Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0-} x*e^{\bruch{1}{|x|}}
[/mm]
für x<0 gilt
[mm] x\cdot{}e^{\frac{1}{|x|}}=x\cdot{}e^{\frac{1}{-x}}=\bruch{e^\bruch{1}{-x}}{\bruch{1}{x}}\to\frac{\infty}{-\infty},x\to 0^{-}
[/mm]
[mm] \bruch{\bruch{1}{x^2}*e^\bruch{1}{-x}}{\bruch{-1}{x^2}}
[/mm]
= [mm] -e^\bruch{1}{-x} \to-\infty,x\to 0^{-}
[/mm]
Ich glaube jetzt hab ich es geschafft ;)
LG
Yannick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 Do 30.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Danke, der Grund für die Fallunterscheidung war mir nicht
> ganz klar.
> Aber deine ausführlich Erklärung hat mit sehr geholfen.
>
> Jetzt zum 2. Grenzwert
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0-} x*e^{\bruch{1}{|x|}}[/mm]
>
> für x<0 gilt
>
> [mm]x\cdot{}e^{\frac{1}{|x|}}=x\cdot{}e^{\frac{1}{-x}}=\bruch{e^\bruch{1}{-x}}{\bruch{1}{x}}\to\frac{\infty}{-\infty},x\to 0^{-}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{x^2}*e^\bruch{1}{-x}}{\bruch{-1}{x^2}}[/mm]
>
> = [mm]-e^\bruch{1}{-x} \to-\infty,x\to 0^{-}[/mm]
>
> Ich glaube jetzt hab ich es geschafft ;)
>
Ja, das hast du 
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion g(x) := [mm] x*e^{\bruch{-1}{|x|}} [/mm]
In welchen Bereichen ist g (streng) monoton wachsend bzw.
fallend? In welchen Bereichen ist g (streng) konvex bzw. konkav? |
Hier nochmal die korekte Aufgabenstellung (mit - im Exponenten). Jetzt müssten meine Ableitungen auch stimmen.
x>0 g1'(x)= (1+ [mm] \bruch{1}{x})*e^\bruch{-1}{x}
[/mm]
g1''(x)= [mm] \bruch{1}{x³}*e^\bruch{-1}{x}
[/mm]
x<0 g2'(x)= (1- [mm] \bruch{1}{x})*e^\bruch{1}{x}
[/mm]
g2''(x)= [mm] \bruch{1}{x³}*e^\bruch{1}{x}
[/mm]
Nullstellen bestimmen für das Monotonieverhalten
g1'(x)=0 --> x= -1 g2''(-1)<0 lokales Maximum
g2'(x)=0 --> x= 1 g1''(1)>0 lokales Minimum
d.h
[mm] ]-\infty,-1] [/mm] monoton wachsend
[-1,1] monoton fallend
[mm] [1,\infty[ [/mm]
1. Ist die Funktion in den Punkten x=-1 bzw x=1 sowohl monoton wachend als auch monoton fallend?
2. Kann sich das Monotonieverhalten (oder auch Krümmungsverhalten ) auch an stetig ergänzbaren Definitionslücken ändern (hier bei x=0)?
Krümmungsverhalten
[mm] e^\bruch{1}{x} [/mm] bzw. [mm] e^\bruch{-1}{x} [/mm] immer positiv
deswegen hängt das Vorzeichen der 2. Ableitung von [mm] \bruch{1}{x^3}
[/mm]
ab
[mm] ]-\infty,0] [/mm] konkav
[mm] [0,\infty[ [/mm] konvex
Gruß
Yannick
|
|
|
| |
|
Hallo,
Also hier sind meine korrigierten 2. Ableitungen:
x>0 g1''(x) = [mm] \bruch{1}{x^3}* [/mm] e^(-1/x)
x<0 g2''(x) = [mm] \bruch{1}{x^3}* [/mm] e^(1/x)
>> g1'(x)=0 --> x= -1 g2''(-1)<0 lokales Maximum
>> g2'(x)=0 --> x= 1 g1''(1)>0 lokales Minimum
> Nullstellen der Ableitungen sind richtig, aber das danach
> musst du neu berechnen!
stimmt glaube ich trotzdem oder?
>
> > d.h
> > [mm]]-\infty,-1][/mm] monoton wachsend
> > [-1,1] monoton fallend
> > [mm][1,\infty[[/mm]
> >
> > 1. Ist die Funktion in den Punkten x=-1 bzw x=1 sowohl
> > monoton wachend als auch monoton fallend?
> > 2. Kann sich das Monotonieverhalten (oder auch
> > Krümmungsverhalten ) auch an stetig ergänzbaren
> > Definitionslücken ändern (hier bei x=0)?
> >
> > Krümmungsverhalten
> >
> >
> > [mm]e^\bruch{1}{x}[/mm] bzw. [mm]e^\bruch{-1}{x}[/mm] immer positiv
> > deswegen hängt das Vorzeichen der 2. Ableitung von
> > [mm]\bruch{1}{x^3}[/mm]
> > ab
> >
> > [mm]]-\infty,0][/mm] konkav
> > [mm][0,\infty[[/mm] konvex
> >
LG Yannick
|
|
|
| |
|
Ah ok ich dachte für x- Werte <0 muss ich es dann mit g2'' prüfen und umgekeht. Aber man prüft es dann mit der der Funktion, mit der man auch die Nullstelle bestimmt hat oder?
d.h. Nullstellen von g1'(x) prüfe ich mit g1''(x)
und Nullstellen von g2'(x) prüfe ich mit g2''(x)
Gruß
Yannick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:06 Do 30.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Ah ok ich dachte für x- Werte <0 muss ich es dann mit g2''
> prüfen und umgekeht. Aber man prüft es dann mit der der
> Funktion, mit der man auch die Nullstelle bestimmt hat
> oder?
>
> d.h. Nullstellen von g1'(x) prüfe ich mit g1''(x)
> und Nullstellen von g2'(x) prüfe ich mit g2''(x)
>
> Gruß
>
> Yannick
Ja, genau!
Gruß
DieAcht
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Schreibe besser: [mm]D \ = \ \IR\backslash\{0\}[/mm] .
