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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Mi 11.05.2005 | | Autor: | ela05 |
Hallo! Ich muss in einem Aufsatz erklären wie man eine Kurvendiskussion über gebrochen rationale Funktionen macht, sodass jemand der keine Ahnung hat es versteht. Könnt ihr mir helfen? Ich habe schon einen Graphen und die Wertetabelle gemacht, zu der Funktion f(x)= [mm] \bruch{x^2+3x-10}{x^2+7x+10}. [/mm] Bei x= -5 ist f(x) nicht definiert und bei x=-2 in der Wertetabelle. Sind das jetzt die Nullstellen oder nicht wie sind sie dann? Oder sind es Pollstellen mit oder ohne Vorzeichenwechsel oder sind das hebbare Lücken? Wenn nicht was sind sie dann? In der Wertetabelle ist bei x=2 und für f(x)= 0 siehe auch Wertetabelle.
X f(x)
-6 2
-5,5 2,14
-5,4 2,17
-5,3 2,21
-5,2 2,25
-5,1 2,29
-5
-4,9 2,38
-4,8 2,43
-4,7 2,48
-4,6 2,54
-4,5 2,6
-4 3
-3,5 3,67
-3 5
-2,5 9
-2,4 11
-2,3 14,33
-2,2 21
-2,1 41
-2
-1,9 -39
-1,8 -19
-1,7 -12,33
-1,6 -7,24
-1,5 -7
-1 -3
-0,5 -1,67
0 -1
0,5 -0,6
1 -0,33
1,5 -0,14
2 0
2,5 0,11
3 0,2
3,5 0,27
4 0,33
4,5 0,38
5 0,34
5,5 0,47
6 0,5
Wenn ich jetzt den Graphen gezeichnet habe wie muss ich weiter machen. Wie bestimmt man jetzt die ganzen anderen Punkte der Kurvendiskussion für diese Funktion?
Bitte helft mir!
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo ela!
[mm]f(x) \ = \ \bruch{x^2+3x-10}{x^2+7x+10}[/mm]
> Bei x= -5 ist f(x) nicht
> definiert und bei x=-2 in der Wertetabelle.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Hast Du das "nur" über die Wertetabelle erhalten?
Die Defintionslücken sollte man schon rechnerisch bestimmen.
> Sind das jetzt die Nullstellen oder nicht wie sind sie dann?
> Oder sind es
> Pollstellen mit oder ohne Vorzeichenwechsel oder sind das
> hebbare Lücken? Wenn nicht was sind sie dann? In der
> Wertetabelle ist bei x=2 und für f(x)= 0 siehe auch
> Wertetabelle.
Im Großen und Ganzen unterscheidet sich eine Kurvendiskussion einer gebrochenrationalen Funktion nicht von einer Diskussion einer ganzrationalen Funktion.
Lediglich zu Beginn muß man ein/zwei Dinge mehr beachten:
1. Definitionsbereich
Um die Definitionslücken zu bestimmen, ermittle ich mir die Nullstellen des Nenners, damit wir nie in Versuchung geraten, durch Null zu teilen, was ja seit der 1. Klasse verboten ist!
Also alle Nullstellen des Nenners sind Definitionslücken.
Das ergibt für unseren Fall den Definitionsbereich:
$D \ = \ [mm] \IR \backslash \{-5; -2\}$
[/mm]
2. Polstellen / behebbare Definitionslücken
Um die Polstellen bzw. behebbare Definitionslücken zu bestimmen, müssen wir uns nun auch noch die Nullstellen des Zählers ansehen.
Was erhältst Du hier?
Ich habe erhalten: [mm] $x_3 [/mm] \ = \ +2$ und [mm] $x_4 [/mm] \ = \ -5$
Du siehst, wir haben hier eine Stelle $x \ = \ -5$, die sowohl Nullstelle des Nenners als auch des Zählers ist.
Dies ist eine behebbare Definitionslücke.
Die andere Nullstelle des Nenners $x \ = \ -2$ ist also eine Polstelle, und zwar mit Vorzeichenwechsel.
Wir können für unsere Funktion also nun schreiben:
[mm]f(x) \ = \ \bruch{x^2+3x-10}{x^2+7x+10} \ = \ \bruch{(x+5)*(x-2)}{(x+5)*(x+2)}[/mm]
Für $x \ [mm] \not= [/mm] \ -5$ (was ja nun gemäß Definitionsbereich gilt!) dürfen wir nun kürzen und es verbleibt
[mm]f(x) \ = \ \bruch{x^2+3x-10}{x^2+7x+10} \ = \ \bruch{x-2}{x+2}[/mm]
Das sieht doch gleich viel freundlicher aus, oder?
Mit dieser Funktion kannst Du nun den Rest Deiner Kurvendiskussion durchführen!
3. Asymptoten
Bei gebrochenrationalen Funktionen interessiert immer noch das Verhalten für $x [mm] \rightarrow \pm \infty$, [/mm] und zwar den Asymptoten.
Das heißt, welcher Funktion nähert sich unser gegebene Funktion immer mehr an.
Dafür könnten wir hier nun eine  Polynomdivision durchführen, was hier aber etwas übertrieben wäre.
Wir formen um:
[mm]f(x) \ = \ \bruch{x-2}{x+2} \ = \ \bruch{x+2-4}{x+2} \ = \ \bruch{x+2}{x+2} + \bruch{-4}{x+2}\ = \ 1 - \bruch{4}{x+2} [/mm]
Unsere Funktion nähert sich also immer mehr der Gerade $y \ = \ 1$ an, da der Bruch (der sogenannte "Rest") für große x-Werte nahezu Null wird!
> Wenn ich jetzt den Graphen gezeichnet habe wie muss ich
> weiter machen. Wie bestimmt man jetzt die ganzen anderen
> Punkte der Kurvendiskussion für diese Funktion?
Normalerweise zeichnet man den Graph ja erst am Ende der Kurvendiskussion. Die "anderen Punkte" wie Extrema, Wendestellen ermittelst Du wie bisher bei ganzrationalen Funktionen auch.
Also die ersten 3. Ableitungen bilden und dann zunächst die Nullstellen der 1. Ableitung $f'(x)$ bestimmen für mögliche Extremstellen und analog für Wendestellen die Nullstellen der 2. Ableitung $f''(x)$.
Wie lauten denn zumindest die ersten beiden Ableitungen?
Diese mußt Du natürlich mit der Quotientenregel ermitteln.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:26 Do 12.05.2005 | | Autor: | ela05 |
Hi Loddar!
Danke das hat mir geholfen, deine Zahlen stimmen mit meinen auch überein.
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