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| Aufgabe | Geg. sind die Funktionen f(x)= [mm] \bruch{1}{8}x^3 [/mm] - [mm] \bruch{3}{4}x^2 [/mm] und g(x)= [mm] -x*e^{-\bruch{x}{4}+1} [/mm] ; [mm] (x\in\IR\)
[/mm]
Die Gerade w ist Wendetangente von f(x).
a) Nullstellen von f(x) angeben. Koordinaten der lokalen Extrempunkte und Art dieser angeben. Gleichung Wendetangente aufstellen.
b) Die Gerade h verläuft durch den Wendepunkt von f(x) und ist orthogonal zur Wendetangente w.
Durch die Geraden h und w und die x-Achse wird ein Dreieck bestimmt. Durch h und w und die y-Achse ein weiteres Dreieck. Weisen Sie rechnerisch nach, adss beide Dreiecke den gleichen Flächeninhalt haben.
c) Schnittpunkte zw. f(x) und g(x) bestimmen. |
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") Hallo Zusammen!
Zu a) Für die Nullstellen von f(x) habe ich [mm] N_1 [/mm] (0;0) und [mm] N_2 [/mm] (6;0). Für die Extrempunkte [mm] E_1 [/mm] (0;0) Maximum; [mm] E_2 [/mm] (4;-4) Minimum.
Wendepunkt WP (2;-2)
- Verzichte mal auf die Ausführlichen Rechnungen, da alles schlüssige Ergebnisse sind. Gebe die Punkte aber an, falls sich doch ein Fehler eingeschlichen habe sollte, sieht man vielleicht wo...
Gleichung Wendetangente w= mx+b (Steigung im WP (2;-2) = f'(2)= -1,5) / -2= -1,5*2 +b ; b=1
So ich hoffe das stimmt bis dahin... und nun Zu b)
Nullstelle von Gerade w = [mm] N_w (\bruch{4}{6};0) [/mm] und Scnittpunkt mit y-Achse = S_wy (0;1)
Nun soll ich eine Geradengleichung für h aufstellen. h soll einen rechten Winkel zu w haben - Genau das ist mein Problem. Wie drücke ich das mathematisch aus? Und wie stelle ich damit die Geradengleichung auf? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Ich weiß, das die Gerade h auch durch den Punkt WP (2;-2) geht und eine positive Steigung aufweist. Habe es dann mit m=1,5 probiert, dass kann aber nicht stimmen.
Danach werde ich dann Nullstelle und Schnittpunkt y-Achse der Gerade h bestimmen.
Nun meine zweite Frage: Ich wollte dann die jeweilige Hypothenusenlänge bestimmen (müßten ja gleich sein) und dadurch, dass beide Dreicke den rechten Winkel bei WP(2;-2) haben, der ja von den Achsen gleich weit weg ist, einfach behaupten das die Dreicke den gleichen Flächeninhalt haben. Aber in Prosa darf ich das nicht! Wie geht sowas rechnerisch ohne den jeweiligen Flächeninhalt zu berechen?
Zu c)
f(x)=g(x)
bei f(x) ist das kein Problem aber um g(x)= [mm] -x*e^{-\bruch{x}{4}+1} [/mm] nach x umzustellen.
Wie bekomme ich das x aus der Potenz raus? Oder muss ich das gar nicht um den Schnittpunkt anzugeben? Habe es schon mit ln probiert um e auzulösen...geht aber auch nicht.
Vielleicht kann mir ja jemand helfen einen Lösungsansatz zu finden. Vielen Dank schonmal und Sorry wegen der vielen Fragen....LG Markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 Sa 08.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Markus
Zur Geraden h: Senkrecht stehen heisst, das Produkt der Steigungen ist -1.
D,h. m1*m2=-1
Mach dir das an 2 beliebigen sich schneidenden Geraden klar: m1=y1/x1 m2=-x1/y1
Wenn du die Steigungsdreiecke einzeichnest.
Ausserdem weisst du das ab jetzt am besten auswendig.
zu f=g ausser der einen Nst. bei x=0 kann man die anderen nur zeichnerisch, oder mit ner Näherungsrechnung rauskriegen.
schon die einfachsten Gleichungen der Art [mm] a*x=e^x [/mm] kann man nicht explizit lösen.
Du kannst allerdings fesstellen, dass das Min von g direkt oberhalb des Min von f liegt, und es deshalb links und rechts davon noch 2 nullstellen geben muss.
Zum Flächeninhalt: 1. h=2 kannst du direkt schreiben.
2. A=c*h/2 hinschreiben, daraus, wenn A1=A2 dann c1=c2 und umgekehrt. Dann die Länge der Hyp. als Differenzen der Ordinaten bzw. Abszissen Schnittpunkte bestimmen. Das ist keine Prosa.
Natürlich kannst du auch ohne Kommentar die 2 Flächen aus den gleichen Höhen und Hyp. ausrechnen. Dass du's aber direkt siehst kann Zusatzpunkte bringen!
Gruss leduart
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| Aufgabe | | c) Schnittpunkte zw. f(x) und g(x) bestimmen. |
Hallo leduart!
Vielen herzlichen Dank für Dein Mühen....Auf m1*m2=-1 wäre ich nie im Leben gekommen...Super.
Aber bei c) soll ich den Schnittpunt(e) der Gerade f(x) und g(x) bestimmen, Geht das dann überhaupt? Wenn ja, wie?
Beim gleichsetzen f(x)=g(x) habe ich totale Schwierigkeiten mit der Potenz von e.
[mm] \bruch{1}{8}x^3 [/mm] - [mm] \bruch{3}{4}x^2 [/mm] = [mm] -x*e^{-\bruch{x}{4}+1} [/mm] Wie fang ich da am besten an? Bzw. was wäre der erste Schritt?
LG Markus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Sa 08.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Genau das hab ich doch gesagt! bitte lies genauer: f, g sind zwarkeine Geraden, aber du kannst direkt nur die Schnittstelle bei x=0 bestimmen. die anderen kann man nur graphisch, oder mit nem Näherungsverfahren bestimmen.
Gruss leduart
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