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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:41 Fr 26.03.2004
Autor: Logan

Hallo MatheTeam
Tach Marc

Ich habe mal eine Frage zu der Aufgabe, die ich letztens bei der Nachhilfe bearbeitet habe.
Aufgabe:
[mm]\bruch{1}{x^3-4x}[/mm]
Habe schon folgendes ausgerechnet:
1)Symmetrie: Der Graph ist punktsymmetrisch zur y-Achse
2)[mm]D=\IR \{0,2,-2\}[/mm]
   Pole: 0: Pol mit Vorzeichenwechsel von + nach -.
            2: Pol mit Vorzeichenwechsel von - nach +.
           -2: POl mit Vorzeichenwechsel von - nach +.
3)Keine Nullstellen.
4)Näherungsfunktion ist y=0
5) Extremstellen: [mm]H(\wurzel{\bruch{3}{4}}|-0,32)[/mm]
                  [mm]T(-\wurzel{\bruch{3}{4}}|0,32)[/mm]
6) Keine Wendepunkte
Das hast du (Marc) ja schon nachgesehen.
Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht genau weiß wie ich das zeichnen soll.


        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:32 Sa 27.03.2004
Autor: Marc

Hallogan,

> Ich habe mal eine Frage zu der Aufgabe, die ich letztens
> bei der Nachhilfe bearbeitet habe.
> Aufgabe:
> [mm]\bruch{1}{x^3-4x}[/mm]
>  Habe schon folgendes ausgerechnet:
>  1)Symmetrie: Der Graph ist punktsymmetrisch zur y-Achse

[ok]

>  2)[mm]D=\IR \{0,2,-2\}[/mm]
>     Pole: 0: Pol mit Vorzeichenwechsel
> von + nach -.
>              2: Pol mit Vorzeichenwechsel von - nach +.
>             -2: POl mit Vorzeichenwechsel von - nach +.

[ok]

>  3)Keine Nullstellen.

[ok]

>  4)Näherungsfunktion ist y=0

[ok], und natürlich die senkrechten Asymptoten nicht vergessen.

>  5) Extremstellen: [mm]H(\wurzel{\bruch{3}{4}}|-0,32)[/mm]
>                    [mm]T(-\wurzel{\bruch{3}{4}}|0,32)[/mm]

Zähler und Nenner vertauscht? Ich habe da das raus:
[mm]H(\wurzel{\bruch{4}{3}}|-0,32)[/mm]
[mm]T(-\wurzel{\bruch{4}{3}}|0,32)[/mm]

>  6) Keine Wendepunkte

[ok]

>  Das hast du (Marc) ja schon nachgesehen.
>  Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht genau weiß wie ich
> das zeichnen soll.

Zunächst würde ich vielleicht die senkrechten Asymptoten an den Stellen -2,0 und 2 einzeichnen. Zusätzlich mit der waagerechten Asymptote und den Vorzeichenwechseln an den Polstellen entstehen so doch schon mal "Aufenthaltsbereiche" des Graphen:
Im Intervall [mm] $]-\infty;-2[$ [/mm] liegt er ganz unterhalb der x-Achse, im Intervall $]-2;0[$ oberhalb usw.
So bleibt dir doch gar nicht mehr viel Spielraum den Graphen zu zeichnen, er muß schließlich auch noch den Asymptoten beliebig nahe kommen. Das Einzeichnen des Hoch- und Tiefpunktes ist dann nur noch eine Detailverbesserung.

Zum Vergleich habe ich den Graph auch mal gezeichnet:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Alles Gute und üb' noch viel, diesmal will ich eine 1 sehen :-)

--Marc



Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:00 Sa 27.03.2004
Autor: Logan

Ok, aber wieso muss man noch links unten und rechts oben diese "Kurven" einzeichnen? Wie funktioniert das?

Bezug
                        
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:08 Sa 27.03.2004
Autor: Logan

Ah hab mir die Frage schon selbst beantwortet. :-)
Hab da aber noch ein Problem.
Folgende Aufgabe: [mm]f(x)=\bruch{x^2}{x^2-1}[/mm]
1) Symmetrie: Der Graphspiegelsymmetrisch zur y-Achse
2)Definitionsbereich: [mm]D=\IR \{1;-1\}[/mm]
   1 ist Pol mit Vorzeichenwechsel von - nach +.
  -1 ist Pol mit Vorzeichenwechsel von + nach -.
3)Nullstellen: x=0 P(0|0)
4) Näherungsfunktion: y=1
5) Extremstellen: [mm] f'(x)= \bruch{-2x}{(x^2-1)^2}[/mm]
    x=0 Hochpunkt (0|0)
6)Wendepunkte: [mm]f''(x)=\bruch{6x^2+2}{(x^2-1)^3}[/mm]
                            Keine Wendepunkte
Wollt nur mal nachfragen wie die Zeichnung dazu aussieht.
Oder kann mir vielleicht jemand sagen, wie ich in einen Post eine Zeichnung reinbringe? Dann kann ich selbst eine Zeichnung anfertigen und durch MatheTeam lediglich überprüfen lassen.
Übrigends Marc,was soll den das "Hallogan"?????:-)
Machst dich über meinen Namen lustig???:-)

Bezug
                                
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Kurvendiskussion: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 16:40 Sa 27.03.2004
Autor: ImperatoM

Ein paar deiner Schlußfolgerungen sind leider falsch.

I. Die Funktion hat in 0,0 einen Tiefpunkt - keinen Hochpunkt!
II. Die Funktion besitzt tatsächlich zwei Wendestellen. Setze die 2. Ableitung doch mal gleich null, dann findest du sie leicht!

Die Funktion dürfte Aussehen wie ein U, allerdings sind die oberen Enden des U stark nach außen gezogen, so daß sie im Unendlichen Parallelität zur x-Achse erreichen.

Bezug
                                        
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Kurvendiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:22 So 28.03.2004
Autor: Stefan

Hallo,

> Ein paar deiner Schlußfolgerungen sind leider falsch.
>  
> I. Die Funktion hat in 0,0 einen Tiefpunkt - keinen
> Hochpunkt!

Nein, das stimmt nicht.

>  II. Die Funktion besitzt tatsächlich zwei Wendestellen.
> Setze die 2. Ableitung doch mal gleich null, dann findest
> du sie leicht!

Das leider auch nicht.

Ist dir jetzt (nach nochmaligem Nachrechnen) klar, wo dein Fehler liegt? Ansonsten: Bitte nachfragen! :-)


In jedem Fall finde ich es gut, dass du Logan helfen wolltest und geantwortet hast. Nur so funktioniert das Forum, und Fehler gehören zur Mathematik dazu :-)

Liebe Grüße
Stefan  


Bezug
                                        
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Kurvendiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:57 So 28.03.2004
Autor: Logan

Ich sehe das genau so wie Stefan.
Ich finde es wichtig, dass du Intersse daran hattest mir zu helfen.
Danke.

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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:14 So 28.03.2004
Autor: Stefan

Lieber Logan,

deine Antworten sind alle richtig. Die folgende Zeichnung bestätigt zudem deine Angaben:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Jetzt alles klar?

Liebe Grüße
Stefan

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
                                        
Bezug
Kurvendiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:04 So 28.03.2004
Autor: Logan


> Jetzt alles klar?

Ja, so hab ich mir das auch vorgestellt. War mir aber nicht sicher ob das so richtig ist.
Danke dir.

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Kurvendiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:08 So 28.03.2004
Autor: Marc

Hallogan,

>  Ich schätze mal, dass ich als einfaches Mitglied keine
> Möglichkeit habe, Daten (wie z.B. Bilder etc.) hoch zu
> laden, oder?

Ich habs ja gerade schon in einem anderen Beitrag beschrieben, wollte aber noch die Links zu der Dokumentation geben:

Forumbedienung

und

FAQ

--Marc

Bezug
                                
Bezug
Kurvendiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:03 So 28.03.2004
Autor: Marc

Hallogan,

>  Oder kann mir vielleicht jemand sagen, wie ich in einen
> Post eine Zeichnung reinbringe? Dann kann ich selbst eine
> Zeichnung anfertigen und durch MatheTeam lediglich
> überprüfen lassen.

Du fügst an die Stelle, wo das Bild später erscheinen soll, folgendes ein:
[img]1[/img ]
(ohne das Leerzeichen am Ende.)

Dann sendest du den Artikel ab und rufst ihn zum Lesen auf. An der Stelle von [img]1[/img ] steht nun ein Link, dem du einfach nur noch zu folgen brauchst.

>  Übrigends Marc,was soll den das "Hallogan"?????:-)
>  Machst dich über meinen Namen lustig???:-)

Niemals, das liegt mir so fern wie meine Tastatur, auf der ich gerade schreibe.

Ungeduldig auf deine weiteren Übungsaufgaben wartend,
Marc

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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:14 So 28.03.2004
Autor: Logan


> Niemals, das liegt mir so fern wie meine Tastatur, auf der ich gerade schreibe.

Unverschämt. :-)

> Ungeduldig auf deine weiteren Übungsaufgaben wartend,

Ok, kein Thema. Ich habe da noch ein paar Fragen.
Wie war das noch mal, wenn die Werte des Definitionsbereiches mit den Werten der Nullstellen übereinstimmen? Was muss ich da noch mal machen? Ich weiß nur noch, dass ich mittels der Polynomdivision irgendwas ausrechnen soll.
Die nächste Frage ist, wie ich folgenden Term umforme, damit ich den Vorzeichenwechsel der Pole bestimmen kann.
Funktion: [mm]f(x)=\bruch{1}{x^2-4x+3}[/mm]


Bezug
                                                
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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:45 So 28.03.2004
Autor: Marc

Hallogan,

>  > Ungeduldig auf deine weiteren Übungsaufgaben wartend,

>  Ok, kein Thema. Ich habe da noch ein paar Fragen.

Das nächste Mal dann neuen Fragen in einen neuen Diskussionsstrang, weil es so doch recht unübersichtlich wird.

>  Wie war das noch mal, wenn die Werte des
> Definitionsbereiches mit den Werten der Nullstellen
> übereinstimmen? Was muss ich da noch mal machen? Ich weiß

Du meinst, wenn die Nullstellen des Nenners mit den Nullstellen des Zählers übereinstimmen? (Was du fragst, macht irgendwie keinen Sinn bzw. ich bin mir ziemlich sicher, dass du es so nicht meinst: Eine Funktion, die nur an den Nullstellen definiert ist?)

> nur noch, dass ich mittels der Polynomdivision irgendwas
> ausrechnen soll.

Genau, du betrachtest statt der eigentlich Funktion $f$ eine Hilfsfunktion [mm] $\tilde [/mm] f$, die aus $f$ folgendermaßen durch Polynomdivision hervorgegangen ist: Ermittle die gemeinsamen Nullstellen des Zählers und Nenners von $f$, sagen wir $a$ und $b$.
Nun führst du zwei Polynomdivisionen durch:
1. Zähler von $f$ : (x-a)*(x-b) = ... = Zähler von [mm] $\tilde [/mm] f$
2. Nenner von $f$ : (x-a)*(x-b) = ... = Nenner von [mm] $\tilde [/mm] f$

(Bei nur einer gemeinsamen Nullstelle dividierst du entsprechend nur durch (x-a), bei drei gemeinsamen Nullstellen durch (x-a)(x-b)(x-c) usw.)

Bis auf die Definitionslücken von $f$ (die nicht auch Definitionslücken von [mm] $\tilde [/mm] f$ sind) stimmen die beiden Funktionen ja überein, insbesondere haben sie die gleichen Polstellen.
Der Vorteil von [mm] $\tilde [/mm] f$ gegenüber $f$ ist nun aber, dass es beim Zähler und Nenner von [mm] $\tilde [/mm] f$ keine gemeinsamen Nullstellen mehr gibt, die Polstellen also genau die Nullstellen des Nenners von [mm] $\tilde [/mm] f$ sind.




>  Die nächste Frage ist, wie ich folgenden Term umforme,
> damit ich den Vorzeichenwechsel der Pole bestimmen kann.
>  Funktion: [mm]f(x)=\bruch{1}{x^2-4x+3}[/mm]

  
Zunächst einmal natürlich die Nullstellen des Nenners bestimmen: [mm] $x_1=1$ [/mm] und [mm] $x_2=3$. [/mm]

Jetzt könntest du entweder schreiben
[mm] $f(x)=\bruch{1}{(x-1)(x-3)}$ [/mm] und wie gehabt untersuchen, welche Vorzeichen f kurz vor und kurz nach den Definitionslücken hat.

Oder du könntest drei Funktionswerte ausrechnen, das ist meiner Meinung nach das einfachste:

$f(0)=...>0$
$f(2)=...<0$
$f(4)=...>0$

Die Stellen 0,2,4 sind so gewählt, dass zwischen zwei benachbarten Stellen genau eine Definitionslücke liegt (und keine Nullstelle).

An der Stelle 1 haben wir also einen VZW von + nach - und an der Stelle 3 von - nach +.

--Marc

Bezug
                                                        
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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:00 So 28.03.2004
Autor: Logan

Bei dem Problem, das man mit der Polynomdivision lösen muss, handelt es sich doch um eine hebbare Definitionslücke, oder nicht?
Könntest du mir nicht eine AUfgabe dazu stellen, anhand der ich das üben kann?

Bezug
                                                                
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:19 So 28.03.2004
Autor: Marc

Halllogan,

> Bei dem Problem, das man mit der Polynomdivision lösen
> muss, handelt es sich doch um eine hebbare
> Definitionslücke, oder nicht?
>  Könntest du mir nicht eine AUfgabe dazu stellen, anhand
> der ich das üben kann?

[mm] $f(x)=\bruch{x^2-5x+6}{x^2-7x+10}$ [/mm]

Untersuche $f$ auf Definitionslücken, Nullstellen, Polstellen, hebbare Def.-lücken und Asymptoten.

Viel Spaß!

--Marc

Bezug
                                                                        
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:41 So 28.03.2004
Autor: Logan

Ok.
Definitionslücken: [mm]D=\IR \ {5;2\}[/mm]
Nullstellen: x= 5 v x= 2
hebbare Difinitionslücken:
[mm]x^2-5x+6 : (x-2)= x-3[/mm]
[mm]x^2-7x+10 : (x-2) = x-5[/mm]
So, wie ich jetzt weiter machen soll, ist mir noch etwas unklar.


Bezug
                                                                                
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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:54 So 28.03.2004
Autor: Marc

Hallogan,

> Ok.
>  Definitionslücken: [mm]D=\IR \setminus \{5;2\}[/mm]

[ok]

>  Nullstellen: x= 5 v x=
> 2

[notok], ich habe als Nullstellen x=2 oder x=3 raus.

>  hebbare Difinitionslücken:

Wo ist die Antwort?

>  [mm]x^2-5x+6 : (x-2)= x-3[/mm]
>  [mm]x^2-7x+10 : (x-2) = x-5[/mm]
>  So, wie
> ich jetzt weiter machen soll, ist mir noch etwas unklar.

[mm] $\tilde f(x)=\bruch{x-3}{x-5}$ [/mm]

Da nun [mm] $\tilde f(2)\neq [/mm] 0$, war $x=2$ eine hebbare Definitionslücke.
Die Nullstelle des Nenners von [mm] $\tilde [/mm] f$ ist eine Polstelle ($x=5$).

Alles klar?
--marc

  

Bezug
                                                                                        
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:07 So 28.03.2004
Autor: Logan


> Da nun [mm]\tilde f(2)\neq 0, war x=2 [/mm] eine hebbare
> Definitionslücke.

Ok, aber was mach ich jetzt mit der 2? Zeichne ich die ganauso ein, wie ich das bei jeder anderen Definitionslücke auch mache, oder wie?
Und ist die 2 nicht auch ein Pol.
Ich dachte jede Definitionslücke wäre ein Pol, oder nicht?


Bezug
                                                                                                
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:25 So 28.03.2004
Autor: Marc

Hallogan,

> > Da nun [mm]\tilde f(2)\neq 0, war x=2[/mm] eine hebbare
> > Definitionslücke.
>  Ok, aber was mach ich jetzt mit der 2? Zeichne ich die
> ganauso ein, wie ich das bei jeder anderen Definitionslücke
> auch mache, oder wie?
>  Und ist die 2 nicht auch ein Pol.
>  Ich dachte jede Definitionslücke wäre ein Pol, oder nicht?

Nein, man unterscheidet drei verschiedene Arten von Definitionslücken, die sich gegenseitig ausschliessen:
i) Polstelle
ii) hebbare Definitionslücke
iii) Sprungstelle

ad i)
Wie Polstellen aussehen, dürfte ja mittlerweile klar sein, das sind Stellen, an denen senkrechte Asymptoten liegen

ad ii)
Eine hebbare Definitionslücke wirkt sich auf den Graph folgendermaßen aus: Er hat an der hebbaren Def.-lücke eine klitzekleine Unterbrechung, es fehlt eben nur ein einziger Punkt. Exakt einzeichnen kann man es nicht, man macht es aber durch eine Lücke kenntlich, die man zusätzlich "umkreist".
Die hebbaren Deflücken haben ihren Namen offensichtlich von der Tatsache, dass man nur einen weiteren Punkt in den Graphen einsetzen muß um ihn stetig ("durchgängig gezeichnet") zu machen.

ad iii)
Sprungstellen können bei rationalen (=gebrochen rationalen) Funktionen nicht auftreten, seien hier aber der Vollständigkeit halber erwähnt. Beispiel einer solchen Funktion ist
f(x) = x, falls x < 0 und
f(x) = x+1, falls x>=0
f hat an der Stelle 0 eine Sprunstelle, die Sprunghöhe ist 1.

Zurück zu deiner Aufgabe.
An der Stelle 2 haben wir ausschließlich eine hebbare Defintionslücke.

--marc

Bezug
                                                                                        
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:56 So 28.03.2004
Autor: Logan

Ok,
Definitionslücken: x=5
Pol mit Vorzeichenwechsel von + nach -.
x=2 ist hebbare Definitionslücke.
Näherungsfunktion ist y=1

Bezug
                                                                                                
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:58 So 28.03.2004
Autor: Logan

Was ist eigentlch, wenn ein Pol keinen Vorezeichenwechsel hat?
Bezug
                                                                                                        
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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:07 So 28.03.2004
Autor: Marc

Hallo Logan,

> Was ist eigentlch, wenn ein Pol keinen Vorezeichenwechsel
> hat?

Wie meinst du das? Wie man das rechnerisch erkennt oder wie es gezeichnet aussieht?

--marc

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:17 So 28.03.2004
Autor: Logan

Wie das gezeichnet aussieht.

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:28 So 28.03.2004
Autor: Marc

Hallo Logan!

> Wie das gezeichnet aussieht.

Ich habe mal beispielhaft die Funktion [mm] $f(x)=\bruch{1}{(x-1)^2}$ [/mm] gezeichnet; die hat an der Stelle x=1 eine Polstelle ohne VZW:
[Dateianhang nicht öffentlich]

--marc

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:34 So 28.03.2004
Autor: Logan

Aha.
Da hab ich direkt noch eine Frage. Muss ich bei [mm][mm] \bruch{1}{(x-1)^2} [/mm]
auch noch was umformen um die Pole zu überprüfen?


Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:37 So 28.03.2004
Autor: Marc

Hallo Logan,

>  Da hab ich direkt noch eine Frage. Muss ich bei
> [mm]\bruch{1}{(x-1)^2}[/mm]
>  auch noch was umformen um die Pole zu überprüfen?

Nein, denn folgendes ist ja direkt ablesbar:
Zähler: Keine Nullstellen
Nenner: Nullstelle bei x=1

Damit haben Zähler und Nenner keine gemeinsamen Nullstellen, an der Stelle x=2 haben wir also auf jeden Fall einen Pol.

--marc

Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:41 So 28.03.2004
Autor: Logan

Nein, ich meinte, ob ich etwas im Nenner umformen muss.
also z.B. aus [mm]x^2-1[/mm] [mm](x-1)*(x+1)[/mm] machen.

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Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:45 So 28.03.2004
Autor: Marc

Hallo Logan,

> Nein, ich meinte, ob ich etwas im Nenner umformen muss.
>  also z.B. aus [mm]x^2-1[/mm] [mm](x-1)*(x+1)[/mm] machen.

Diese kleine Rechnung hat hoffentlich nichts mit meiner Beispielfunktion zu tun und ist nur deiner Phantasie entsprungen, hoffe ich.

Für die Berechnungen der Nullstellen (des Zählers oder des Nenners) ist es immer vorteilhafter, diese von einen Produkt und nicht von einer Summer zu berechnen (da ein Produkt genau dann Null ist, wenn ein Faktor Null ist.) Also nicht ausmultiplizieren, sondern schreiben:

Nullstellen des Nenners
[mm] $(x-1)^2=0$ [/mm]
[mm] $\gdw [/mm] x-1=0$
[mm] $\gdw [/mm] x=1$

--marc

Bezug
                                                                                                                                                                
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:52 So 28.03.2004
Autor: Logan

Ok, und um den Pol nach einem VZW zu überprüfen,
schau ich einfach links von 1 ([mm]\bruch{1}{(x-1)^2}[/mm] ich muss im Nenner also nichts umformen???) und rechts von 1, richtig?

Bezug
                                                                                                                                                                        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 So 28.03.2004
Autor: Marc

Hallo Logan,

> Ok, und um den Pol nach einem VZW zu überprüfen,
>  schau ich einfach links von 1 ([mm]\bruch{1}{(x-1)^2}[/mm] ich muss
> im Nenner also nichts umformen???) und rechts von 1,
> richtig?

Ja, könntest du genau so machen.

Oder du bist geschickt und siehst, dass der Nenner als Quadrat eines Terms nie negativ sein kann und damit $f$ keine negativen Funktionswerte besitzt. Da wir schon wissen, dass $f$ bei x=1 einen Pol hat, bleibt nur ein Pol ohne VZW, also von + nach +.

--marc

Bezug
                                                                                                                                                                                
Bezug
Kurvendiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:07 So 28.03.2004
Autor: Logan

Ok, damit wären alle meine Fragen beantwortet.
Vielen Dank noch mal an dich (Marc) und an alle anderen, die mir bei der Vorbereitung auf meine Klausur geholfen haben.
Bis dann

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Kurvendiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:10 So 28.03.2004
Autor: Marc

Hallo Logan,

> Ok, damit wären alle meine Fragen beantwortet.
>  Vielen Dank noch mal an dich (Marc) und an alle anderen,
> die mir bei der Vorbereitung auf meine Klausur geholfen
> haben.

Alles klar, dann mal viel Erfolg. Du kannst recht zuversichtlich in die Klausur gehen.

Alles Gute,
Marc

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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:05 So 28.03.2004
Autor: Marc

Hallo Logan,

>  Definitionslücken: x=5
>  Pol mit Vorzeichenwechsel von + nach -.
>  x=2 ist hebbare Definitionslücke.
>  Näherungsfunktion ist y=1

Man weiß zwar, was du meinst, aber es so ganz 100%ig sind deine Angaben nicht:

Definitionslücken: x=5, x=2
Bei x=5: Pol mit VZW von - nach + (also umgekehrt!)
Bei x=2: Hebbare Definitionslücke (der Punkt der Lücke hat die Koordinaten: [mm] $(2|\bruch{1}{3})$ [/mm]
Näherungsfunktion: y=1
Asymptoten: y=1 und x=5

Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:15 So 28.03.2004
Autor: Logan


> Definitionslücken: x=5, x=2
>  Bei x=5: Pol mit VZW von - nach + (also umgekehrt!)

Das kann nicht sein. Ich hab einen VZW von + nach -
Links von 5: [mm]\bruch{(x-1)*(x-6)}{(x-2)(x-5)}[/mm]
Du weißt ja wie ich das überprüf!
Und da kommt  [mm]+\infty [/mm] raus.
Rechts von 5: [mm]\bruch{(x-1)*(x-6)}{(x-2)*(x-5)}[/mm]
Da ist [mm]-\infty [/mm]
Wieso hast du einmal "Näherungsfunktion y=1" stehen und dann noch "Asymptote y=1"???


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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:26 So 28.03.2004
Autor: Marc

Hallo Logan,

> > Definitionslücken: x=5, x=2
>  >  Bei x=5: Pol mit VZW von - nach + (also umgekehrt!)
>  Das kann nicht sein. Ich hab einen VZW von + nach -

Moment, wir hatten doch die Funktion

[mm] $f(x)=\bruch{x^2-5x+6}{x^2-7x+10}=\bruch{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x-5)}$ [/mm]

>  Links von 5: [mm]\bruch{(x-1)*(x-6)}{(x-2)(x-5)}[/mm]

Wie kommst du also auf diesen Bruch, insebesondere den Zähler?

>  Du weißt ja wie ich das überprüf!
>  Und da kommt  [mm]+\infty[/mm] raus.

Für deinen Bruch schon, bitte überpürfe noch mal, woher der Bruch kommt.

>  Rechts von 5: [mm]\bruch{(x-1)*(x-6)}{(x-2)*(x-5)}[/mm]
>  Da ist [mm]-\infty[/mm]
>  Wieso hast du einmal "Näherungsfunktion y=1" stehen und
> dann noch "Asymptote y=1"???

Näherungsfunktion ist eigentlich überflüssig aufzuführen, ich wußte aber nicht, wie Ihr das in der Schule macht.
Also, es reicht zu sagen, Asymptoten x=5 und y=1.
Daraus ergibt sich automatisch, dass y=1 (als einzige Funktion unter den Asymptoten) die Näherungsfunktion ist.

--marc

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Kurvendiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:31 So 28.03.2004
Autor: Logan


> Wie kommst du also auf diesen Bruch, insebesondere den
> Zähler?

Ok, :-) hab mich einfach nur beim Rechnen vertan.

> Näherungsfunktion ist eigentlich überflüssig aufzuführen,
> ich wußte aber nicht, wie Ihr das in der Schule macht.
>  Also, es reicht zu sagen, Asymptoten x=5 und y=1.
>  Daraus ergibt sich automatisch, dass y=1 (als einzige
> Funktion unter den Asymptoten) die Näherungsfunktion ist.

Alles klar. Gracias:-)


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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:15 So 28.03.2004
Autor: Logan


> 1. Zähler von $f$ : (x-a)*(x-b) = ... = Nenner von [mm] $\tilde [/mm]
> f$

Du meintest wohl: 1.Zähler von [mm]f(x) : (x-a)*(x-b) = ... =[/mm] Zähler von [mm]\tilde f[/mm]

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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:57 So 28.03.2004
Autor: Marc

Hallogan,

> > 1. Zähler von $f$ : (x-a)*(x-b) = ... = Nenner von
> [mm] $\tilde [/mm]
> > f$
>  Du meintest wohl: 1.Zähler von [mm]f(x) : (x-a)*(x-b) = ... =[/mm]
> Zähler von [mm]\tilde f[/mm]

Ja, danke, habe ich jetzt verbessert. Hast den Aufmerksamkeitstest bestanden :-)

--marc

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