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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:44 Di 30.09.2008
Autor: idler

Aufgabe
[mm] f(x)=\bruch{16}{x²-t} [/mm] ; [mm] t\in+\IR [/mm]

a) bestimmen sie den Definitionsbereich
b) bestimmen sie die Asymptoten
c) bestimmen sie den Hochpunkt [mm] H_{t} [/mm]
d) beweise, dass die Graphen für unterschiedlich t keinen Schnittpunkt haben
e) außer [mm] H_{t} [/mm] gibt es noch zwei weitere Punkte [mm] Q_{t} [/mm] und [mm] P_{t} [/mm] deren Normale durch den Ursprung geht. Auf welcher Kurve liegen diese?

hiho,

a) Also als Definitionsbereich habe ich alle positiven [mm] \IR [/mm] außer t=x².
b) Für die Asymptoten muss man soweit ich weiss den Nenner = 0 setzen.
    
Also : x²-t=0 -> [mm] x=\wurzel[2]{t} [/mm] also ist die Asymptote in x-Richtung [mm] \wurzel[2]{t}. [/mm] Wie finde ich jetzt die Asymptote in y-Richtung ?

c) 1.Ableitung: [mm] f'(x)=\bruch{-32x}{x^{4}-2tx^{2}+t²} [/mm]

für Extremwerte f'(x)=0 setzen und bekomme für [mm] H_{t}=(0/\bruch{16}{-t}) [/mm]

d) hier habe ich leider keine Idee für einen Ansatz

e) und hier leider auch nicht.

wäre nett, wenn ihr mir 1. beschreibt, wie ich die Asymptote in y-Richtung finde und wie ich bei d) und e) ansetzen muss.

danke schonmal :D

        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:10 Di 30.09.2008
Autor: Tyskie84

Hi,

> [mm]f(x)=\bruch{16}{x²-t}[/mm] ; [mm]t\in+\IR[/mm]
>  
> a) bestimmen sie den Definitionsbereich
>  b) bestimmen sie die Asymptoten
>  c) bestimmen sie den Hochpunkt [mm]H_{t}[/mm]
>  d) beweise, dass die Graphen für unterschiedlich t keinen
> Schnittpunkt haben
>  e) außer [mm]H_{t}[/mm] gibt es noch zwei weitere Punkte [mm]Q_{t}[/mm] und
> [mm]P_{t}[/mm] deren Normale durch den Ursprung geht. Auf welcher
> Kurve liegen diese?
>  hiho,
>  
> a) Also als Definitionsbereich habe ich alle positiven [mm]\IR[/mm]
> außer t=x².

warum nur positive [mm] \IR [/mm] ?

>  b) Für die Asymptoten muss man soweit ich weiss den Nenner
> = 0 setzen.
>      

Ja um die vertikale Asymptote zu finden.

> Also : x²-t=0 -> [mm]x=\wurzel[2]{t}[/mm] also ist die Asymptote in
> x-Richtung [mm]\pm\wurzel[2]{t}.[/mm] Wie finde ich jetzt die Asymptote
> in y-Richtung ?

Du hast die die vertikale Asymptote(n) gefunden. Nicht vergessen [mm] \pm\wurzel{....} [/mm] Vertikale Asymptoten sind die in y- Richtung

Jetzt brauchst du noch die horizontale Asymptote. Berechne dazu [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\\f(x) [/mm]


>  
> c) 1.Ableitung: [mm]f'(x)=\bruch{-32x}{x^{4}-2tx^{2}+t²}[/mm]
>  

[ok]

> für Extremwerte f'(x)=0 setzen und bekomme für
> [mm]H_{t}=(0/\bruch{16}{-t})[/mm]
>  

[ok] habe ich auch

> d) hier habe ich leider keine Idee für einen Ansatz
>  

Für unterschiedliche [mm] \\t [/mm] sollen sich die Graphen nicht schneiden. Also einfach mal ausprobieren. Füt [mm] \\t=1 [/mm] und [mm] \\t=2 [/mm]

Dann kommt der allgemeine Beweis (Widerspruchsbeweis)

Berechne die Schnittpunkte von [mm] \bruch{16}{x²-t_{1}}=\bruch{16}{x²-t_{2}} [/mm] mit [mm] t_{1}\not= t_{2} [/mm]

Du wirst sehen dass du einen widerspruch zur annahme bekommst :-)


> e) und hier leider auch nicht.
>
> wäre nett, wenn ihr mir 1. beschreibt, wie ich die
> Asymptote in y-Richtung finde und wie ich bei d) und e)
> ansetzen muss.
>  

hier muss ich selber noch überlegen, ich stells trotzdem schon mal ao rein, deshalb [mm] \to [/mm] halbbeantwortet :-)

> danke schonmal :D

[hut] gruß

Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:19 Di 30.09.2008
Autor: idler

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=0 [/mm] also läuft die horizontale Asymptote gegen 0.

für aufgabe d) reicht es also quasi die gleichung soweit aufzulösen, dass ich rausbekomme, dass [mm] t_{1}=t_{2} [/mm] ist ja?

Bezug
                        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:25 Di 30.09.2008
Autor: Tyskie84

Hi,

Die horizontale Asymptote ist demnach [mm] \\y=0 [/mm]

und die vertikalen Asymptoten sind [mm] \\x_{1}=\wurzel{t} [/mm] und [mm] \\x_{2}=-\wurzel{t} [/mm]

Ja der Beweis ist dann fertig. Du hast vorausgesetzt, dass [mm] \\t_{1}\not=\\t_{2}. [/mm] Am Ende des Beweises erhälst du aber, dass [mm] \\t_{1}=\\t_{2}. [/mm] Du hast also einen Widerspruch und du bist fertig. Denn dann weisst du, dass sich die Graphen nur für gleiche [mm] \\t's [/mm] schneiden und zwar unendlich oft :-)

[hut] Gruß

Bezug
                
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Kurvendiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:29 Di 30.09.2008
Autor: idler

ok danke :D

jetzt Fehlt mir nurnoch der Lösungsansatz für die Aufgabe mit der Kurve, die die Punkte [mm] H_{t}, Q_{t} [/mm] und [mm] P_{t} [/mm] verbindet. wäre nett wenn da noch jemand eine Idee hätte ;D



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Kurvendiskussion: Normale
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:30 Di 30.09.2008
Autor: chrisno

Die Normale ist die Senkrechte zum Grafen, also die Senkrechte zur Tangente im Berührpunkt.
Du kannst also für jeden Punkt des Grafen
- die Steigung der Normalen angeben
- da Du den Punkt slebst ja auch hast, die Geradengleichung der Normalen angeben.
Das musst Du so allgemein durchführen und dann schauen, wann der Punkt (0/0) zur Geraden gehört. Dann hast Du [mm] Q_t [/mm] und [mm] P_t [/mm] gefunden.
Die Frage "auf welcher Kurve liegen diese?" ist mir noch rätselhaft. Drei Punkte liegen zum Beispiel auf einem Kreis. Vielleicht gibt es diese Punkte auch nur für ein bestimmtes t und die Frage lautet eigentlich: "Für welches t gibt es diese?"

Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:33 Di 30.09.2008
Autor: idler

ist es nicht einfach so, dass wenn ich die 3 punkte habe ich 3 bedingungen habe, mit denen ich eine gleichung 3.grades erstellen kann, die die 3 punkte beinhaltet?

Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion: zwei oder drei Punkte?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:42 Di 30.09.2008
Autor: informix

Hallo chrisno,

> Die Normale ist die Senkrechte zum Grafen, also die
> Senkrechte zur Tangente im Berührpunkt.
> Du kannst also für jeden Punkt des Grafen
>  - die Steigung der Normalen angeben
>  - da Du den Punkt slebst ja auch hast, die
> Geradengleichung der Normalen angeben.
>  Das musst Du so allgemein durchführen und dann schauen,
> wann der Punkt (0/0) zur Geraden gehört. Dann hast Du [mm]Q_t[/mm]
> und [mm]P_t[/mm] gefunden.
> Die Frage "auf welcher Kurve liegen diese?" ist mir noch
> rätselhaft. Drei Punkte liegen zum Beispiel auf einem
> Kreis. Vielleicht gibt es diese Punkte auch nur für ein
> bestimmtes t und die Frage lautet eigentlich: "Für welches
> t gibt es diese?"

Ich bin mir nicht sicher, ob nicht nur die Punkte [mm] P_t [/mm] und [mm] Q_t [/mm] auf der gesuchten Kurve liegen sollen.
Ich würd's damit versuchen und anschließend nachschauen, ob auch [mm] H_t [/mm] drauf liegt.

Gruß informix

Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion: weil ich's grad gelesen habe
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:21 Di 30.09.2008
Autor: smarty

Hallo chrisno,

> Die Normale ist die Senkrechte zum Grafen, also die
> Senkrechte zur Tangente im Berührpunkt.
> Du kannst also für jeden Punkt des Grafen

nein, nein. Unser Graf ist eine Persönlichkeit und der Graph, der windet sich aus allem raus :-)


Viele Grüße
Smarty

Bezug
        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:33 Di 30.09.2008
Autor: leduart

hallo
zum Normalenteil.
Die Punkte [mm] Q_t [/mm] liegen auf einer Kurve. du hast die Koordinaten [mm] x_Q(t) [/mm] und [mm] y_Q(t) [/mm] das ist fuer jedes t ein Punkt.
nimmst du alle t so liegen diese Punkte auf einer Kurve.
also aus [mm] x_Q(t) [/mm] und [mm] y_Q(t) [/mm] t eliminieren und du hast sie.
Wie du die Pkte findest steht js in nem anderen post.
Gruss leduart

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