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Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Ich hoffe, Jemand kann sich mal meine Rechnungen anucken und mir später bei einem Schritt helfen. Ich weiß, dass es sehr viel sein wird, was nach zu gucken ist, jedoch werde ich alle Rechnungen angeben, um euch somit die Sache zu vereinfachen! Die Nullstellenberechnung werde ich nicht posten, da ich die schon in der Schule kontrollieren lassen konnte.
f(x) = [mm] x^{3} [/mm] - [mm] 3x^{2} [/mm] - x + 3
f'(x) = [mm] 3x^{2} [/mm] - 6x - 1
f''(x)= 6x - 6
f'''(x)= 6
Extremstellenberechnung:
* notwenige Bedinung: f'(x)=0
f'(x) = [mm] 3x^{2} [/mm] - 6x - 1
[mm] 3x^{2} [/mm] - 6x - 1 = 0 | /3
= [mm] x^{2} [/mm] - 2x - [mm] \bruch{1}{3} [/mm] = 0
=> quadratische Ergänzung:
[mm] x^{2} [/mm] - 2x + 1 - 1 - [mm] \bruch{4}{3} [/mm] = 0
= [mm] (x-1)^{2} [/mm] - [mm] \bruch{4}{3} [/mm] = 0 | + [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
= [mm] (x-1)^{2} [/mm] = [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
=> [mm] x_{1}= \wurzel{\bruch{4}{3}} [/mm] + 1 und [mm] x_{2}= [/mm] - [mm] \wurzel{\bruch{4}{3}} [/mm] + 1
* hinreichende Bedinung: f'(x) = 0 und f''(x) [mm] \not=0
[/mm]
f''(x)= 6x - 6
[mm] f''(\wurzel{\bruch{4}{3}} [/mm] + 1) = [mm] 6*(\wurzel{\bruch{4}{3}} [/mm] + 1) - 6
[mm] \approx [/mm] 6,93 > 0 ====> lokales Minimum
f''(- [mm] \wurzel{\bruch{4}{3}} [/mm] + 1) = 6* (- [mm] \wurzel{\bruch{4}{3}} [/mm] + 1) - 6 [mm] \approx [/mm] -12,93 < 0 ===> lokales Maximum
=> [mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] x^{3} [/mm] - [mm] 3x^{2} [/mm] - x + 3
[mm] f(\wurzel{\bruch{4}{3}} [/mm] + 1)= [mm] (\wurzel{\bruch{4}{3}} [/mm] + [mm] 1)^{3} [/mm] - 3 * [mm] (\wurzel{\bruch{4}{3}} [/mm] + [mm] 1)^{2} [/mm] - [mm] \wurzel{\bruch{4}{3}} [/mm] + 1 + 3
= 4,78 ===> Tiefpunkt [mm] (\wurzel{\bruch{4}{3}} [/mm] + 1 | 4,78)
[mm] f(x_{2}) [/mm] = [mm] x^{3} [/mm] - [mm] 3x^{2} [/mm] - x + 3
f(- [mm] \wurzel{\bruch{4}{3}} [/mm] + 1) = (- [mm] \wurzel{\bruch{4}{3}} [/mm] + [mm] 1)^{3} [/mm] - 3 * (- [mm] \wurzel{\bruch{4}{3}} [/mm] + [mm] 1)^{2} [/mm] + [mm] \wurzel{\bruch{4}{3}} [/mm] + 1 + 3
=19,06 ===> Hochpunkt [mm] (\wurzel{\bruch{4}{3}} [/mm] + 1 | 19,06)
Wendepunkt:
* notwenige Bedinung: f''(x)=0
6x - 6 = 0 | + 6
= 6x= 6 | /6
= x = 1
* hinreichende Bedingung:
f'''(1) = 6 [mm] \not= [/mm] 0
=> f(1) = 1-3-1+3 = 0 ====> Wendepunkt (1 | 0)
So und jetzt habe ich noch ein Problem: wie sieht hier das Verhalten im Unendlichen aus? Mir hat es gestern freundlicherweise Jemand erklärt, jedoch habe ich es nicht geschafft, das hier anzuwenden.
Vielen Dank für die Zeit, sie sich Jemand nimmt, um meine Rechnungen zu kontrollieren!
PS: Bin mir nicht sicher, ob ich überall die Klammern richtig gesetzt habe und ob mit den Vorzeichen alles glatt gelaufen ist!
Liebe Grüße,
Sarah 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Fr 10.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Sarah
Alle und dabei die schwierigeren Rechnungen richtig.
Das mit [mm] \infty [/mm] ist einfach. für große x spielen nur die höchsten Potenzen ne Rolle, hier also [mm] x^3, [/mm] die anderen Terme sind demgegenüber für große x vernachlässigbar
(vielleicht solltest du das mal mit dem TR ausprobieren also x=1000000 einmal nur [mm] x^3 [/mm] und dann das ganze, entsprechend x=-1000000)
also für großße neg x geht [mm] x^3 [/mm] gegen? und für große pos x geht [mm] x^3 [/mm] gegen? kannst du sicher!
Gruss leduart
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Hallo Sarah!
Deine Überlegungen sind korrekt!
Ich möchte dir einmal zeigen, was dahintersteckt.
Nimmst du zummm Beipsiel deine Funktionsgleichung:
[mm]y=x^3-3x^2-x+3[/mm]
...nun klammerst du die höchste Potenz aus dem Funktionsterm mit Vorfaktor aus, hier [mm]x^3[/mm], dann erhläst du folgendes.
Dann wendest du den Grenzwert an, das sieht dann so aus:
[mm]\limes_{x\to \infty}x^3*\underbrace{\left[1-\left \bruch{3}{x} \right-\left \bruch{1}{x^2} \right+\left \bruch{1}{x^3} \right \right]}_{=1}[/mm]
In diesem Ausdruck geht der Klammerausdruck bei [mm]x\to \infty[/mm] genau gegen den Vorfaktor der höchsten Potenz inklusive dessen Vorzeichen. Das ist für diese Art Funktion immer so!
Das bedeutet es kommt nun nur noch auf die höchste Potenz an. Diese ist in deinem Beispiel ungerade. Über eine solche ungerade Potenzfunktion weist du, dass sie für negative Basen negativ und für positive positiv wird. Bei geraden Potenzen ist etwas anderes! Diese sind immer (ausgenommen [mm]0[/mm]) nicht-negativ.
Ich hoffe, diese Erklärungen des Hintergrunds hilft, dieses besser zu verstehen!
Mit lieben Grüßen
Goldener Schnitt
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Danke für deine Kontrolle!
