Kurvendiskussion Parameter < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 Do 19.06.2014 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Geg sei die Funktionsschar [mm] f_k(x)=k\cdot x^2\cdot e^{k\cdot x}, [/mm] k [mm] \in \IR [/mm] , [mm] k\not=0
[/mm]
Berechnen Sie:
a) Ableitungen (1-3)
b) Grenzwertverhalten
c) Symmetrie
d) Nullstellen
e) Extrema |
Hallo Zusammen,
ich habe:
a)
[mm] f_k'(x)= e^{k\cdot x} (k^2 \cdot x^2 [/mm] + 2xk)
[mm] f_k''(x)= e^{k\cdot x} (4xk^2 [/mm] + [mm] k^3 \cdot x^2 [/mm] + 2k)
[mm] f_k'''(x)=e^{k\cdot x} (6k^2 [/mm] + [mm] 6k^3 \cdot [/mm] x + [mm] k^4 \cdot x^2)
[/mm]
b)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}= k\cdot x^2 \cdot e^{k\cdot x} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow - \infty}= k\cdot x^2 \cdot e^{k\cdot x} [/mm] = 0
c)
f(-x)= [mm] k\cdot (-x)^2 \cdot e^{k\cdot (-x)} [/mm] = [mm] k\cdot (x)^2 \cdot e^{k\cdot (-x)} \not= [/mm] f(x) und [mm] \not= [/mm] -f(x) [mm] \rightarrow [/mm] keine Symmetrie
d) [mm] f_k(x)= k\cdotx^2 \cdot e^{k\cdot x} [/mm] =0
[mm] e^{k\cdot x} \not= [/mm] 0
[mm] k\cdot x^2 [/mm] =0 [mm] \rightarrow [/mm] N(0|0)
e) f'(x)=0
[mm] e^{k\cdot x }(k^2 \cdot x^2 [/mm] + 2xk) = 0
[mm] k^2 \cdot x^2 [/mm] + 2xk = 0
[mm] x^2 [/mm] + [mm] \frac{2x}{k}
[/mm]
Nach P-Q Formel:
[mm] x_1= \frac{-x}{k}
[/mm]
[mm] x_2 =\frac{-3x}{k}
[/mm]
Könnt hier mir sagen, ob das bis hierher stimm?
Grüße
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Hallo,
zweiter Versuch, konnte vorhin nicht absenden ...
> Geg sei die Funktionsschar [mm]f_k(x)=k\cdot x^2\cdot e^{k\cdot x},[/mm]
> k [mm]\in \IR[/mm] , [mm]k\not=0[/mm]
>
> Berechnen Sie:
>
> a) Ableitungen (1-3)
> b) Grenzwertverhalten
> c) Symmetrie
> d) Nullstellen
> e) Extrema
> Hallo Zusammen,
> ich habe:
>
> a)
>
> [mm]f_k'(x)= e^{k\cdot x} (k^2 \cdot x^2[/mm] + 2xk)
> [mm]f_k''(x)= e^{k\cdot x} (4xk^2[/mm] + [mm]k^3 \cdot x^2[/mm] + 2k)
> [mm]f_k'''(x)=e^{k\cdot x} (6k^2[/mm] + [mm]6k^3 \cdot[/mm] x + [mm]k^4 \cdot x^2)[/mm]![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gut
>
> b)
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}= k\cdot x^2 \cdot e^{k\cdot x}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
Na, zum einen soll doch wohl [mm]\red x\to\infty[/mm] gehen und nicht n (sonst wäre das ja konstant ...), zum anderen hängt es doch von [mm]k[/mm] ab, was im Grenzbereich passiert.
Das musst du nochmal überdenken ...
> [mm]\limes_{n\rightarrow - \infty}= k\cdot x^2 \cdot e^{k\cdot x}[/mm]
> = 0
>
> c)
>
> f(-x)= [mm]k\cdot (-x)^2 \cdot e^{k\cdot (-x)}[/mm] = [mm]k\cdot (x)^2 \cdot e^{k\cdot (-x)} \not=[/mm]
> f(x) und [mm]\not=[/mm] -f(x) [mm]\rightarrow[/mm] keine Symmetrie
>
> d) [mm]f_k(x)= k\cdotx^2 \cdot e^{k\cdot x}[/mm] =0
> [mm]e^{k\cdot x} \not=[/mm] 0
>
> [mm]k\cdot x^2[/mm] =0 [mm]\rightarrow[/mm] N(0|0)
Das stimmt im Ergebnis, du meinst es sicher auch richtig, es ist aber "kraus" aufgeschrieben
>
> e) f'(x)=0
> [mm]e^{k\cdot x }(k^2 \cdot x^2[/mm] + 2xk) = 0
>
> [mm]k^2 \cdot x^2[/mm] + 2xk = 0
> [mm]x^2[/mm] + [mm]\frac{2x}{k}[/mm] =0
>
> Nach P-Q Formel:
Einfacher: x ausklammern
>
> [mm]x_1= \frac{-x}{k}[/mm]
> [mm]x_2 =\frac{-3x}{k}[/mm]
Was ist denn da passiert? Die Lösungen sollten nicht von x abhängen.
Zeige mal deine Rechnung ...
Außerdem weißt du nach d) schon, dass eine Lösung [mm]x=0[/mm] sein muss - warum?
>
>
> Könnt hier mir sagen, ob das bis hierher stimm?
Teilweise ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Do 19.06.2014 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo,
>
> zweiter Versuch, konnte vorhin nicht absenden ...
>
>
> > Geg sei die Funktionsschar [mm]f_k(x)=k\cdot x^2\cdot e^{k\cdot x},[/mm]
>
> > k [mm]\in \IR[/mm] , [mm]k\not=0[/mm]
> >
> > Berechnen Sie:
> >
> > a) Ableitungen (1-3)
> > b) Grenzwertverhalten
> > c) Symmetrie
> > d) Nullstellen
> > e) Extrema
> > Hallo Zusammen,
> > ich habe:
> >
> > a)
> >
> > [mm]f_k'(x)= e^{k\cdot x} (k^2 \cdot x^2[/mm] + 2xk)
> > [mm]f_k''(x)= e^{k\cdot x} (4xk^2[/mm] + [mm]k^3 \cdot x^2[/mm] + 2k)
> > [mm]f_k'''(x)=e^{k\cdot x} (6k^2[/mm] + [mm]6k^3 \cdot[/mm] x + [mm]k^4 \cdot x^2)[/mm]
>
> Gut
>
> >
> > b)
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}= k\cdot x^2 \cdot e^{k\cdot x}[/mm]
> = [mm]\infty[/mm]
>
> Na, zum einen soll doch wohl [mm]\red x\to\infty[/mm] gehen und
> nicht n (sonst wäre das ja konstant ...), zum anderen
> hängt es doch von [mm]k[/mm] ab, was im Grenzbereich passiert.
>
> Das musst du nochmal überdenken ...
>
> > [mm]\limes_{n\rightarrow - \infty}= k\cdot x^2 \cdot e^{k\cdot x}[/mm]
>
> > = 0
> >
> > c)
> >
> > f(-x)= [mm]k\cdot (-x)^2 \cdot e^{k\cdot (-x)}[/mm] = [mm]k\cdot (x)^2 \cdot e^{k\cdot (-x)} \not=[/mm]
>
> > f(x) und [mm]\not=[/mm] -f(x) [mm]\rightarrow[/mm] keine Symmetrie
> >
> > d) [mm]f_k(x)= k\cdotx^2 \cdot e^{k\cdot x}[/mm] =0
> > [mm]e^{k\cdot x} \not=[/mm] 0
> >
> > [mm]k\cdot x^2[/mm] =0 [mm]\rightarrow[/mm] N(0|0)
>
> Das stimmt im Ergebnis, du meinst es sicher auch richtig,
> es ist aber "kraus" aufgeschrieben
>
> >
> > e) f'(x)=0
> > [mm]e^{k\cdot x }(k^2 \cdot x^2[/mm] + 2xk) = 0
> >
> > [mm]k^2 \cdot x^2[/mm] + 2xk = 0
> > [mm]x^2[/mm] + [mm]\frac{2x}{k}[/mm] =0
> >
> > Nach P-Q Formel:
>
> Einfacher: x ausklammern
>
>
> >
> > [mm]x_1= \frac{-x}{k}[/mm]
> > [mm]x_2 =\frac{-3x}{k}[/mm]
>
> Was ist denn da passiert? Die Lösungen sollten nicht von x
> abhängen.
>
> Zeige mal deine Rechnung ...
>
> Außerdem weißt du nach d) schon, dass eine Lösung [mm]x=0[/mm]
> sein muss - warum?
>
> >
> >
> > Könnt hier mir sagen, ob das bis hierher stimm?
>
> Teilweise ...
>
> Gruß
>
> schachuzipus
Hallo,
also ich habe:
Grenzverhalten:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] k [mm] \cdot x^2 \cdot e^{k\cdot x} [/mm] =
Ist k = 0 [mm] \rightarrow [/mm] 0
Ist k<0 [mm] \rightarrow [/mm] 0
Ist k >0 [mm] \rightarrow \infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} [/mm] k [mm] \cdot x^2 \cdot e^{k\cdot x} [/mm] =
Ist k = 0 [mm] \rightarrow [/mm] 0
Ist k<0 [mm] \rightarrow [/mm] 0
Ist k >0 [mm] \rightarrow [/mm] - [mm] \infty
[/mm]
Extrema:
[mm] k^2 \cdot x^2 [/mm] + 2xk = 0
[mm] x^2 [/mm] + [mm] \frac{2x}{k} [/mm] =0
[mm] x_{1,2}= [/mm] - [mm] \frac{p}{2} \pm \wurzel{(\frac{p}{2})^2+q}
[/mm]
[mm] x_{1,2}= -\frac{1}{k} \pm \wurzel{\frac{1^2}{k^2}}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = 0
[mm] x_2 [/mm] = - [mm] \frac{2}{k}
[/mm]
Grüße
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Hallo Bodo0686,
> > Hallo,
> >
> > zweiter Versuch, konnte vorhin nicht absenden ...
> >
> >
> > > Geg sei die Funktionsschar [mm]f_k(x)=k\cdot x^2\cdot e^{k\cdot x},[/mm]
>
> >
> > > k [mm]\in \IR[/mm] , [mm]k\not=0[/mm]
> > >
> > > Berechnen Sie:
> > >
> > > a) Ableitungen (1-3)
> > > b) Grenzwertverhalten
> > > c) Symmetrie
> > > d) Nullstellen
> > > e) Extrema
> > > Hallo Zusammen,
> > > ich habe:
> > >
> > > a)
> > >
> > > [mm]f_k'(x)= e^{k\cdot x} (k^2 \cdot x^2[/mm] + 2xk)
> > > [mm]f_k''(x)= e^{k\cdot x} (4xk^2[/mm] + [mm]k^3 \cdot x^2[/mm] + 2k)
> > > [mm]f_k'''(x)=e^{k\cdot x} (6k^2[/mm] + [mm]6k^3 \cdot[/mm] x + [mm]k^4 \cdot x^2)[/mm]
>
> >
> > Gut
> >
> > >
> > > b)
> > >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}= k\cdot x^2 \cdot e^{k\cdot x}[/mm]
> > = [mm]\infty[/mm]
> >
> > Na, zum einen soll doch wohl [mm]\red x\to\infty[/mm] gehen und
> > nicht n (sonst wäre das ja konstant ...), zum anderen
> > hängt es doch von [mm]k[/mm] ab, was im Grenzbereich passiert.
> >
> > Das musst du nochmal überdenken ...
> >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow - \infty}= k\cdot x^2 \cdot e^{k\cdot x}[/mm]
>
> >
> > > = 0
> > >
> > > c)
> > >
> > > f(-x)= [mm]k\cdot (-x)^2 \cdot e^{k\cdot (-x)}[/mm] = [mm]k\cdot (x)^2 \cdot e^{k\cdot (-x)} \not=[/mm]
>
> >
> > > f(x) und [mm]\not=[/mm] -f(x) [mm]\rightarrow[/mm] keine Symmetrie
> > >
> > > d) [mm]f_k(x)= k\cdotx^2 \cdot e^{k\cdot x}[/mm] =0
> > > [mm]e^{k\cdot x} \not=[/mm] 0
> > >
> > > [mm]k\cdot x^2[/mm] =0 [mm]\rightarrow[/mm] N(0|0)
> >
> > Das stimmt im Ergebnis, du meinst es sicher auch richtig,
> > es ist aber "kraus" aufgeschrieben
> >
> > >
> > > e) f'(x)=0
> > > [mm]e^{k\cdot x }(k^2 \cdot x^2[/mm] + 2xk) = 0
> > >
> > > [mm]k^2 \cdot x^2[/mm] + 2xk = 0
> > > [mm]x^2[/mm] + [mm]\frac{2x}{k}[/mm] =0
> > >
> > > Nach P-Q Formel:
> >
> > Einfacher: x ausklammern
> >
> >
> > >
> > > [mm]x_1= \frac{-x}{k}[/mm]
> > > [mm]x_2 =\frac{-3x}{k}[/mm]
> >
> > Was ist denn da passiert? Die Lösungen sollten nicht von x
> > abhängen.
> >
> > Zeige mal deine Rechnung ...
> >
> > Außerdem weißt du nach d) schon, dass eine Lösung [mm]x=0[/mm]
> > sein muss - warum?
> >
> > >
> > >
> > > Könnt hier mir sagen, ob das bis hierher stimm?
> >
> > Teilweise ...
> >
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
>
> Hallo,
>
> also ich habe:
>
>
> Grenzverhalten:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] k [mm]\cdot x^2 \cdot e^{k\cdot x}[/mm]
> =
>
> Ist k = 0 [mm]\rightarrow[/mm] 0
> Ist k<0 [mm]\rightarrow[/mm] 0
> Ist k >0 [mm]\rightarrow \infty[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow -\infty}[/mm] k [mm]\cdot x^2 \cdot e^{k\cdot x}[/mm]
> =
>
> Ist k = 0 [mm]\rightarrow[/mm] 0
> Ist k<0 [mm]\rightarrow[/mm] 0
> Ist k >0 [mm]\rightarrow[/mm] - [mm]\infty[/mm]
>
Der Fall k=0 ist nicht zu betrachten.
> Extrema:
>
> [mm]k^2 \cdot x^2[/mm] + 2xk = 0
>
> [mm]x^2[/mm] + [mm]\frac{2x}{k}[/mm] =0
>
> [mm]x_{1,2}=[/mm] - [mm]\frac{p}{2} \pm \wurzel{(\frac{p}{2})^2+q}[/mm]
>
> [mm]x_{1,2}= -\frac{1}{k} \pm \wurzel{\frac{1^2}{k^2}}[/mm]
>
> [mm]x_{1}[/mm] = 0
> [mm]x_2[/mm] = - [mm]\frac{2}{k}[/mm]
>
Das zweite Extrema ist natürlich abhängig von k.
> Grüße
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Do 19.06.2014 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
demnach ergibt sich für die Extrema:
f''(0) = 2k > 0 [mm] \rightarrow [/mm] Tiefpunkt
f(0) = 0
[mm] \rightarrow [/mm] TP(0|0)
[mm] f''(\frac{-2}{k}) [/mm] = [mm] -e^{-2} \cdot [/mm] 2k < 0 [mm] \rightarrow [/mm] Hochpunkt
[mm] f''(\frac{-2}{k})= \frac{4}{k} e^{-2}
[/mm]
[mm] \rightarrow HP(\frac{-2}{k}|\frac{4}{k} e^{-2})
[/mm]
Wendepunkte:
[mm] f_k''(x)=0
[/mm]
[mm] x^2+\frac{4x}{k} [/mm] + [mm] \frac{2}{k^2} [/mm] = 0
[mm] x_1= \frac{-2+\wurzel{6}}{k}
[/mm]
[mm] x_2= \frac{-2-\wurzel{6}}{k}
[/mm]
[mm] f'''(x_1)= e^{-2+\wurzel{6}} \cdot [/mm] 4k [mm] \not=0
[/mm]
[mm] f(x_1)= e^{-2+\wurzel{6}} (10k-4\wurzel{6}k) [/mm]
[mm] WP_1=(\frac{-2+\wurzel{6}}{k}|e^{-2+\wurzel{6}} \cdot (\frac{10-4\wurzel{6}}{k} [/mm] )
[mm] WP_2=(\frac{-2-\wurzel{6}}{k}|e^{-2-\wurzel{6}} \cdot (\frac{10+4\cdot \wurzel{6}}{k})
[/mm]
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Hallo Bodo!
> Ich habe doch:
>
> [mm]x^2[/mm] + [mm]\frac{4x}{k}[/mm] + [mm]\frac{2}{k^2}[/mm]
Es fehlt noch ein $= \ 0$ hinten dran.
> [mm]x_{1,2}=- \frac{2}{k} \pm \wurzel{(\frac{-2}{k})^2+\frac{2}{k^2}}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Betrachte Dir die  p/q-Formel nochmals genau. Insbesondere die Vorzeichen unter der Wurzel.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Bodo!
> [mm]x_{1,2}=- \frac{2}{k} \pm \wurzel{(\frac{-2}{k})^2-\frac{2}{k^2}}[/mm]
Bis hierhin .
> [mm]x_1= -\frac{2}{k}[/mm] + [mm]\frac{\wurzel{2}}{k}[/mm]
> [mm]x_2= -\frac{2}{k}[/mm] - [mm]\frac{\wurzel{2}}{k}[/mm]
Das stimmt dann jeweils nur für positive $k_$ .
Was ist mit den negativen $k_$ ?
Bedenke, dass im Allgemeinen gilt: [mm] $\wurzel{k^2} [/mm] \ = \ [mm] \red{|}k\red{|}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Do 19.06.2014 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo!
>
>
> > [mm]x_{1,2}=- \frac{2}{k} \pm \wurzel{(\frac{-2}{k})^2-\frac{2}{k^2}}[/mm]
>
> Bis hierhin .
>
>
> > [mm]x_1= -\frac{2}{k}[/mm] + [mm]\frac{\wurzel{2}}{k}[/mm]
> > [mm]x_2= -\frac{2}{k}[/mm] - [mm]\frac{\wurzel{2}}{k}[/mm]
>
> Das stimmt dann jeweils nur für positive [mm]k_[/mm] .
>
> Was ist mit den negativen [mm]k_[/mm] ?
> Bedenke, dass im Allgemeinen gilt: [mm]\wurzel{k^2} \ = \ \red{|}k\red{|}[/mm]
> .
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
für k > 0
[mm] x_1= -\frac{2+\wurzel{2}}{k}
[/mm]
[mm] x_2= -\frac{2-\wurzel{2}}{k} [/mm]
für k<0
[mm] x_1= \frac{2+\wurzel{2}}{k}
[/mm]
[mm] x_2= \frac{2-\wurzel{2}}{k} [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:14 Fr 20.06.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> für k > 0
>
> [mm]x_1= -\frac{2+\wurzel{2}}{k}[/mm]
> [mm]x_2= -\frac{2-\wurzel{2}}{k}[/mm]
>
>
> für k<0
>
> [mm]x_1= \frac{2+\wurzel{2}}{k}[/mm]
> [mm]x_2= \frac{2-\wurzel{2}}{k}[/mm]
>
Für k>0 ist das korrekt
Aber für k<0 passt das nicht ganz
Du hast.
[mm] x_{1,2}=-\frac{2}{k}\pm\sqrt{\left(\frac{-2}{k}\right))^{2}-\frac{2}{k^{2}}}
[/mm]
[mm] =-\frac{2}{k}\pm\sqrt{\frac{2}{k^{2}}}
[/mm]
[mm] =-\frac{2}{k}\pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{k^{2}}}
[/mm]
Für k<0 ist [mm] \sqrt{k^{2}}=|k|=-k, [/mm] also
[mm] x_{1;2}=-\frac{2}{k}\pm\sqrt{\frac{2}{k^{2}}}
[/mm]
[mm] =-\frac{2}{k}\pm\frac{\sqrt{2}}{-k}
[/mm]
Nun wieder du.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Do 19.06.2014 | | Autor: | Bodo0686 |
Also hätte ich für die Wendepunkte:
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \frac{-2+\wurzel{2}}{k}
[/mm]
[mm] f''(x_1)= [/mm] 0
[mm] f(x_1)= e^{-2+\wurzel{2}}\cdot (\frac{6-4\cdot \wurzel{4}}{k})
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:35 Fr 20.06.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Also hätte ich für die Wendepunkte:
>
> [mm]x_1[/mm] = [mm]\frac{-2+\wurzel{2}}{k}[/mm]
>
> [mm]f''(x_1)=[/mm] 0
> [mm]f(x_1)= e^{-2+\wurzel{2}}\cdot (\frac{6-4\cdot \wurzel{4}}{k})[/mm]
>
Es fehlt die hinreichende Bedingung (3. Ableitung ungleich Null oder Vorzeichenwechselkriterium) und über die 4 unter der Wurzel bei [mm] f(x_{1}) [/mm] solltest du dir auch nochmal Gedanken machen.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Fr 20.06.2014 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo
>
> > Also hätte ich für die Wendepunkte:
> >
> > [mm]x_1[/mm] = [mm]\frac{-2+\wurzel{2}}{k}[/mm]
> >
> > [mm]f''(x_1)=[/mm] 0
> > [mm]f(x_1)= e^{-2+\wurzel{2}}\cdot (\frac{6-4\cdot \wurzel{4}}{k})[/mm]
>
> >
>
> Es fehlt die hinreichende Bedingung (3. Ableitung ungleich
> Null oder Vorzeichenwechselkriterium) und über die 4 unter
> der Wurzel bei [mm]f(x_{1})[/mm] solltest du dir auch nochmal
> Gedanken machen.
>
> Marius
[mm] f''(x_1)= [/mm] 0
[mm] f'''(x_1) \not=0, [/mm] da [mm] e^{-2+\wurzel{2}} \not=0 [/mm] ist.
Also genauer Wert:
[mm] f'''(x_1) [/mm] = [mm] e^{-2+\wurzel{2}} 2k^2\wurzel{2}.
[/mm]
[mm] f(x_1)= e^{-2+\wurzel{2}}\cdot (\frac{6-4\cdot \wurzel{2}}{k})
[/mm]
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Hallo Bodo0686,
> > Hallo
> >
> > > Also hätte ich für die Wendepunkte:
> > >
> > > [mm]x_1[/mm] = [mm]\frac{-2+\wurzel{2}}{k}[/mm]
> > >
> > > [mm]f''(x_1)=[/mm] 0
> > > [mm]f(x_1)= e^{-2+\wurzel{2}}\cdot (\frac{6-4\cdot \wurzel{4}}{k})[/mm]
>
> >
> > >
> >
> > Es fehlt die hinreichende Bedingung (3. Ableitung ungleich
> > Null oder Vorzeichenwechselkriterium) und über die 4 unter
> > der Wurzel bei [mm]f(x_{1})[/mm] solltest du dir auch nochmal
> > Gedanken machen.
> >
> > Marius
>
> [mm]f''(x_1)=[/mm] 0
> [mm]f'''(x_1) \not=0,[/mm] da [mm]e^{-2+\wurzel{2}} \not=0[/mm] ist.
>
> Also genauer Wert:
> [mm]f'''(x_1)[/mm] = [mm]e^{-2+\wurzel{2}} 2k^2\wurzel{2}.[/mm]
>
>
> [mm]f(x_1)= e^{-2+\wurzel{2}}\cdot (\frac{6-4\cdot \wurzel{2}}{k})[/mm]
>
Jetzt stimmt's.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Do 19.06.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo Bodo0686,
>
> > > Hallo,
> > >
> > > zweiter Versuch, konnte vorhin nicht absenden ...
> > >
> > >
> > > > Geg sei die Funktionsschar [mm]f_k(x)=k\cdot x^2\cdot e^{k\cdot x},[/mm]
>
> >
> > >
> > > > k [mm]\in \IR[/mm] , [mm]k\not=0[/mm]
> > > >
> > > > Berechnen Sie:
> > > >
> > > > a) Ableitungen (1-3)
> > > > b) Grenzwertverhalten
> > > > c) Symmetrie
> > > > d) Nullstellen
> > > > e) Extrema
> > > > Hallo Zusammen,
> > > > ich habe:
> > > >
> > > > a)
> > > >
> > > > [mm]f_k'(x)= e^{k\cdot x} (k^2 \cdot x^2[/mm] + 2xk)
> > > > [mm]f_k''(x)= e^{k\cdot x} (4xk^2[/mm] + [mm]k^3 \cdot x^2[/mm] +
> 2k)
> > > > [mm]f_k'''(x)=e^{k\cdot x} (6k^2[/mm] + [mm]6k^3 \cdot[/mm] x + [mm]k^4 \cdot x^2)[/mm]
>
> >
> > >
> > > Gut
> > >
> > > >
> > > > b)
> > > >
> > > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}= k\cdot x^2 \cdot e^{k\cdot x}[/mm]
> > > = [mm]\infty[/mm]
> > >
> > > Na, zum einen soll doch wohl [mm]\red x\to\infty[/mm] gehen und
> > > nicht n (sonst wäre das ja konstant ...), zum anderen
> > > hängt es doch von [mm]k[/mm] ab, was im Grenzbereich passiert.
> > >
> > > Das musst du nochmal überdenken ...
> > >
> > > > [mm]\limes_{n\rightarrow - \infty}= k\cdot x^2 \cdot e^{k\cdot x}[/mm]
>
> >
> > >
> > > > = 0
> > > >
> > > > c)
> > > >
> > > > f(-x)= [mm]k\cdot (-x)^2 \cdot e^{k\cdot (-x)}[/mm] =
> [mm]k\cdot (x)^2 \cdot e^{k\cdot (-x)} \not=[/mm]
> >
> > >
> > > > f(x) und [mm]\not=[/mm] -f(x) [mm]\rightarrow[/mm] keine Symmetrie
> > > >
> > > > d) [mm]f_k(x)= k\cdotx^2 \cdot e^{k\cdot x}[/mm] =0
> > > > [mm]e^{k\cdot x} \not=[/mm] 0
> > > >
> > > > [mm]k\cdot x^2[/mm] =0 [mm]\rightarrow[/mm] N(0|0)
> > >
> > > Das stimmt im Ergebnis, du meinst es sicher auch richtig,
> > > es ist aber "kraus" aufgeschrieben
> > >
> > > >
> > > > e) f'(x)=0
> > > > [mm]e^{k\cdot x }(k^2 \cdot x^2[/mm] + 2xk) = 0
> > > >
> > > > [mm]k^2 \cdot x^2[/mm] + 2xk = 0
> > > > [mm]x^2[/mm] + [mm]\frac{2x}{k}[/mm] =0
> > > >
> > > > Nach P-Q Formel:
> > >
> > > Einfacher: x ausklammern
> > >
> > >
> > > >
> > > > [mm]x_1= \frac{-x}{k}[/mm]
> > > > [mm]x_2 =\frac{-3x}{k}[/mm]
> >
> >
> > > Was ist denn da passiert? Die Lösungen sollten nicht von x
> > > abhängen.
> > >
> > > Zeige mal deine Rechnung ...
> > >
> > > Außerdem weißt du nach d) schon, dass eine Lösung [mm]x=0[/mm]
> > > sein muss - warum?
> > >
> > > >
> > > >
> > > > Könnt hier mir sagen, ob das bis hierher stimm?
> > >
> > > Teilweise ...
> > >
> > > Gruß
> > >
> > > schachuzipus
> >
> > Hallo,
> >
> > also ich habe:
> >
> >
> > Grenzverhalten:
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] k [mm]\cdot x^2 \cdot e^{k\cdot x}[/mm]
> > =
> >
> > Ist k = 0 [mm]\rightarrow[/mm] 0
> > Ist k<0 [mm]\rightarrow[/mm] 0
> > Ist k >0 [mm]\rightarrow \infty[/mm]
> >
>
>
>
>
>
> > [mm]\limes_{x\rightarrow -\infty}[/mm] k [mm]\cdot x^2 \cdot e^{k\cdot x}[/mm]
> > =
> >
> > Ist k = 0 [mm]\rightarrow[/mm] 0
> > Ist k<0 [mm]\rightarrow[/mm] 0
> > Ist k >0 [mm]\rightarrow[/mm] - [mm]\infty[/mm]
> >
>
>
> Der Fall k=0 ist nicht zu betrachten.
>
>
>
>
> > Extrema:
> >
> > [mm]k^2 \cdot x^2[/mm] + 2xk = 0
> >
> > [mm]x^2[/mm] + [mm]\frac{2x}{k}[/mm] =0
> >
> > [mm]x_{1,2}=[/mm] - [mm]\frac{p}{2} \pm \wurzel{(\frac{p}{2})^2+q}[/mm]
> >
> > [mm]x_{1,2}= -\frac{1}{k} \pm \wurzel{\frac{1^2}{k^2}}[/mm]
> >
> > [mm]x_{1}[/mm] = 0
> > [mm]x_2[/mm] = - [mm]\frac{2}{k}[/mm]
> >
>
>
> Das zweite Extrema ist natürlich abhängig von k.
Hallo MathePower,
ich will auch mal ein Klugscheißer sein.
"Extrema" ist ein Mehrzahlwort.
Im Singular nennen die Lateiner das "Extremum".
Gruß Abakus
>
>
>
>
> > Grüße
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Do 19.06.2014 | | Autor: | Herby |
Hallo Abakus,
vielleicht ist es ja weiblich ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Grüße
Herby
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 Do 19.06.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo Abakus,
>
> vielleicht ist es ja weiblich
>
> Grüße
> Herby
Du meinst dem Extremum seine Frau?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Do 19.06.2014 | | Autor: | Bodo0686 |
weitere Teilaufgaben:
b) sei k=-1 und die Funktion f rotiere im Intervall [0;3] um die x-Achse. Bestimmen Sie das Volumen.
[mm] V=\pi \integral_{0}^{3}{-x^2 \cdot e^{-x} dx} [/mm] = [mm] \pi (e^{-3} [/mm] +2)
c) Bestimmen sie eine Stammfunktion für [mm] f_2 [/mm] und bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von [mm] f_2 [/mm] im Intervall [-2;0] der x-Achse einschließt.
[mm] \integral_{-2}^{0}{2x^2 \cdot e^{2x} dx} [/mm] = [mm] -6\cdot e^{-4}+1
[/mm]
d) Welche Funktion der Schar hat bei x=1 einen Extremwert
e) Weclhe Funktionen der Schar haben bei x=1 einen Wendepunkt?
Könnt ihr mir hier behilflich sein? Muss ich dann bei d) Die erste Ableitung = 1 setzen und dann nach x Auflösen?
Grüße
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Hallo Bodo!
> b) sei k=-1 und die Funktion f rotiere im Intervall [0;3]
> um die x-Achse. Bestimmen Sie das Volumen.
Wie lautet denn die Formel für das Rotationsvolumen um die x-Achse?
> [mm]V=\pi \integral_{0}^{3}{-x^2 \cdot e^{-x} dx}[/mm]
Denn diese Formel scheinst Du hier falsch bzw. gar nicht anzuwenden.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Do 19.06.2014 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo!
>
>
> > b) sei k=-1 und die Funktion f rotiere im Intervall [0;3]
> > um die x-Achse. Bestimmen Sie das Volumen.
>
> Wie lautet denn die Formel für das Rotationsvolumen um die
> x-Achse?
>
>
> > [mm]V=\pi \integral_{0}^{3}{-x^2 \cdot e^{-x} dx}[/mm]
>
> Denn diese Formel scheinst Du hier falsch bzw. gar nicht
> anzuwenden.
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
Die Formel lautet meines Wissens:
V= [mm] \pi \integral_{a}^{b}{f(x)^2 dx}
[/mm]
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Hallo Bodo!
> Die Formel lautet meines Wissens: V= [mm]\pi \integral_{a}^{b}{f(x)^2 dx}[/mm]
Dann musst Du sie nur noch korrekt anwenden.
Wie lautet denn der Integrand $[ \ f(x) \ [mm] ]^2$ [/mm] ?
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:36 Do 19.06.2014 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo!
>
>
> > Die Formel lautet meines Wissens: V= [mm]\pi \integral_{a}^{b}{f(x)^2 dx}[/mm]
>
>
> Dann musst Du sie nur noch korrekt anwenden.
>
> Wie lautet denn der Integrand [mm][ \ f(x) \ ]^2[/mm] ?
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
>
Hi,
V= [mm] \pi \integral_{a}^{b}{f(x)^2} [/mm] dx = [mm] \pi \integral_{-2}^{0}{(2x^2*e^{2x})^2 dx} [/mm] = [mm] 4\cdot \pi \integral_{-2}^{0}{(x^4*e^{4x}) dx}
[/mm]
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Hallo Bodo!
> V= [mm]\pi \integral_{a}^{b}{f(x)^2}[/mm] dx = [mm]\pi \integral_{-2}^{0}{(2x^2*e^{2x})^2 dx}[/mm] = [mm]4\cdot \pi \integral_{-2}^{0}{(x^4*e^{4x}) dx}[/mm]
Grundsätzlich geht das in die richtige Richtung.
Aber wo zauberst Du den Faktor $2_$ her? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Bodo!
> V= [mm]\pi \integral_{a}^{b}{f(x)^2}[/mm] dx = [mm]\pi \integral_{0}^{3}{(-x^2*e^{-x})^2 dx}[/mm] = [mm]\cdot \pi \integral_{0}^{3}{(x^4*e^{-2x}) dx}[/mm]
Nun also los mit dem munteren Integrieren.
Entweder viermalig partielle Integration.
Oder mittels Ansatz, dass eine Stammfunktion hiervon lautet: [mm] $\left(A*x^4+B*x^3+C*x^2+D*x+E\right)*e^{-2x}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Fr 20.06.2014 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo!
>
>
> > V= [mm]\pi \integral_{a}^{b}{f(x)^2}[/mm] dx = [mm]\pi \integral_{0}^{3}{(-x^2*e^{-x})^2 dx}[/mm]
> = [mm]\cdot \pi \integral_{0}^{3}{(x^4*e^{-2x}) dx}[/mm]
>
> Nun also los mit dem munteren Integrieren.
>
> Entweder viermalig partielle Integration.
>
> Oder mittels Ansatz, dass eine Stammfunktion hiervon
> lautet: [mm]\left(A*x^4+B*x^3+C*x^2+D*x+E\right)*e^{-2x}[/mm]
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
Hallo, ich habe nun heraus:
[mm] \pi (\frac{-289e^{-6}}{4} [/mm] + [mm] \frac{1}{4})
[/mm]
das erscheint mir aber nicht richtig...
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Hallo Bodo0686,
> > Hallo Bodo!
> >
> >
> > > V= [mm]\pi \integral_{a}^{b}{f(x)^2}[/mm] dx = [mm]\pi \integral_{0}^{3}{(-x^2*e^{-x})^2 dx}[/mm]
> > = [mm]\cdot \pi \integral_{0}^{3}{(x^4*e^{-2x}) dx}[/mm]
> >
> > Nun also los mit dem munteren Integrieren.
> >
> > Entweder viermalig partielle Integration.
> >
> > Oder mittels Ansatz, dass eine Stammfunktion hiervon
> > lautet: [mm]\left(A*x^4+B*x^3+C*x^2+D*x+E\right)*e^{-2x}[/mm]
> >
> >
> > Gruß vom
> > Roadrunner
>
> Hallo, ich habe nun heraus:
>
> [mm]\pi (\frac{-289e^{-6}}{4}[/mm] + [mm]\frac{1}{4})[/mm]
>
> das erscheint mir aber nicht richtig...
Das ist auch nicht richtig.
Poste dazu die bisherigen Rechenschritte.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Fr 20.06.2014 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo0686,
>
> > > Hallo Bodo!
> > >
> > >
> > > > V= [mm]\pi \integral_{a}^{b}{f(x)^2}[/mm] dx = [mm]\pi \integral_{0}^{3}{(-x^2*e^{-x})^2 dx}[/mm]
> > > = [mm]\cdot \pi \integral_{0}^{3}{(x^4*e^{-2x}) dx}[/mm]
> > >
> > > Nun also los mit dem munteren Integrieren.
> > >
> > > Entweder viermalig partielle Integration.
> > >
> > > Oder mittels Ansatz, dass eine Stammfunktion hiervon
> > > lautet: [mm]\left(A*x^4+B*x^3+C*x^2+D*x+E\right)*e^{-2x}[/mm]
> > >
> > >
> > > Gruß vom
> > > Roadrunner
> >
> > Hallo, ich habe nun heraus:
> >
> > [mm]\pi (\frac{-289e^{-6}}{4}[/mm] + [mm]\frac{1}{4})[/mm]
> >
> > das erscheint mir aber nicht richtig...
>
>
> Das ist auch nicht richtig.
>
> Poste dazu die bisherigen Rechenschritte.
>
>
> Gruss
> MathePower
[mm] V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx})
[/mm]
= [...]
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Hallo Bodo0686,
> > Hallo Bodo0686,
> >
> > > > Hallo Bodo!
> > > >
> > > >
> > > > > V= [mm]\pi \integral_{a}^{b}{f(x)^2}[/mm] dx = [mm]\pi \integral_{0}^{3}{(-x^2*e^{-x})^2 dx}[/mm]
> > > > = [mm]\cdot \pi \integral_{0}^{3}{(x^4*e^{-2x}) dx}[/mm]
> > > >
> > > > Nun also los mit dem munteren Integrieren.
> > > >
> > > > Entweder viermalig partielle Integration.
> > > >
> > > > Oder mittels Ansatz, dass eine Stammfunktion hiervon
> > > > lautet: [mm]\left(A*x^4+B*x^3+C*x^2+D*x+E\right)*e^{-2x}[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > Gruß vom
> > > > Roadrunner
> > >
> > > Hallo, ich habe nun heraus:
> > >
> > > [mm]\pi (\frac{-289e^{-6}}{4}[/mm] + [mm]\frac{1}{4})[/mm]
> > >
> > > das erscheint mir aber nicht richtig...
> >
> >
> > Das ist auch nicht richtig.
> >
> > Poste dazu die bisherigen Rechenschritte.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> [mm]V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm]
> + [mm]\integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
> = [...]
Der Anfang ist schon mal richtig.
Die partielle Integration geht aber noch weiter.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Fr 20.06.2014 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo0686,
>
> > > Hallo Bodo0686,
> > >
> > > > > Hallo Bodo!
> > > > >
> > > > >
> > > > > > V= [mm]\pi \integral_{a}^{b}{f(x)^2}[/mm] dx = [mm]\pi \integral_{0}^{3}{(-x^2*e^{-x})^2 dx}[/mm]
> > > > > = [mm]\cdot \pi \integral_{0}^{3}{(x^4*e^{-2x}) dx}[/mm]
> > > > >
> > > > > Nun also los mit dem munteren Integrieren.
> > > > >
> > > > > Entweder viermalig partielle Integration.
> > > > >
> > > > > Oder mittels Ansatz, dass eine Stammfunktion hiervon
> > > > > lautet: [mm]\left(A*x^4+B*x^3+C*x^2+D*x+E\right)*e^{-2x}[/mm]
> > > > >
> > > > >
> > > > > Gruß vom
> > > > > Roadrunner
> > > >
> > > > Hallo, ich habe nun heraus:
> > > >
> > > > [mm]\pi (\frac{-289e^{-6}}{4}[/mm] + [mm]\frac{1}{4})[/mm]
> > > >
> > > > das erscheint mir aber nicht richtig...
> > >
> > >
> > > Das ist auch nicht richtig.
> > >
> > > Poste dazu die bisherigen Rechenschritte.
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
> > [mm]V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm]
> > + [mm]\integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
> > = [...]
>
>
> Der Anfang ist schon mal richtig.
>
> Die partielle Integration geht aber noch weiter.
>
>
> Gruss
> MathePower
[mm] V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx}) [/mm]
= [mm] \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3} [/mm] - [mm] \left[x^3 \cdot e^{-2x} \right]_{0}^{3} [/mm] + [mm] 3\integral_{0}^{3}{x \cdot e^{-2x} dx}) [/mm]
[...]
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Hallo Bodo0686,
> > Hallo Bodo0686,
> >
> > > > Hallo Bodo0686,
> > > >
> > > > > > Hallo Bodo!
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > > V= [mm]\pi \integral_{a}^{b}{f(x)^2}[/mm] dx = [mm]\pi \integral_{0}^{3}{(-x^2*e^{-x})^2 dx}[/mm]
> > > > > > = [mm]\cdot \pi \integral_{0}^{3}{(x^4*e^{-2x}) dx}[/mm]
> > > > > >
> > > > > > Nun also los mit dem munteren Integrieren.
> > > > > >
> > > > > > Entweder viermalig partielle Integration.
> > > > > >
> > > > > > Oder mittels Ansatz, dass eine Stammfunktion hiervon
> > > > > > lautet: [mm]\left(A*x^4+B*x^3+C*x^2+D*x+E\right)*e^{-2x}[/mm]
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Gruß vom
> > > > > > Roadrunner
> > > > >
> > > > > Hallo, ich habe nun heraus:
> > > > >
> > > > > [mm]\pi (\frac{-289e^{-6}}{4}[/mm] + [mm]\frac{1}{4})[/mm]
> > > > >
> > > > > das erscheint mir aber nicht richtig...
> > > >
> > > >
> > > > Das ist auch nicht richtig.
> > > >
> > > > Poste dazu die bisherigen Rechenschritte.
> > > >
> > > >
> > > > Gruss
> > > > MathePower
> > >
> > > [mm]V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm]
> > > + [mm]\integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
> > > =
> [...]
> >
> >
> > Der Anfang ist schon mal richtig.
> >
> > Die partielle Integration geht aber noch weiter.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> [mm]V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm]
> + [mm]\integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
> = [mm]\pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm] -
> [mm]\left[x^3 \cdot e^{-2x} \right]_{0}^{3}[/mm] + [mm] 3\integral_{0}^{3}{x \cdot e^{-2x} dx}) [/mm]
>
> [...]
Das letzte Integral muss doch so lauten:
[mm]3\integral_{0}^{3}{x^{\red{2}} \cdot e^{-2x} dx}[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Fr 20.06.2014 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo0686,
>
>
> > > Hallo Bodo0686,
> > >
> > > > > Hallo Bodo0686,
> > > > >
> > > > > > > Hallo Bodo!
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > > V= [mm]\pi \integral_{a}^{b}{f(x)^2}[/mm] dx = [mm]\pi \integral_{0}^{3}{(-x^2*e^{-x})^2 dx}[/mm]
> > > > > > > = [mm]\cdot \pi \integral_{0}^{3}{(x^4*e^{-2x}) dx}[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > > Nun also los mit dem munteren Integrieren.
> > > > > > >
> > > > > > > Entweder viermalig partielle Integration.
> > > > > > >
> > > > > > > Oder mittels Ansatz, dass eine Stammfunktion hiervon
> > > > > > > lautet: [mm]\left(A*x^4+B*x^3+C*x^2+D*x+E\right)*e^{-2x}[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > Gruß vom
> > > > > > > Roadrunner
> > > > > >
> > > > > > Hallo, ich habe nun heraus:
> > > > > >
> > > > > > [mm]\pi (\frac{-289e^{-6}}{4}[/mm] + [mm]\frac{1}{4})[/mm]
> > > > > >
> > > > > > das erscheint mir aber nicht richtig...
> > > > >
> > > > >
> > > > > Das ist auch nicht richtig.
> > > > >
> > > > > Poste dazu die bisherigen Rechenschritte.
> > > > >
> > > > >
> > > > > Gruss
> > > > > MathePower
> > > >
> > > > [mm]V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm]
> > > > + [mm]\integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
> > > >
> =
> > [...]
> > >
> > >
> > > Der Anfang ist schon mal richtig.
> > >
> > > Die partielle Integration geht aber noch weiter.
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
> > [mm]V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm]
> > + [mm]\integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
> > = [mm]\pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm] -
> > [mm]\left[x^3 \cdot e^{-2x} \right]_{0}^{3}[/mm] +
> [mm]3\integral_{0}^{3}{x \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
> >
> > [...]
>
>
> Das letzte Integral muss doch so lauten:
>
> [mm]3\integral_{0}^{3}{x^{\red{2}} \cdot e^{-2x} dx}[/mm]
>
>
> Gruss
> MathePower
[mm] V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx}) [/mm]
= [mm] \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3} [/mm] - [mm] \left[x^3 \cdot e^{-2x} \right]_{0}^{3} [/mm] - [mm] \frac{3}{2} \left[x^2 \cdot e^{-2x}\right]_{0}^{3}-\frac{1}{2}\left[x\cdot e^{-2x}\right]_{0}^{3}-\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2} \cdot e^{-2x}\right]_{0}^{3})
[/mm]
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Hallo Bodo0686,
> > Hallo Bodo0686,
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> > > > > > > > Hallo Bodo!
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> > > > > > > >
> > > > > > > > > V= [mm]\pi \integral_{a}^{b}{f(x)^2}[/mm] dx = [mm]\pi \integral_{0}^{3}{(-x^2*e^{-x})^2 dx}[/mm]
> > > > > > > > = [mm]\cdot \pi \integral_{0}^{3}{(x^4*e^{-2x}) dx}[/mm]
> > > > > > > >
> > > > > > > > Nun also los mit dem munteren Integrieren.
> > > > > > > >
> > > > > > > > Entweder viermalig partielle Integration.
> > > > > > > >
> > > > > > > > Oder mittels Ansatz, dass eine Stammfunktion hiervon
> > > > > > > > lautet: [mm]\left(A*x^4+B*x^3+C*x^2+D*x+E\right)*e^{-2x}[/mm]
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > > Gruß vom
> > > > > > > > Roadrunner
> > > > > > >
> > > > > > > Hallo, ich habe nun heraus:
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]\pi (\frac{-289e^{-6}}{4}[/mm] + [mm]\frac{1}{4})[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > > das erscheint mir aber nicht richtig...
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Das ist auch nicht richtig.
> > > > > >
> > > > > > Poste dazu die bisherigen Rechenschritte.
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Gruss
> > > > > > MathePower
> > > > >
> > > > > [mm]V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm]
> > > > > + [mm]\integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
> > >
> > >
> > =
> > > [...]
> > > >
> > > >
> > > > Der Anfang ist schon mal richtig.
> > > >
> > > > Die partielle Integration geht aber noch weiter.
> > > >
> > > >
> > > > Gruss
> > > > MathePower
> > >
> > > [mm]V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm]
> > > + [mm]\integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
> > > = [mm]\pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm] -
> > > [mm]\left[x^3 \cdot e^{-2x} \right]_{0}^{3}[/mm] +
> > [mm]3\integral_{0}^{3}{x \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
> > >
> > > [...]
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> > Das letzte Integral muss doch so lauten:
> >
> > [mm]3\integral_{0}^{3}{x^{\red{2}} \cdot e^{-2x} dx}[/mm]
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> > Gruss
> > MathePower
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> [mm]V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm]
> + [mm]\integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
> = [mm]\pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm] -
> [mm]\left[x^3 \cdot e^{-2x} \right]_{0}^{3}[/mm] - [mm]\frac{3}{2} \left[x^2 \cdot e^{-2x}\right]_{0}^{3}-\frac{1}{2}\left[x\cdot e^{-2x}\right]_{0}^{3}-\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2} \cdot e^{-2x}\right]_{0}^{3})[/mm]
>
Die Faktoren vor den letzten 2 eckigen Klammern stimmen nicht.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Fr 20.06.2014 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo0686,
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> > > > > > > > > Hallo Bodo!
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> > > > > > > > > > V= [mm]\pi \integral_{a}^{b}{f(x)^2}[/mm] dx = [mm]\pi \integral_{0}^{3}{(-x^2*e^{-x})^2 dx}[/mm]
> > > > > > > > > = [mm]\cdot \pi \integral_{0}^{3}{(x^4*e^{-2x}) dx}[/mm]
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> > > > > > > > > Nun also los mit dem munteren Integrieren.
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > Entweder viermalig partielle Integration.
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > Oder mittels Ansatz, dass eine Stammfunktion hiervon
> > > > > > > > > lautet: [mm]\left(A*x^4+B*x^3+C*x^2+D*x+E\right)*e^{-2x}[/mm]
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> > > > > > > > > Gruß vom
> > > > > > > > > Roadrunner
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> > > > > > > > Hallo, ich habe nun heraus:
> > > > > > > >
> > > > > > > > [mm]\pi (\frac{-289e^{-6}}{4}[/mm] + [mm]\frac{1}{4})[/mm]
> > > > > > > >
> > > > > > > > das erscheint mir aber nicht richtig...
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> > > > > > > Das ist auch nicht richtig.
> > > > > > >
> > > > > > > Poste dazu die bisherigen Rechenschritte.
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> > > > > > > Gruss
> > > > > > > MathePower
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> > > > > > [mm]V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm]
> > > > > > + [mm]\integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
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> > > > > Der Anfang ist schon mal richtig.
> > > > >
> > > > > Die partielle Integration geht aber noch weiter.
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> > > > > Gruss
> > > > > MathePower
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> > > > [mm]V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm]
> > > > + [mm]\integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
> > > > = [mm]\pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm] -
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> > > [mm]3\integral_{0}^{3}{x \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
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> > > > [...]
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> > > Das letzte Integral muss doch so lauten:
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> > > [mm]3\integral_{0}^{3}{x^{\red{2}} \cdot e^{-2x} dx}[/mm]
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> > > Gruss
> > > MathePower
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> > [mm]V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm]
> > + [mm]\integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
> > = [mm]\pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm] -
> > [mm]\left[x^3 \cdot e^{-2x} \right]_{0}^{3}[/mm] - [mm]\frac{3}{2} \left[x^2 \cdot e^{-2x}\right]_{0}^{3}-\frac{1}{2}\left[x\cdot e^{-2x}\right]_{0}^{3}-\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2} \cdot e^{-2x}\right]_{0}^{3})[/mm]
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> Die Faktoren vor den letzten 2 eckigen Klammern stimmen
> nicht.
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>
> Gruss
> MathePower
Kann es sein das der erste Faktor 1 ist und der andere 0.5?
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Hallo Bodo0686,
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> > > > > > > > > > > V= [mm]\pi \integral_{a}^{b}{f(x)^2}[/mm] dx = [mm]\pi \integral_{0}^{3}{(-x^2*e^{-x})^2 dx}[/mm]
> > > > > > > > > > = [mm]\cdot \pi \integral_{0}^{3}{(x^4*e^{-2x}) dx}[/mm]
> > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > Nun also los mit dem munteren Integrieren.
> > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > Entweder viermalig partielle Integration.
> > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > Oder mittels Ansatz, dass eine Stammfunktion hiervon
> > > > > > > > > > lautet: [mm]\left(A*x^4+B*x^3+C*x^2+D*x+E\right)*e^{-2x}[/mm]
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> > > > > > > > > > Gruß vom
> > > > > > > > > > Roadrunner
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> > > > > > > > > Hallo, ich habe nun heraus:
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > [mm]\pi (\frac{-289e^{-6}}{4}[/mm] + [mm]\frac{1}{4})[/mm]
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > das erscheint mir aber nicht richtig...
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > > Das ist auch nicht richtig.
> > > > > > > >
> > > > > > > > Poste dazu die bisherigen Rechenschritte.
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > > Gruss
> > > > > > > > MathePower
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm]
> > > > > > > + [mm]\integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
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> > > > =
> > > > > [...]
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> > > > > > Der Anfang ist schon mal richtig.
> > > > > >
> > > > > > Die partielle Integration geht aber noch weiter.
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Gruss
> > > > > > MathePower
> > > > >
> > > > > [mm]V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm]
> > > > > + [mm]\integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
> > > > > = [mm]\pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm] -
> > > > > [mm]\left[x^3 \cdot e^{-2x} \right]_{0}^{3}[/mm] +
> > > > [mm]3\integral_{0}^{3}{x \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
> > > > >
> > > > > [...]
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> > > > Das letzte Integral muss doch so lauten:
> > > >
> > > > [mm]3\integral_{0}^{3}{x^{\red{2}} \cdot e^{-2x} dx}[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > Gruss
> > > > MathePower
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> > > [mm]V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm]
> > > + [mm]\integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
> > > = [mm]\pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm] -
> > > [mm]\left[x^3 \cdot e^{-2x} \right]_{0}^{3}[/mm] - [mm]\frac{3}{2} \left[x^2 \cdot e^{-2x}\right]_{0}^{3}-\frac{1}{2}\left[x\cdot e^{-2x}\right]_{0}^{3}-\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2} \cdot e^{-2x}\right]_{0}^{3})[/mm]
> > >
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> >
> > Die Faktoren vor den letzten 2 eckigen Klammern stimmen
> > nicht.
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> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Kann es sein das der erste Faktor 1 ist und der andere 0.5?
Nein.
Der erste Faktor ist [mm]-\bruch{3}{2}[/mm],
der zweite [mm]+\bruch{3}{2}[/mm].
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Fr 20.06.2014 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo0686,
>
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> > > > > Hallo Bodo0686,
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> > > > > > > Hallo Bodo0686,
> > > > > > >
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> > > > > > > > > > > Hallo Bodo!
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> > > > > > > > > > > > V= [mm]\pi \integral_{a}^{b}{f(x)^2}[/mm] dx = [mm]\pi \integral_{0}^{3}{(-x^2*e^{-x})^2 dx}[/mm]
> > > > > > > > > > > = [mm]\cdot \pi \integral_{0}^{3}{(x^4*e^{-2x}) dx}[/mm]
> > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > Nun also los mit dem munteren Integrieren.
> > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > Entweder viermalig partielle Integration.
> > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > Oder mittels Ansatz, dass eine Stammfunktion hiervon
> > > > > > > > > > > lautet: [mm]\left(A*x^4+B*x^3+C*x^2+D*x+E\right)*e^{-2x}[/mm]
> > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > Gruß vom
> > > > > > > > > > > Roadrunner
> > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > Hallo, ich habe nun heraus:
> > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > [mm]\pi (\frac{-289e^{-6}}{4}[/mm] + [mm]\frac{1}{4})[/mm]
> > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > das erscheint mir aber nicht richtig...
> > > > > > > > >
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > Das ist auch nicht richtig.
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > Poste dazu die bisherigen Rechenschritte.
> > > > > > > > >
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > Gruss
> > > > > > > > > MathePower
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> > > > > > > > [mm]V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm]
> > > > > > > > + [mm]\integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
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> > > > > > [...]
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> > > > > > > Der Anfang ist schon mal richtig.
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> > > > > > > Die partielle Integration geht aber noch weiter.
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> > > > > > > Gruss
> > > > > > > MathePower
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> > > > > > [mm]V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm]
> > > > > > + [mm]\integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
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> > > > > [mm]3\integral_{0}^{3}{x \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
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> > > > > > [...]
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> > > > > Das letzte Integral muss doch so lauten:
> > > > >
> > > > > [mm]3\integral_{0}^{3}{x^{\red{2}} \cdot e^{-2x} dx}[/mm]
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> > > > > Gruss
> > > > > MathePower
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> > > > [mm]V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm]
> > > > + [mm]\integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
> > > > = [mm]\pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm] -
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> > > Die Faktoren vor den letzten 2 eckigen Klammern stimmen
> > > nicht.
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> > > Gruss
> > > MathePower
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> > Kann es sein das der erste Faktor 1 ist und der andere 0.5?
>
>
> Nein.
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> Der erste Faktor ist [mm]-\bruch{3}{2}[/mm],
> der zweite [mm]+\bruch{3}{2}[/mm].
>
>
> Gruss
> MathePower
Hi,
was muss denn da für ein Ergebnis herauskommen?
Ich habe - [mm] \pi \cdot [/mm] 191 [mm] \ccdot e^{-6} [/mm] +3
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Hallo Bodo9686,
> > Hallo Bodo0686,
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> > > > Hallo Bodo0686,
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> > > > > > > > > > Hallo Bodo0686,
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> > > > > > > > > > > > Hallo Bodo!
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> > > > > > > > > > > > > V= [mm]\pi \integral_{a}^{b}{f(x)^2}[/mm] dx = [mm]\pi \integral_{0}^{3}{(-x^2*e^{-x})^2 dx}[/mm]
> > > > > > > > > > > > = [mm]\cdot \pi \integral_{0}^{3}{(x^4*e^{-2x}) dx}[/mm]
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> > > > > > > > > > > > Nun also los mit dem munteren Integrieren.
> > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > Entweder viermalig partielle Integration.
> > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > Oder mittels Ansatz, dass eine Stammfunktion hiervon
> > > > > > > > > > > > lautet: [mm]\left(A*x^4+B*x^3+C*x^2+D*x+E\right)*e^{-2x}[/mm]
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> > > > > > > > > > > > Gruß vom
> > > > > > > > > > > > Roadrunner
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> > > > > > > > > > > Hallo, ich habe nun heraus:
> > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > [mm]\pi (\frac{-289e^{-6}}{4}[/mm] + [mm]\frac{1}{4})[/mm]
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> > > > > > > > > > > das erscheint mir aber nicht richtig...
> > > > > > > > > >
> > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > Das ist auch nicht richtig.
> > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > Poste dazu die bisherigen Rechenschritte.
> > > > > > > > > >
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> > > > > > > > > > Gruss
> > > > > > > > > > MathePower
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> > > > > > > > > [mm]V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm]
> > > > > > > > > + [mm]\integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
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> > > > > > > > Der Anfang ist schon mal richtig.
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> > > > > > > > Die partielle Integration geht aber noch weiter.
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> > > > > > > > Gruss
> > > > > > > > MathePower
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> > > > > > > [mm]V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm]
> > > > > > > + [mm]\integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
> > > > > > > = [mm]\pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm] -
> > > > > > > [mm]\left[x^3 \cdot e^{-2x} \right]_{0}^{3}[/mm] +
> > > > > > [mm]3\integral_{0}^{3}{x \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
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> > > > > > > [...]
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Das letzte Integral muss doch so lauten:
> > > > > >
> > > > > > [mm]3\integral_{0}^{3}{x^{\red{2}} \cdot e^{-2x} dx}[/mm]
> > > > > >
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> > > > > > Gruss
> > > > > > MathePower
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> > > > > [mm]V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm]
> > > > > + [mm]\integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
> > > > > = [mm]\pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm] -
> > > > > [mm]\left[x^3 \cdot e^{-2x} \right]_{0}^{3}[/mm] - [mm]\frac{3}{2} \left[x^2 \cdot e^{-2x}\right]_{0}^{3}-\frac{1}{2}\left[x\cdot e^{-2x}\right]_{0}^{3}-\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2} \cdot e^{-2x}\right]_{0}^{3})[/mm]
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> > > > Die Faktoren vor den letzten 2 eckigen Klammern stimmen
> > > > nicht.
> > > >
> > > >
> > > > Gruss
> > > > MathePower
> > >
> > > Kann es sein das der erste Faktor 1 ist und der andere 0.5?
> >
> >
> > Nein.
> >
> > Der erste Faktor ist [mm]-\bruch{3}{2}[/mm],
> > der zweite [mm]+\bruch{3}{2}[/mm].
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Hi,
> was muss denn da für ein Ergebnis herauskommen?
> Ich habe - [mm]\pi \cdot[/mm] 191 [mm]\ccdot e^{-6}[/mm] +3
[mm]\bruch{3-345e^{-6}}{4}[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Fr 20.06.2014 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo9686,
>
> > > Hallo Bodo0686,
> > >
> > > > > Hallo Bodo0686,
> > > > >
> > > > > > > Hallo Bodo0686,
> > > > > > >
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> > > > > > > > > Hallo Bodo0686,
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > Hallo Bodo0686,
> > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > Hallo Bodo!
> > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > > V= [mm]\pi \integral_{a}^{b}{f(x)^2}[/mm] dx = [mm]\pi \integral_{0}^{3}{(-x^2*e^{-x})^2 dx}[/mm]
> > > > > > > > > > > > > = [mm]\cdot \pi \integral_{0}^{3}{(x^4*e^{-2x}) dx}[/mm]
> > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > Nun also los mit dem munteren Integrieren.
> > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > Entweder viermalig partielle Integration.
> > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > Oder mittels Ansatz, dass eine Stammfunktion hiervon
> > > > > > > > > > > > > lautet: [mm]\left(A*x^4+B*x^3+C*x^2+D*x+E\right)*e^{-2x}[/mm]
> > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > Gruß vom
> > > > > > > > > > > > > Roadrunner
> > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > Hallo, ich habe nun heraus:
> > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > [mm]\pi (\frac{-289e^{-6}}{4}[/mm] + [mm]\frac{1}{4})[/mm]
> > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > das erscheint mir aber nicht richtig...
> > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > Das ist auch nicht richtig.
> > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > Poste dazu die bisherigen Rechenschritte.
> > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > Gruss
> > > > > > > > > > > MathePower
> > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > [mm]V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm]
> > > > > > > > > > + [mm]\integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
>
> >
> > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > =
> > > > > > > > [...]
> > > > > > > > >
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > Der Anfang ist schon mal richtig.
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > Die partielle Integration geht aber noch weiter.
> > > > > > > > >
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > Gruss
> > > > > > > > > MathePower
> > > > > > > >
> > > > > > > > [mm]V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm]
> > > > > > > > + [mm]\integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
> > > > > > > > = [mm]\pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm] -
> > > > > > > > [mm]\left[x^3 \cdot e^{-2x} \right]_{0}^{3}[/mm] +
> > > > > > > [mm]3\integral_{0}^{3}{x \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
> > > > > > > >
> > > > > > > > [...]
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > Das letzte Integral muss doch so lauten:
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]3\integral_{0}^{3}{x^{\red{2}} \cdot e^{-2x} dx}[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > Gruss
> > > > > > > MathePower
> > > > > >
> > > > > > [mm]V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm]
> > > > > > + [mm]\integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
> > > > > > = [mm]\pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm] -
> > > > > > [mm]\left[x^3 \cdot e^{-2x} \right]_{0}^{3}[/mm] - [mm]\frac{3}{2} \left[x^2 \cdot e^{-2x}\right]_{0}^{3}-\frac{1}{2}\left[x\cdot e^{-2x}\right]_{0}^{3}-\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2} \cdot e^{-2x}\right]_{0}^{3})[/mm]
> > > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Die Faktoren vor den letzten 2 eckigen Klammern stimmen
> > > > > nicht.
> > > > >
> > > > >
> > > > > Gruss
> > > > > MathePower
> > > >
> > > > Kann es sein das der erste Faktor 1 ist und der andere 0.5?
> > >
> > >
> > > Nein.
> > >
> > > Der erste Faktor ist [mm]-\bruch{3}{2}[/mm],
> > > der zweite [mm]+\bruch{3}{2}[/mm].
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
> > Hi,
> > was muss denn da für ein Ergebnis herauskommen?
> > Ich habe - [mm]\pi \cdot[/mm] 191 [mm]\ccdot e^{-6}[/mm] +3
>
>
> [mm]\bruch{3-345e^{-6}}{4}[/mm]
>
>
> Gruss
> MathePower
Ah ok, dann hab ichs... ich habe einmal vergessen [mm] 27e^{-6} [/mm] mit 4 zu multiplizieren... Aber du müsstest dein Ergebnis dann noch mit [mm] \pi [/mm] multiplizieren
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Hallo Bodo0686,
> > Hallo Bodo9686,
> >
> > > > Hallo Bodo0686,
> > > >
> > > > > > Hallo Bodo0686,
> > > > > >
> > > > > > > > Hallo Bodo0686,
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > > > > Hallo Bodo0686,
> > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > Hallo Bodo0686,
> > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > > Hallo Bodo!
> > > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > > > V= [mm]\pi \integral_{a}^{b}{f(x)^2}[/mm] dx = [mm]\pi \integral_{0}^{3}{(-x^2*e^{-x})^2 dx}[/mm]
> > > > > > > > > > > > > > = [mm]\cdot \pi \integral_{0}^{3}{(x^4*e^{-2x}) dx}[/mm]
> > > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > > Nun also los mit dem munteren Integrieren.
> > > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > > Entweder viermalig partielle Integration.
> > > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > > Oder mittels Ansatz, dass eine Stammfunktion hiervon
> > > > > > > > > > > > > > lautet: [mm]\left(A*x^4+B*x^3+C*x^2+D*x+E\right)*e^{-2x}[/mm]
> > > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > > Gruß vom
> > > > > > > > > > > > > > Roadrunner
> > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > Hallo, ich habe nun heraus:
> > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > [mm]\pi (\frac{-289e^{-6}}{4}[/mm] + [mm]\frac{1}{4})[/mm]
> > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > das erscheint mir aber nicht richtig...
> > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > Das ist auch nicht richtig.
> > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > Poste dazu die bisherigen Rechenschritte.
> > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > Gruss
> > > > > > > > > > > > MathePower
> > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > [mm]V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm]
> > > > > > > > > > > + [mm]\integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
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> > > > > > > > =
> > > > > > > > > [...]
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> > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > Der Anfang ist schon mal richtig.
> > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > Die partielle Integration geht aber noch weiter.
> > > > > > > > > >
> > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > Gruss
> > > > > > > > > > MathePower
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > [mm]V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm]
> > > > > > > > > + [mm]\integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
> > > > > > > > > = [mm]\pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm] -
> > > > > > > > > [mm]\left[x^3 \cdot e^{-2x} \right]_{0}^{3}[/mm] +
> > > > > > > > [mm]3\integral_{0}^{3}{x \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > [...]
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > > Das letzte Integral muss doch so lauten:
> > > > > > > >
> > > > > > > > [mm]3\integral_{0}^{3}{x^{\red{2}} \cdot e^{-2x} dx}[/mm]
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > > Gruss
> > > > > > > > MathePower
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]V=\pi \integral_{0}^{3}{x^4 \cdot e^{-2x} dx}= \pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm]
> > > > > > > + [mm]\integral_{0}^{3}{2x^3 \cdot e^{-2x} dx})[/mm]
> > > > > > > = [mm]\pi (\left[-\frac{1}{2} e^{-2x} x^4\right]_{0}^{3}[/mm] -
> > > > > > > [mm]\left[x^3 \cdot e^{-2x} \right]_{0}^{3}[/mm] - [mm]\frac{3}{2} \left[x^2 \cdot e^{-2x}\right]_{0}^{3}-\frac{1}{2}\left[x\cdot e^{-2x}\right]_{0}^{3}-\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2} \cdot e^{-2x}\right]_{0}^{3})[/mm]
> > > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Die Faktoren vor den letzten 2 eckigen Klammern stimmen
> > > > > > nicht.
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Gruss
> > > > > > MathePower
> > > > >
> > > > > Kann es sein das der erste Faktor 1 ist und der andere 0.5?
> > > >
> > > >
> > > > Nein.
> > > >
> > > > Der erste Faktor ist [mm]-\bruch{3}{2}[/mm],
> > > > der zweite [mm]+\bruch{3}{2}[/mm].
> > > >
> > > >
> > > > Gruss
> > > > MathePower
> > >
> > > Hi,
> > > was muss denn da für ein Ergebnis herauskommen?
> > > Ich habe - [mm]\pi \cdot[/mm] 191 [mm]\ccdot e^{-6}[/mm] +3
> >
> >
> > [mm]\bruch{3-345e^{-6}}{4}[/mm]
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Ah ok, dann hab ichs... ich habe einmal vergessen [mm]27e^{-6}[/mm]
> mit 4 zu multiplizieren... Aber du müsstest dein Ergebnis
> dann noch mit [mm]\pi[/mm] multiplizieren
Ok.
Gruss
MathePower
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Hallo Bodo!
> c) Bestimmen sie eine Stammfunktion für [mm]f_2[/mm] und bestimmen
> Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von [mm]f_2[/mm] im
> Intervall [-2;0] der x-Achse einschließt.
> [mm]\integral_{-2}^{0}{2x^2 \cdot e^{2x} dx}[/mm]
Wie lautet denn eine Stammfunktion? Was hast Du wie gerechnet?
Tipp: hier ist zweimalig die partielle Integration anzuwenden.
> = [mm]-6\cdot e^{-4}+1[/mm]
Das Ergebnis stimmt jedenfalls nicht.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Fr 20.06.2014 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo!
>
>
> > c) Bestimmen sie eine Stammfunktion für [mm]f_2[/mm] und bestimmen
> > Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von [mm]f_2[/mm] im
> > Intervall [-2;0] der x-Achse einschließt.
>
> > [mm]\integral_{-2}^{0}{2x^2 \cdot e^{2x} dx}[/mm]
>
> Wie lautet denn eine Stammfunktion? Was hast Du wie
> gerechnet?
>
> Tipp: hier ist zweimalig die partielle Integration
> anzuwenden.
>
>
> > = [mm]-6\cdot e^{-4}+1[/mm]
>
> Das Ergebnis stimmt jedenfalls nicht.
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
Hallo,
ich habe:
[mm] \integral_{-2}^{0}{2x^2 \cdot e^{2x} dx} [/mm] = [mm] [2x^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot e^{2x}] [/mm] - [mm] 2\integral_{-2}^{0}{x \cdot e^{2x} dx} [/mm]
= [mm] [x^2 \cdot \cdot e^{2x}] [/mm] - [mm] 2[(\frac{x}{2} \cdot e^{2x})- \frac{1}{2}\integral_{-2}^{0}{ \cdot e^{2x} dx}]
[/mm]
= [mm] -6,5e^{-4} [/mm] + 0,5 stimmts?
Sorry, ich weiß nicht, wie man die Grenzen in dieser Darstellung schreibt [...] <- hier sollten jetzt die Grenzen a b auftauchen...
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Hallo Bodo0686,
> > Hallo Bodo!
> >
> >
> > > c) Bestimmen sie eine Stammfunktion für [mm]f_2[/mm] und bestimmen
> > > Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von [mm]f_2[/mm] im
> > > Intervall [-2;0] der x-Achse einschließt.
> >
> > > [mm]\integral_{-2}^{0}{2x^2 \cdot e^{2x} dx}[/mm]
> >
> > Wie lautet denn eine Stammfunktion? Was hast Du wie
> > gerechnet?
> >
> > Tipp: hier ist zweimalig die partielle Integration
> > anzuwenden.
> >
> >
> > > = [mm]-6\cdot e^{-4}+1[/mm]
> >
> > Das Ergebnis stimmt jedenfalls nicht.
> >
> >
> > Gruß vom
> > Roadrunner
>
> Hallo,
> ich habe:
>
> [mm]\integral_{-2}^{0}{2x^2 \cdot e^{2x} dx}[/mm] = [mm][2x^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot e^{2x}][/mm]
> - [mm]2\integral_{-2}^{0}{x \cdot e^{2x} dx}[/mm]
> = [mm][x^2 \cdot \cdot e^{2x}][/mm] - [mm]2[(\frac{x}{2} \cdot e^{2x})- \frac{1}{2}\integral_{-2}^{0}{ \cdot e^{2x} dx}][/mm]
>
> = [mm]-6,5e^{-4}[/mm] + 0,5 stimmts?
>
Ja.
> Sorry, ich weiß nicht, wie man die Grenzen in dieser
> Darstellung schreibt [...] <- hier sollten jetzt die
> Grenzen a b auftauchen...
Im Formeleditor wird das z.B. so geschrieben:
\left[...\right]_{a}^{b}
Das ergibt:
[mm]\left[...\right]_{a}^{b}[/mm]
Gruss
MathePower
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Hallo Bodo!
> d) Welche Funktion der Schar hat bei x=1 einen Extremwert
> e) Weclhe Funktionen der Schar haben bei x=1 einen
> Wendepunkt?
> Könnt ihr mir hier behilflich sein? Muss ich dann bei d)
> Die erste Ableitung = 1 setzen und dann nach x Auflösen?
Du hast doch oben die x-Werte der Extrema bzw. der Wendepunkte bestimmt.
Zum Beispiel gilt für eines der Extrema: [mm] $x_E [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{2}{k}$ [/mm] .
Bei d.) gilt es also zu lösen: [mm] $-\bruch{2}{k} [/mm] \ = \ 1$ .
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Do 19.06.2014 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo!
>
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> > d) Welche Funktion der Schar hat bei x=1 einen Extremwert
> > e) Weclhe Funktionen der Schar haben bei x=1 einen
> > Wendepunkt?
>
> > Könnt ihr mir hier behilflich sein? Muss ich dann bei d)
> > Die erste Ableitung = 1 setzen und dann nach x Auflösen?
>
> Du hast doch oben die x-Werte der Extrema bzw. der
> Wendepunkte bestimmt.
>
> Zum Beispiel gilt für eines der Extrema: [mm]x_E \ = \ -\bruch{2}{k}[/mm]
> .
>
> Bei d.) gilt es also zu lösen: [mm]-\bruch{2}{k} \ = \ 1[/mm] .
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
[mm] -\bruch{2}{k} [/mm] = [mm] 1\gdw [/mm] -2=k
Also -2 eingesetzt: [mm] f_{-2}(x)=-2*x^2*e^{-2x}
[/mm]
Richtig?
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Hallo Bodo!
> [mm]-\bruch{2}{k}[/mm] = [mm]1\gdw[/mm] -2=k
>
> Also -2 eingesetzt: [mm]f_{-2}(x)=-2*x^2*e^{-2x}[/mm]
>
> Richtig?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Do 19.06.2014 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo!
>
>
> > [mm]-\bruch{2}{k}[/mm] = [mm]1\gdw[/mm] -2=k
> >
> > Also -2 eingesetzt: [mm]f_{-2}(x)=-2*x^2*e^{-2x}[/mm]
> >
> > Richtig?
>
>
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
Dann hätte ich ja für e)
[mm] \frac{2+\wurzel{2}}{k}=1 \rightarrow 2+\wurzel{2}=k
[/mm]
[mm] f_{2+\wurzel{2}}(x)=({2+\wurzel{2}})\cdot x^2 \cdot e^{(2+\wurzel{2})\cdot x}
[/mm]
Muss ich dass jetzt auch noch für die anderen Extrema bzw. Wendestellen machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:07 Fr 20.06.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Muss ich dass jetzt auch noch für die anderen Extrema bzw.
> Wendestellen machen?
Ja.
Marius
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![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
Wie kommst Du auf die 6 unter der Wurzel?
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
