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Kurvendiskussion: ln-fkt.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:46 Mi 17.05.2006
Autor: slice

Hey!
Also, wirsollen die funktion ft(x)= [mm] \bruch{lnx}{t * x} [/mm] diskutieren!

1. Zuerst hab ich den Def.-Bereich bestimmt, der müsste R+ ohne null sein.
2. ist dann die symmetrie. Da aber ja R nur positiv ist, kann keine symmetrie da sein.
3. sind die achsenabschnitte:
y-achsenabschnitt ist keiner vorhanden, da R ohne null ist.
x-achsenabschnitte:

ft(x)=0
[mm] \bruch{lnx}{t *x} [/mm] = 0
lnx *(t [mm] *x)^{-1} [/mm] = 0

lnx = 0         oder     [mm] (t*x)^{-1}=0 [/mm]
[mm] e^{lnx}=e^{0} [/mm]           oder          [mm] \bruch{1}{(t*x)} [/mm] = 0
x=1                 oder         1  [mm] \not= [/mm] 0

Daher: eine NST bei (1|0)

Danach kommen die ableitungen. da bin ich allerdings nur bis zur 1. gekommen, weil ich irgendwie dachte das wär falsch....

also f't(x)= [mm] lnx*[-1(t*x)^{-2}*x] [/mm] +  [mm] \bruch{1}{x}*(t*x)^{-1} [/mm]
= [mm] lnx*[-x*(t*x)^{-2}] [/mm] + [mm] \bruch{1}{x²t} [/mm]


Und dann brauch ich noch vll. jmd. der mir nochmal erklärt was ne asymptote ist, das hab ich irgendwie verdärngt oder immernoch nich ganz kapiert oder so :-D


wäre gut, falls mir heut noch jmd. antworten kann, konnte die rechnungen nicht eher reinstellen, weil die seite hing oder so.
also danke schonmal, falls sich jemand die mühe amcht :-)
lg
        
Bezug
Kurvendiskussion: Korrektur zur Ableitung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:08 Mi 17.05.2006
Autor: Loddar

Hallo slice!


> 1. Zuerst hab ich den Def.-Bereich bestimmt, der müsste R+
> ohne null sein.

[ok]


> 2. ist dann die symmetrie. Da aber ja R nur positiv ist,
> kann keine symmetrie da sein.

[ok]


> 3. sind die achsenabschnitte:
> y-achsenabschnitt ist keiner vorhanden, da R ohne null ist.
> x-achsenabschnitte:
>  
> ft(x)=0
> [mm]\bruch{lnx}{t *x}[/mm] = 0
> lnx *(t [mm]*x)^{-1}[/mm] = 0
>  
> lnx = 0         oder     [mm](t*x)^{-1}=0[/mm]
> [mm]e^{lnx}=e^{0}[/mm]           oder          [mm]\bruch{1}{(t*x)}[/mm] = 0
> x=1                 oder         1  [mm]\not=[/mm] 0
>  
> Daher: eine NST bei (1|0)

[ok] Richtig!

Etwas kürzer wäre gewesen:

[mm] $\bruch{\ln(x)}{t*x} [/mm] \ = \ 0$   [mm] $\left| \ * \ (t*x) \ \not= \ 0 \ \ \text{gemäß Definitionsbereich}$ $\gdw$ $\ln(x) \ = \ 0$ $\gdw$ $x \ = \ e^0 \ = \ 1$ > Danach kommen die ableitungen. da bin ich allerdings nur > bis zur 1. gekommen, weil ich irgendwie dachte das wär > falsch.... Da hast Du leider Recht ... > also f't(x)= [/mm]  [mm]lnx*[-1(t*x)^{-2}*x][/mm] +  [mm]\bruch{1}{x}*(t*x)^{-1}[/mm] = [mm]lnx*[-x*(t*x)^{-2}][/mm] + [mm]\bruch{1}{x²t}[/mm]

Einfacher ginge es hier wohl mit der MBQuotientenregel. Aber Du packst hier eine falsche innere Ableitung rein:

[mm] $f_t'(x) [/mm] \ = \ [mm] \ln(x)*\left[-(t*x)^{-2}*\red{t}\right]+\bruch{1}{x}*(t*x)^{-1} [/mm] \ = \ ...$


Nach dem Zusammenfassen (bzw. mit der Quotientenregel) solltest Du am Ende haben:

[mm] $f_t'(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1-\ln(x)}{t*x^2}$ [/mm]


> Und dann brauch ich noch vll. jmd. der mir nochmal erklärt
> was ne asymptote ist, das hab ich irgendwie verdärngt oder
> immernoch nich ganz kapiert oder so :-D

Eine Asymptote ist eine Gerade, an die sich eine Funktionskurve z.B. für sehr große oder sehr kleine $x_$-Werte (also [mm] $x\rightarrow\pm\infty$) [/mm] immer mehr annähert.

Im Falle dieser Funktion wäre die x-Achse mit $y \ = \ 0$ eine Asymptote.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Zudem könnte man in diesem Falle auch die y-Achse als Asymptote bezeichnen.


Gruß
Loddar

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:10 Mi 17.05.2006
Autor: slice

Okay...
zur Asymptote....
Lasse ich dann x gegen 0 laufen, um zu sehen, ob y die Asymptote ist? Bei manchen aufgaben hatten wir das nämlich auch mit x -> 0....
Und bei dieser Aufgabe.. musste man um die Asymptote auszurechnen dann L'Hospital anweden? Dann hab ich nämlich für x gegen +unendlich auch 0.
Aber für x gegen - unendlich.. kann man das überhaupt machen? weil man ja dann sehr große zahlen praktisch einsetzen würde, aber ln von einer negativen zahl geht doch gar nicht, weil ja allien auch schon R+ als definitionsmenge vorgegeben ist. kannst du mir noch sagen, was das dann für die asymptote bedeutet? oder heißt es dann einfach dass die x achse die asymptote für den pos. bereich ist?

für das maximum habe ich dann e=x raus, damit liegt das max. bei (e| [mm] \bruch{1}{t*e}) [/mm]
Aber ich dussel hab glaub ich dann die 2. ableitung wieder nicht hinbekommen. also die 1. hab ich dann mit quotientenregel gemacht udn hat geklappt. nur bei der 2. wieder nicht.
da habe ich :
[mm] \bruch{(1-lnx)*(2tx)-(- \bruch{1}{x})*(t*x²)}{(t*x²)²} [/mm]

kann schätz ich wieder irgendwas nicht :-D
kannst du mir vll. sagen, was ich falsch gemacht habe und dann die 2 oder auch die 3. ableitung einmal richtig geben? ich verrechne mich ja offensichtlich irgendwo immer..
danke auch schonmal für deine schnelle antwort!
Bezug
                        
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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:18 Do 18.05.2006
Autor: V.Nightwing

Hi slice

die Ableitungen sind:
ft''(x)=[mm] \bruch {2* \ln x -3} {tx^3]} [/mm]

ft'''(x)=[mm] \bruch {11-6* \ln x} {tx^4} [/mm]

Also ich hab die 1.Ableitung beim Ableiten in [mm] \bruch {1} [tx^2} - \bruch {\ln x} {tx^2} [/mm] unterteilt und erst danach abgeleitet. Ich weiß zwar nicht wo der Fehler bei dir ist bzw. warum das getrennt werden muss, aber anscheinend ist das so^^
Bezug
                        
Bezug
Kurvendiskussion: weitere Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:35 Do 18.05.2006
Autor: Loddar

Hallo slice!


> Lasse ich dann x gegen 0 laufen, um zu sehen, ob y die
> Asymptote ist? Bei manchen aufgaben hatten wir das nämlich
> auch mit x -> 0....

Ganz genau! Schließlich ist ja auch [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$ ein Rand des Definitionsbereiches.


> Und bei dieser Aufgabe.. musste man um die Asymptote
> auszurechnen dann L'Hospital anweden? Dann hab ich nämlich
> für x gegen +unendlich auch 0.

[ok] Genau richtiger Ansatz ... sehr gut!


> Aber für x gegen - unendlich.. kann man das überhaupt
> machen?

Das geht bei dieser Aufgabe nicht, da wir die negativen Zahlen (und auch die Null) aus dem Definitionsbereich dieser Funktionweil ausgeschlossen hatten.




> für das maximum habe ich dann e=x raus, damit liegt das
> max. bei (e| [mm]\bruch{1}{t*e})[/mm]

[ok] Richtig!


> da habe ich :  [mm]\bruch{(1-lnx)*(2tx)-(- \bruch{1}{x})*(t*x²)}{(t*x²)²}[/mm]

Das sieht so schlecht nicht aus. Allerdings musst Du gemäß MBQuotientenregel immer im Zähler auch mit der Ableitung des Zählers beginnen.

Also:  [mm] $f_t''(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{ \left(-\bruch{1}{x}\right)*tx^2-[1-\ln(x)]*(2tx)}{\left(t*x^2\right)^2}$ [/mm]

Zusammenfassen und Kürzen liefert Dir dann das o.g. Ergebnis.


Gruß
Loddar

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Kurvendiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:59 Do 18.05.2006
Autor: slice

hey!
Ja, mir ist heute morgen auch eingefallen, dass ich die quotientenregel falsch rum angewandt hab, hab vorzeichen getuasch und schon gings!
Danke für eure antworte, auch nochmal für die erklärung von der asymptote, jetzt hab ichs wieder :-D
liebe grüße!
Bezug
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