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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:06 Mi 10.02.2016 | | Autor: | Navyc225 |
| Aufgabe 1 | | f(x) = x²-2x+1/2-x |
| Aufgabe 2 | | f(x)=x²-x/x²+4x+4 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Tag Leute,
nachdem ich 3 Wochen lang, 13 Stunden pro Tag an den folgenden beiden Aufgaben saß und mittlerweile von den Abi-Prüfungen deswegen ausgeschlossen wurde, frage ich nun euch. Was wir lösen sollen ist wie folgt:
a) maximalen Definitionsbereich
b) Schnittpunkte mit Koordinatenachsen
c) Symmetrieverhalten zum Koordinatensystem
Soweit bin ich gekommen. Ab dann geht jedoch bei mir garnichts:
d) Verhalten an der Definitionslücke (nach h-Methode)
e) Gleichung der Asymptotenfunktion und Verhalten im Unendlichen
f) Koordinaten möglicher Schnittpunkte von Asymptote und Funktion
g) Koordinaten und Art der Extrempunkte
h) Koordinaten Wendepunkte
i) Monotonie- und Krümmungsintervalle
Desweiteren hätte ich jedoch die Frage: Was sind Monotonie und Krümmung?
PS, für die Regeln: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> f(x) = [mm] \bruch{x^2-2x+1}{2-x}
[/mm]
> f(x)= [mm] \bruch{x^2-x}{x^2+4x+4}
[/mm]
> a) maximalen Definitionsbereich
> b) Schnittpunkte mit Koordinatenachsen
> c) Symmetrieverhalten zum Koordinatensystem
>
> Soweit bin ich gekommen.
Hallo,
ich schlage vor, daß wir zuerst die erste der Funktionen, f(x) = [mm] \bruch{x^2-2x+1}{2-x}, [/mm] behandeln.
Deine neugewonnenen Erkenntnisse kannst Du ja anschließend an der anderen erproben.
> d) Verhalten an der Definitionslücke (nach h-Methode)
Bei x=2 hat die Funktion eine Definitionslücke.
Man schaut sich nun an, was mit den Funktionswerten passiert, wenn man sich der Definitionslücke x=2 von rechts und von links nähert.
von rechts:
dazu betrachtet man f(2+h) und schaut, was geschieht, wenn man das h immer kleiner macht, also immer dichter an die 2 heranrückt.
Auf mathematisch: man berechnet
[mm] \lim_{h\to 0}f(2+h) =\lim_{h\to 0}\bruch{(2+h)^2-2(2+h)+1}{2-(2+h)}
[/mm]
[mm] =\lim_{h\to 0}\bruch{(2^2+4h+h^2)-4-2h+1}{2-2-h}
[/mm]
[mm] =\lim_{h\to 0}\bruch{h^2+2h+1}{-h}=\lim_{h\to 0}(\bruch{h^2}{-h}+\bruch{2h}{-h}+\bruch{1}{-h})
[/mm]
[mm] =\lim_{h\to 0}(-h-2-\bruch{1}{h})= "-0-2-\bruch{1}{h}" =-\infty
[/mm]
Von links:
dazu betrachtet man f(2-h) und schaut, was geschieht, wenn man das h immer kleiner macht, also von unten immer dichter an die 2 heranrückt.
Auf mathematisch: man berechnet
[mm] \lim_{h\to 0}f(2-h) [/mm] = ...
und das machst Du jetzt mal.
> e) Gleichung der Asymptotenfunktion und Verhalten im
> Unendlichen
> f) Koordinaten möglicher Schnittpunkte von Asymptote und
> Funktion
> g) Koordinaten und Art der Extrempunkte
> h) Koordinaten Wendepunkte
> i) Monotonie- und Krümmungsintervalle
>
> Desweiteren hätte ich jedoch die Frage: Was sind Monotonie
> und Krümmung?
> PS, für die Regeln: Ich habe diese Frage in keinem Forum
> auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:42 Do 11.02.2016 | | Autor: | Navyc225 |
Hallo und danke für die schnelle Antwort.
Mein Ergebnis bei der Annäherung von rechts ist [mm] \bruch{1}{0} [/mm] = [mm] +\infty
[/mm]
Bei der Annäherung von links bekomme ich [mm] \bruch{1}{-0} [/mm] = [mm] -\infty
[/mm]
Laut den vorhandenen Lösungszahlen, welche der Lehrer uns mitgegeben hat besteht jedoch ein Vorzeichenwechsel. Was ist das und was mache ich falsch?
Mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:42 Do 11.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo und danke für die schnelle Antwort.
>
> Mein Ergebnis bei der Annäherung von rechts ist
> [mm]\bruch{1}{0}[/mm] = [mm]+\infty[/mm]
> Bei der Annäherung von links bekomme ich [mm]\bruch{1}{-0}[/mm] =
> [mm]-\infty[/mm]
Alles O.K.
>
> Laut den vorhandenen Lösungszahlen, welche der Lehrer uns
> mitgegeben hat besteht jedoch ein Vorzeichenwechsel. Was
> ist das
Der Grenzwert von rechts $= + [mm] \infty$ [/mm] und der der Grenzwert von links $= - [mm] \infty$
[/mm]
> und was mache ich falsch?
Nichts
FRED
>
> Mfg
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Hallo,
wie Fred schon sagt, machst Du nichts falsch.
Aus [mm] \lim_{h\to 0}f(2+h)=-\infty [/mm] und [mm] \lim_{h\to 0}f(2-h)=+\infty [/mm] lernt man:
an der Stelle x=2 ist eine Polstelle der Funktion, und zwar (falls Ihr den Begriff verwendet:) eine ungerade Polstelle,
eine Polstelle bei der die Äste links und rechts dieser Stelle in verschiedene Richtungen laufen.
Das meint der Lehrer mit Vorzeichenwechsel. Eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
Wenn Du Dir die Funktion mal plottest, kannst Du es Dir betrachten.
Wenn die Grenzwerte beide [mm] +\infty [/mm] sind oder beide [mm] -\infty, [/mm] dann hat man eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel, eine gerade Polstelle.
Prinzipiell könnte an Definitionslücken von gebrochenrationalen Funktionen noch etwas anderes passieren:
man könnte eine Zahl herausbekommen. Das sind dann die "stetig hebbaren Definitionslücken". An diesen Stellen hat der Funktionsgraph ein winziges Löchlein.
Beispiel: [mm] g(x)=\bruch{x^2-9}{x+3}.
[/mm]
LG Angela
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> f(x) [mm] =\bruch{x^2-2x+1}{2-x}
[/mm]
> e) Gleichung der Asymptotenfunktion und Verhalten im
> Unendlichen
Hierzu mache eine Polynomdivision
[mm] (x^2-2x+1):(-x+2)=...
[/mm]
Wenn Du nicht weißt, wie es geht, rechne erst ein, zwei Beispiele aus dem Lehrbuch nach und versuche es dann einfach einaml.
> f) Koordinaten möglicher Schnittpunkte von Asymptote und
> Funktion
Schnittpunkte von Funktionen rechnet man aus, indem man die Funktionsgleichungen gleichsetzt und dann löst.
Das können wir tun, wenn wir die Asymptote haben.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:46 Do 11.02.2016 | | Autor: | Navyc225 |
Ich weiss wie die Polynomdivision geht. Jedoch komme ich bei dieser zu keinem Ergebnis.
Ich komme bis [mm] -x-\bruch{1}{x}aber [/mm] auch nicht weiter.
Laut Lösungen sollte die Restfunktion [mm] -\bruch{1}{x-2} [/mm] sein. Wie komme ich dahin?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:25 Do 11.02.2016 | | Autor: | chrisno |
Wenn Du eine Mitteilung schreibst, drückst Du damit aus, dass Du keine Antwort haben willst. Das passt nicht zum Inhalt Deiner Mitteilung.
> Ich weiss wie die Polynomdivision geht. Jedoch komme ich
> bei dieser zu keinem Ergebnis.
>
> Ich komme bis [mm]-x-\bruch{1}{x}aber[/mm] auch nicht weiter.
>
> Laut Lösungen sollte die Restfunktion [mm]-\bruch{1}{x-2}[/mm]
> sein. Wie komme ich dahin?
Das ist ein Hinweis, dass Du vielleicht doch nicht weißt, wie die Polynomdivision durchzuführen ist.
Angefangen hast Du richtig:
$ [mm] (x^2-2x+1):(-x+2)= [/mm] -x + ? $
Nun wird $-x * (-x+2) = [mm] x^2-2x$ [/mm] vom Dividenden subtrahiert und es bleibt von diesem +1 übrig.
Ich nehme Dein [mm]-\bruch{1}{x}[/mm] und multipliziere mit (-x+2), das ergibt [mm] $-\bruch{-x+2}{x} [/mm] = [mm] \bruch{x-2}{x} [/mm] = [mm] \bruch{x}{x}-\bruch{2}{x} [/mm] = [mm] 1-\bruch{2}{x}$ [/mm] und das ist nicht 1. Also stimmt Dein Ergebnis der Divison nicht.
Allerdings bist Du vorher schon fertig gewesen, denn nachdem Du alle Terme mit x aus dem Dividenden verarbeitet hast, wird der Rest so stehen gelassen. Es ist also noch 1 durch (-x+2) zu teilen, das wird als [mm] $+\bruch{1}{-x+2} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{x-2}$ [/mm] hingeschrieben.
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> Ich weiss wie die Polynomdivision geht.
Gut, daß Du diesbezüglich nicht ganz ahnungslos bist.
> Jedoch komme ich
> bei dieser zu keinem Ergebnis.
>
> Ich komme bis [mm]-x-\bruch{1}{x}aber[/mm] auch nicht weiter.
Ich versuche es mal vorzumachen,
ich weiß nicht, ob mir die Darstellung der Rechnung gut gelingt.
$ [mm] (x^2-2x+1):(-x+2)=... [/mm] $
Erstmal prinzipiell: wenn es eine Restfunktion gibt, dann hat diese unter dem Bruchstrich immer den Divisor, hier -x+2. Die Restfunktion mußr(x)= [mm] \bruch{...}{-x+2} [/mm] sein.
Los geht's
[mm] (x^2-2x+1):(\red{-x}+2)=\blue{-x} [/mm] ... denn [mm] x^2:(-x)=\blue{-x}
[/mm]
[mm] (x^2-2x+1):(-x+2)=-x...
[/mm]
[mm] -(x^2-2x) [/mm] denn [mm] -x*(-x+2)=x^2-2x
[/mm]
[mm] (x^2-2x+1):(-x+2)=-x...
[/mm]
[mm] -(x^2-2x)
[/mm]
---------
0 +1
Nun ist kein x mehr da.
Wären wir in der Grundschule, würden wir jetzt schreiben
[mm] (x^2-2x+1):(-x+2)=-x [/mm] Rest 1 [mm] \qquad \qquad [/mm] wie bei 16:5=3 Rest 1.
Wir sind aber schon groß, also schreiben wir
[mm] (x^2-2x+1):(-x+2)=-x+\bruch{1}{-x+2} [/mm] bzw. [mm] 16:5=3+\bruch{1}{5}.
[/mm]
Die Lösung Deines Lehrers bekommt man dann so
[mm] (x^2-2x+1):(-x+2)=-x+\bruch{1}{-x+2}
[/mm]
[mm] =-x+\bruch{1}{-1*(x-2)}
[/mm]
[mm] =-x-\bruch{1}{x-2}.
[/mm]
Das obige Ergebnis wäre aber genauso richtig! (Ich persönlich find's sogar einfacher, damit weiterzuüberlegen.)
Schauen wir die Restfunktion [mm] r(x)=\bruch{1}{x-2} [/mm] an:
wenn x unendlich groß wird, geht der Ausdruck gegen 0, und zwar von oben,
weil dann ja x-2 positiv ist.
Für [mm] x\to \infty [/mm] wird also von -x ein ganz kleiner positiver Betrag abgezogen:
die Funktion verläuft unterhalb der Geraden -x und nähert sich dieser von unten an.
wenn x ganz doll negativ wird [mm] (x\to -\infty), [/mm] geht der Ausdruck gegen 0, und zwar von unten,
weil dann ja x-2 negativ ist.
Für [mm] x\to \infty [/mm] wird also von -x ein ganz kleiner negativer Betrag abgezogen,
d.h. ein ganz kleiner positiver Betrag addiert, denn "minus minus ist plus":
die Funktion verläuft links, also für [mm] x\to -\infty [/mm] oberhalb der Geraden -x und nähert sich dieser von oben an.
Schau Dir auch das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereiches mal in einem Plot an, in welchem Du Dir die Funktion und die Gerade g(x)=-x darstellst.
LG Angela
>
> Laut Lösungen sollte die Restfunktion [mm]-\bruch{1}{x-2}[/mm]
> sein. Wie komme ich dahin?
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f(x) [mm] =\bruch{x^2-2x+1}{2-x}
[/mm]
> g) Koordinaten und Art der Extrempunkte
An dieser Stelle kommen die Ableitungen ins Spiel.
Berechne erstmal die erste und zweite Ableitung.
Du benötigst die Quotientenregel.
Wenn Du die Ableitung hast, mußt Du zuerst die Nullstellen der ersten Ableitung berechnen.
Diese sind die Extremwertkandidaten.
Danach folgt der Test mit der 2.Ableitung oder dem Vorzeichenwechselkriterium.
Das können wir besprechen, wenn wir die Nullstellen der ersten Ableitung vorliegen haben.
> h) Koordinaten Wendepunkte
Die machen wir, wenn Du die Extremwertberechnung verstanden hast.
> i) Monotonie- und Krümmungsintervalle
Lösen wir, wenn wir Extrempunkte und Wendepunkte haben.
> Desweiteren hätte ich jedoch die Frage: Was sind Monotonie
Du sollst sagen, in welchen Bereichen die Funktion steigt und wo sie fällt.
> und Krümmung?
Wo ist sie rechtsgekrümmt und wo ist sie linksgekrümmt?
(Wie mußt Du lenken, wenn Du die Funktionsstraße mit dem Fahrrad entlangfährst?)
LG Angela
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