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Kurvendiskussion: 2. Ableitung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:21 Di 13.03.2007
Autor: Stromberg

Aufgabe
f(x) = [mm] \bruch{x^2}{1-x} [/mm]

Ich habe die erste Ableitung gemacht und komme zu folgendem Ergebnis:

f'(x) = [mm] \bruch{2x-x^2}{(1-x)^2} [/mm]

Das müsste auch soweit richtig sein.

Nun möchte ich die zweite Ableitung machen, komme aber jetzt schon nach dem dritten Mal nachrechnen nicht auf das Ergebnis der Schule, welches lautet:

f''(x) = [mm] \bruch{2}{(1-x)^3} [/mm]

Ich habe Abgeleitet und Mal die Klammern aufgelöst und zwar wie folgt:

[mm] (2-2x-2x+2x^2)-(2x-x^2)(2-2x)(-1) [/mm] / (1-x)4

Für den Zähler bekomme ich nach weiterem Auflösen der Klammern nämlich ein [mm] x^3 [/mm] mit rein, welches in der Lösung laut Schule nicht vorkommen darf.

Vielleicht kann sich das Mal jemand anschauen.

Dankeschön

Gruß,
Stephan


        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:47 Di 13.03.2007
Autor: Ankh

Von hier
> f'(x) = [mm]\bruch{2x-x^2}{(1-x)^2}[/mm]

nach hier

> [mm](2-2x-2x+2x^2)-(2x-x^2)(2-2x)(-1)[/mm] / (1-x)4

hast du dich verrechnet.
$f'(x) = [mm] \bruch{(-2x+2)(1-x)² - (2x-x²)(-2)(1-x)}{(1-x)^4}$ [/mm]
$ = [mm] \bruch{(-2x+2)(1-x)² + (2x-x²)(-2x+2)}{(1-x)^4}$ [/mm]
$ = [mm] \bruch{(-2x+2)((1-x)² + (2x-x²))}{(1-x)^4}$ [/mm]
$ = [mm] \bruch{(-2x+2)(1+x²-2x + 2x - x²)}{(1-x)^4}$ [/mm]
$ = [mm] \bruch{(-2x+2)}{(1-x)^4}$ [/mm]
$ = [mm] \bruch{2(1-x)}{(1-x)^4}$ [/mm]
$ = [mm] \bruch{2}{(1-x)^3}$ [/mm]

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