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Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Ich muss eine komplette Kurvendiskussion zur folgenden Funktion machen:
[mm] f(x)=8x*e^{-x}
[/mm]
[mm] f'(x)=8e^{-x}*(1-x)
[/mm]
[mm] f''(x)=8e^{-x}*(2-x)
[/mm]
[mm] f'''(x)=8e^{-x}*(3-x)
[/mm]
Leider habe ich schon bei den Nullstellen Probleme:
Nullstellen: f(x)=0
[mm] f(x)=\underbrace{8x}_{x=0}*\underbrace{e^{-x}}_{nicht definiert}
[/mm]
Stimmt das so?
Heißt das, dass die Nullstellen jetzt N(0|0) sind, oder muss ich noch was anderes rechnen?
Liebe Grüße,
Sarah 
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Hallo Sarah!
> Ich muss eine komplette Kurvendiskussion zur folgenden
> Funktion machen:
>
> [mm]f(x)=8x*e^{-x}[/mm]
>
>
> [mm]f'(x)=8e^{-x}*(1-x)[/mm]
> [mm]f''(x)=8e^{-x}*(2-x)[/mm]
Hier müßtest du [mm]f''(x)=-8e^{-x}-8e^{-x}*(1-x)=8e^{-x}*(x-2)[/mm] rausbekommen.
> [mm]f(x)=\underbrace{8x}_{x=0}*\underbrace{e^{-x}}_{nicht definiert}[/mm]
Die Nullstelle(n) hast du richtig angegeben. Allerdings ist [mm]e^{-x}[/mm] durchaus definiert. [mm]e^{-x}[/mm] ist hier [mm]> 0\![/mm], weshalb es bei der Berechnung der Nullstellen ignoriert werden kann.
Viele Grüße
Karl
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Hallo Karl ,
> Hier müßtest du [mm]f''(x)=-8e^{-x}-8e^{-x}*(1-x)=8e^{-x}*(x-2)[/mm]
> rausbekommen.
Hmmm... Das klappt bei mir nicht.
[mm] f``(x)=(-8x*e^{-x})*(1-x)+8e^{-x}*1
[/mm]
[mm] =-8e^{-x}+8xe^{-x}+8e^{-x}
[/mm]
[mm] =8e^{-x}(-1+1+x)
[/mm]
[mm] =8e^{-x}*x
[/mm]
Wo liegt denn mein Fehler?
> Die Nullstelle(n) hast du richtig angegeben. Allerdings ist
> [mm]e^{-x}[/mm] durchaus definiert. [mm]e^{-x}[/mm] ist hier [mm]> 0\![/mm], weshalb
> es bei der Berechnung der Nullstellen ignoriert werden
> kann.
Okay, dass heißt, dass [mm] e^{x} [/mm] oder [mm] e^{-x} [/mm] immer keine Nullstelle hat?
Liebe Grüße,
Sarah
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Hallo Sarah!
Als erste Ableitung haben wir ja [mm] f'(x)=8e^{-x}(1-x)
[/mm]
Wir benutzen die die Produktregel:
[mm] u(x)=8e^{-x}
[/mm]
[mm] u'(x)=-8e^{-x}
[/mm]
v(x)=1-x
v'(x)=-1
[mm] \Rightarrow -8e^{-x}(1-x)+8e^{-x}*(-1)
[/mm]
[mm] \Rightarrow -8e^{-x}+8xe^{-x}-8e^{-x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 8xe^{-x}-16e^{-x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 8e^{-x}(x-2)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f''(x)
Das geht natürlich auch schneller aber ich hab das mal so ausführlich wie möglich gemacht.
Du hast natürlich recht das die Funktion [mm] f(x)=e^{x} [/mm] oder auch [mm] e^{-x} [/mm] keine Nullstellen besitzt. Kennst du die Eigentschaften der e-Funktion? Für immer kleiner werdene x geht die Funktion gegen null. Werden die x werte immer größer dann geht die funktion gegen + [mm] \infty [/mm] . Diese Funktion besitzt keine Nullstellen. Vorsicht!! deine Funktion besitzt aber nullstellen denn bei dir steht noch eine 8x bzw (1-x) usw. Der y-Achsenabschnitt liegt immer im Punkt befindet sich immer im Punkt (0|1)!
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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Hallo!
> (1-x) wird Null, wenn x +1 ist.
Das vertehe ich nicht ganz. f'(x) wir genau dann 0 wenn x=1 ist.
Aber was sagt mir das?
Das sagt dir dass du jetzt einen Kandidaten hast. Für Extrema gilt: notwendige Bedingung: f'(x)=0 und hinrechenede Bedingung f''(x) [mm] \not= [/mm] 0
Das bedeutet dass du deinen Kandidaten also die 1 ind die zweite Ableitung einsetzen musst um zu schauen ob ein Hochpunkt oder Tiefpunkt existiert. Es gilt f''(x)<0 [mm] \Rightarrow [/mm] Hochpunkt und f''(x)>0 [mm] \Rightarrow [/mm] Tiefpunkt.
Nun setzt du deinen Kandidaten in die Ausgangsgleichung ein und schaust was da raus kommt un das ist dein y-Wert für deinen Extrempunkt. der x-Wert ist deine 1.
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Hallo Tyskie ,
> > (1-x) wird Null, wenn x +1 ist.
>
> Das vertehe ich nicht ganz. f'(x) wir genau dann 0 wenn x=1
> ist.
Damit meinte ich "Ein Produkt wird Null, wenn...". Sorry, blöd von mir ausgedrückt.
Also, wenn ich 1 in die zweite Ableitung einsetze, dann erhalte ich einen gerundeten Wert von -2,94
-2,94<0 ==> Hochpunkt
1 in f(x)=8xe{-x} eingesetzt:
f(x)=8*1*e{-1}
[mm] \approx [/mm] 2,94
Also ist mein Hochpunkt (1 | 2,94) ?
Sollte das richtig sein, dann wage ich mich mal an die Wendepunkte:
f``(x)=0 [mm] \wedge f```(x)\not=0
[/mm]
[mm] f```(x)=8e^{-x}*(3-x)
[/mm]
Welchen Wert muss ich hier für x einsetzen?
Liebe Grüße,
Sarh
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Hallo!
Deinen Extrempunkt hast du richtig ausgerechnet aber bitte nehme lieber [mm] \bruch{8}{e} [/mm] ich weiss dass viele Schüler Angst vor brüchen haben was ich nicht verstehen kann. Solange ein zahl als bruch dargestellt werden kann nehme diesen buch ausser dieser ist auch sehr lang wie [mm] \bruch{54529}{4126} [/mm] dann macht das hier auch keinen sinn
Deine Bedingungen die du für die Wendestellen aufgestellt hast sind vollkommen richtig allerdings hast du deine 3. Ableitung falsch aufgestellt. Sie müsste [mm] f'''(x)=-8xe^{-x} [/mm] lauten. rechne noch einmal nach.
Bei den Wendestellen machst du eigentlich genau das selbe wie bei den Extrema jedoch musst du nicht zwischen f'''(x)<0 bzw >0 unterscheiden. Du setzt f''(x)=0 bekommst dann einen kandidaten heraus setzt ihn ihn die 3.Ableitung ein und der muss [mm] \not= [/mm] 0 sein dann weisst du das eine Wendestelle existiert (und es existiert eine) Dann den Kandidaten wieder in die Ausgangsgleichung setzen und du bekommst den y-Wert.
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Hallo Tyskie ,
> Deinen Extrempunkt hast du richtig ausgerechnet aber bitte
> nehme lieber [mm]\bruch{8}{e}[/mm] ich weiss dass viele Schüler
> Angst vor brüchen haben was ich nicht verstehen kann.
Vielleicht liegt die Angst ja daran, dass ich gerade nicht verstehe, wie du auf den Punkt [mm] (1|\bruch{8}{e}) [/mm] kommst. Wie kommst du auf den Bruch?
> Deine Bedingungen die du für die Wendestellen aufgestellt
> hast sind vollkommen richtig allerdings hast du deine 3.
> Ableitung falsch aufgestellt. Sie müsste [mm]f'''(x)=-8xe^{-x}[/mm]
Auch hier muss ich leider noch einmal nachfragen:
[mm] f```(x)=(-8e^{-x})*(x-2)+8e^{-x}*1
[/mm]
= [mm] -8e^{-x}+16e^{-x}+8e^{-x}
[/mm]
[mm] =8e^{-x}*(3-x)
[/mm]
> lauten. rechne noch einmal nach.
> Bei den Wendestellen machst du eigentlich genau das selbe
> wie bei den Extrema jedoch musst du nicht zwischen
> f'''(x)<0 bzw >0 unterscheiden. Du setzt f''(x)=0 bekommst
> dann einen kandidaten heraus setzt ihn ihn die 3.Ableitung
> ein und der muss [mm]\not=[/mm] 0 sein dann weisst du das eine
> Wendestelle existiert (und es existiert eine) Dann den
> Kandidaten wieder in die Ausgangsgleichung setzen und du
> bekommst den y-Wert.
Okay, das werde ich machen, sobald ich verstehe, weshalb meine dritte Ableitung falsch ist.
Liebe Grüße,
Sarah
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Hallo!
Wir haben: [mm] f'(x)=8e^{-x}(x-2) [/mm] Nun wird die 1 eingesetzt:
[mm] 8e^{-1}(1-2)=-8e^{-1}= -\bruch{8}{e} [/mm] denn es gilt ja [mm] e^{-x}=\bruch{1}{e^{x}}
[/mm]
Als zweite Aböeitung hatten wir: [mm] 8e^{-x}(x-2)
[/mm]
[mm] u(x)=8e^{-x}
[/mm]
[mm] u'(x)=-8e^{-x}
[/mm]
v(x)=x-2
v'(x)=-2
Produktregel anwenden: [mm] -8xe^{-x}+16e^{-x}-16e^{-x}=-8xe^{-x}
[/mm]
Schreibe dir das so auf wie ich. also mit u und v usw. ich sehe du hast noch probleme mit der produktregel. Wenn du sie noch nicht so gut kannst dann schreib lieber etwas mehr anstatt zu wenig.
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Hallo!
Als Wendepunkt müsste WP(2 \ [mm] \bruch{16}{e²}) [/mm] heraus kommen. die 2 einfach ich die funktion einsetzen und da kommt [mm] \bruch{16}{e²} [/mm] heraus. Was du unbedingt noch untersuchen musst ist das Grenzverhalten der Funktion gegen [mm] +\infty [/mm] und [mm] -\infty [/mm] . Dann könntest du den y-Achsenabschnitt berechnen. und dann würde ich vorschlagen dass du den graphen zeichnest. Du hast recht es gibt keine symmetrie. das kannst du auch prüfen. berechne f(-x) und -f(x) und du stellst fest dass keine symmetrie vorliegt.
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Hallo!
Du setzt doch deine 2 in die Ausgangsgleichung ein  die da lautet [mm] f(x)=8xe^{-x}=16e^{-2}=\bruch{16}{e²}
[/mm]
habt ihr denn doch nicht mit dem limes gearbeitet? Wenn nicht dann musst du nicht machen. Es gibt da ein paar regeln. allgemein musst du schauen wie sich die funktion verhält wenn man immer größer werdene x werte einsetzt bzw immer kleiner werdene
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Die bedingung f'''(x) [mm] \not= [/mm] 0 ist dafür da damit du prüfst ob überhaupt ein wendepunkt existiert. es muss doch gar keinen geben. Ja du hast ja [mm] 8xe^{-x} [/mm] bzw [mm] 8x*\bruch{1}{e^{x}} [/mm] setzt du für das x immer größer werdene zahlen ein dann siehst du dass der graph gegen null geht denn der erste faktor also die 8x geht gegen [mm] \infty [/mm] aber der bruch also [mm] \bruch{1}{e^{x}} [/mm] geht gegen null. also geht die funktion für [mm] +\infty [/mm] gegen null. das musst du dann noch aufschreiben mit dem limes so wie ihr das in der schule gemacht habt.
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Hallo
Du hast 2 als kandidaten heraus bekommen. diese 2 setzt du in die 3. ableitung ein und es muss etwas [mm] \not= [/mm] 0 herauskommen. das was da raus kommt ist aber nicht wichtig es ist nur zur prüfung da ob tatsächlich ein wendepunkt vorliegt. wen dem so ist dann setzt du die 2 in deine ausgangsfunktion ein und das ist das y-Wert für den Wendepunkt. Eigentlich genaus so wie extrema
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Sa 26.01.2008 | | Autor: | abakus |
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> Heißt das, dass die Nullstellen jetzt N(0|0) sind, ...
Diese Aussage ist definitiv falsch. Du wirfst Punkte und Stellen durcheinander. N(0|0) ist keine Nullstelle, sondern der Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse. Die Nullstelle selbst ist einfach 0.
Genauso ist es mit Extremstellen und Wendestellen. Das sind jeweils nur bestimmte x-Werte, während Extrempunkte und Wendepunkte aus eben diesem x-Wert und dem zugehörigen y-Wert bestehen.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
An das Umschreiben habe ich natürlich nicht gedacht 