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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Di 16.01.2007 | | Autor: | soony |
| Aufgabe | Gegeben ist die reele Funktion f:x ---> f(x) , x [mm] \in \IR
[/mm]
f(x) = [mm] \bruch{1}{32}x^{4}-x^{2}+8
[/mm]
Ihr Graph ist die Kurve Gf
1.1 Untersuchen Sie den Graphen Gf auf Symmetrie.
1.2 Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f.
1.3 Berechnen Sie die Koordinaten der Hoch-, Tief- und Wendepunkte des Graphen Gf. |
Hallo liebe Matheraumgemeinde.
Ich hab ein Problem mit dieser Aufgabe. 1.1 ist noch okay aber bei 1.2 komm ich schon ins grübeln..da es sich ja um biquadratische Gleichung handelt mach ich erstmal eine Substitution und zwar [mm] u=x^{2} [/mm] dann steht bei mir nun [mm] f(u)=\bruch{1}{32}u^{2}-u+8 [/mm] So nun die Lösungsformel. Da unter der Klammer 0 rauskommt rechne ich also 1/ [mm] \bruch{1}{16} [/mm] das ergebins ist somit 16. Rücksubstitution: [mm] \wurzel{u}=x [/mm] also x1=4 x2=-4. Ich bin mir aber nun nicht sicher ob das stimmt...
zu 1.3
1. Ableitung gleich 0 setzten.
[mm] \bruch{1}{8}x^{3}-2x=0
[/mm]
dann mal 8
[mm] x^{3}-16x=0
[/mm]
x ausklammern
[mm] x(x^{2}-16=0
[/mm]
daraus folgt das x1=0 und x2=4
leider weiß ich jetz nichtmehr weiter und wäre über eure Hilfe sehr erfreut.
Danke schonmal im vorraus.
Liebe Grüße Soony
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Di 16.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Gegeben ist die reele Funktion f:x ---> f(x) , x [mm]\in \IR[/mm]
>
> f(x) = [mm]\bruch{1}{32}x^{4}-x^{2}+8[/mm]
> Ihr Graph ist die Kurve Gf
>
> 1.1 Untersuchen Sie den Graphen Gf auf Symmetrie.
> 1.2 Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f.
> 1.3 Berechnen Sie die Koordinaten der Hoch-, Tief- und
> Wendepunkte des Graphen Gf.
> Hallo liebe Matheraumgemeinde.
Das ist doch mal nen Anrede. 
>
> Ich hab ein Problem mit dieser Aufgabe. 1.1 ist noch okay
> aber bei 1.2 komm ich schon ins grübeln..da es sich ja um
> biquadratische Gleichung handelt mach ich erstmal eine
> Substitution und zwar [mm]u=x^{2}[/mm] dann steht bei mir nun
> [mm]f(u)=\bruch{1}{32}u^{2}-u+8[/mm] So nun die Lösungsformel.
Soweit okay,
Da
> unter der Klammer 0 rauskommt rechne ich also 1/
> [mm]\bruch{1}{16}[/mm] das ergebins ist somit 16.
Korrekt
Rücksubstitution:
> [mm]\wurzel{u}=x[/mm] also x1=4 x2=-4. Ich bin mir aber nun nicht
> sicher ob das stimmt...
Korrekt
>
> zu 1.3
>
> 1. Ableitung gleich 0 setzten.
> [mm]\bruch{1}{8}x^{3}-2x=0[/mm]
> dann mal 8
> [mm]x^{3}-16x=0[/mm]
> x ausklammern
> [mm]x(x^{2}-16=0[/mm]
> daraus folgt das x1=0 und x2=4
Fast. Du hast nur eine Extremstelle vergessen, (Der Graph ist Achsensymmetrisch)
[mm] x_{1}=0
[/mm]
Bleibt noch x²=16
[mm] \gdw x=\red{\pm}4
[/mm]
Also [mm] x_{e_{2}}=4, x_{e_{3}}=-4
[/mm]
Bleibt noch zu prüfen, ob die Extremstellen Hoch oder Tiefpunkte sind.
Dazu mal [mm] f''(x)=\bruch{3}{8}x²-2
[/mm]
[mm] f''(0)<0\Rightarrow [/mm] H(0/f(0)) ist Hochpunkt.
[mm] f''(4)>0\Rightarrow T_{1}(4/\underbrace{0}_{=f(4)}) [/mm] ist ein Tiefpunkt
Und wegen der Symmetrie: [mm] T_{2}(-4/0) [/mm] ist ebenfalls ein TP
>
> leider weiß ich jetz nichtmehr weiter und wäre über eure
> Hilfe sehr erfreut.
Für die Wendestellen [mm] x_{w} [/mm] mzuss ja gelten: [mm] f''(x_{w})=0
[/mm]
und [mm] f'''(x_{w})\ne0
[/mm]
Hier findest du zwei Wendepunkte [mm] W_{1}(x_{w_{1}}/f(x_{w_{1}}))
[/mm]
und [mm] W_{2}(x_{w_{2}}/f(x_{w_{2}})), [/mm] wobe wegen der Symmetrie: [mm] x_{w_{1}}=-x_{w_{2}}
[/mm]
> Danke schonmal im vorraus.
>
> Liebe Grüße Soony
Hilft das erstmal weiter?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Di 16.01.2007 | | Autor: | soony |
okay die eine Extremstelle hab ich vergessen ;) danke, dass du mich daran erinnerst hehe.
So wenn ich nun überprüfe ob es sich bei den Extrempunkten um Hoch- und Tiefpunkt handelt setzte ich die Nullstellen also in f" ein. [mm] \bruch{3}{8} [/mm] -2
dann bekomm ich [mm] -1\bruch{5}{8} [/mm] heaus. [mm] -1\bruch{5}{8}< [/mm] also ist es ein Hochpunkt. Wären dann die Koordinaten [mm] (0;-1\bruch{5}{8})?
[/mm]
bei f"(4) kommt dann 4 raus und somit wäre der Tiefpunkt bei (4;4)? ist das doch so einfach oder hab ich da was übersehen?
Lieben Dank
Gruß Soony
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Di 16.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Fast, Die y-Koordinate des Extrempunkts oder Wendepunktes ermittelst du, indem du den x-Wert in die Originalfunktion f einsetzt, das habe ich aber auch so geschrieben.
[mm] W(x_{w}/\red{f(x_{w})})
[/mm]
[mm] E(x_{e}/\red{f(x_{e})})
[/mm]
Das einsetzen der [mm] x_{e}, [/mm] also der Extremstellen in die zweite Ableitung dient nur dazu, zu überprüfen, ob E ein Hoch oder ein Tiefpunkt ist.
Gilt [mm] f''(x_{e})>0, [/mm] ist E ein Tiefpunkt, gilt [mm] f''(x_{e})<0, [/mm] ist E ein Hochpunkt
Dasselbe gilt für die Wendestellen [mm] x_{w} [/mm] Wenn [mm] f'''(x_{w})\ne0, [/mm] ist [mm] W(x_{w}/\red{f(x_{w})}) [/mm] ein Wendepunkt,
gilt [mm] f'''(x_{w})=0, [/mm] ist [mm] S(x_{w}/\red{f(x_{w})}) [/mm] ein sogenannter Sattelpunkt.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Di 16.01.2007 | | Autor: | soony |
und schwupps es hat "ahhh" gemacht..
vielen Dank für deine schnelle Hilfe.
Viele Grüße
soony
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