Kurvendiskussion einer e-funkt < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Mo 06.12.2004 | | Autor: | ziska |
hallo!
saß jetzt bereits 1 stunde an der kurvendiskussion und hab auch schon einige fehler gefunden und berichtigt. ich komm jetzt nur nicht mit dem verhalten von x-> [mm] \pm \infty [/mm] zurecht.
und mit der nullstellenberechunng.
folgende funktion ist gegeben:
f(x)= x* [mm] e^{-2x} [/mm] +2
als erstes muss man ja f(x) =0 setzen. das ist mir soweit klar und ich hab auch sonst keine probleme damit. nun weiß ich nicht, welche umformung ich machen muss, um an x dranzukommen...mit den bisherigen vorgehensweisen komm ich hierbei net weiter.... und einfach die 2 auf die andre seite zu holen, macht meiner meinung keinen sinn.
bei dem verhalten für betragsgroße x-werte, hab ich zwar was raus, aber dat stimmt nach meinem graphen zu urteilen nicht....
man darf ja nicht [mm] +\infty [/mm] / [mm] +\infty [/mm] rechnen, weil ja alles´dabei sein kann.
nun hatten wir vor kurzem die regel von de l´Hospital (oder so), nach der man dann die ableitungen benutzt. dies hab ich dann gemacht, wobei ich jetzt nicht wusste, wie man das dann mit der 2 handhabt. gerade die fehlt mir nämlich, um den richtigen grenzwert rauszubekommen....
beim verhalten für x -> [mm] -\infty [/mm] hab ich total was falsches raus.
meine rechung:
f(x)= lim [ [mm] x*e^{-2x} [/mm] +2]
(nach de l´hospital) = lim [mm] \bruch{1}{2e^{-2x}} [/mm] = 0+
wo liegt mein fehler?
LG,
ziska
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Loddar |
N'Abend ziska !!!
$f(x)= x * [mm] e^{-2x} [/mm] +2$
Bei dieser Aufgaben muß man aus das Produkt in einen Bruch umwandeln für die Grenzwertberechnung:
[mm] $\limes_{x\rightarrow+\infty} [/mm] (x * [mm] e^{-2x} [/mm] + 2)$
$= [mm] \limes_{x\rightarrow+\infty} (\bruch{x}{e^{2x}} [/mm] + 2)$
Die "2" darf ich als Konstante vor das Limeszeichen ziehen:
$= 2 + [mm] \limes_{x\rightarrow+\infty} \bruch{x}{e^{2x}}$
[/mm]
Für den Grenzwert [mm] $n\rightarrow+\infty$ [/mm] erhalten wir den Ausdruck [mm] $\bruch{\infty}{\infty}$. [/mm] Ich darf also die Regel von de l'Hospital anwenden.
(Der andere Fall für de l'Hospital ist der Ausdruck [mm] $\bruch{0}{0}$).
[/mm]
Wir erhalten also mit der Regel nach de l'Hospital:
$= 2 + [mm] \limes_{x\rightarrow+\infty} \bruch{(x)'}{(e^{2x})'}$
[/mm]
$= 2 + [mm] \limes_{x\rightarrow+\infty} \bruch{1}{2*e^{2x}}$
[/mm]
Dieser Ausdruck ergibt nun [mm] $\bruch{1}{\infty} [/mm] = 0$
Für unseren Gesamtgrenzwert bedeutet das:
[mm] $\limes_{x\rightarrow+\infty} [/mm] (x * [mm] e^{-2x} [/mm] + 2) = 2 + 0 = 2$
Grenzwert für [mm] $x\rightarrow-\infty$:
[/mm]
$= [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} (\bruch{x}{e^{2x}} [/mm] + 2)$
$= 2 + [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{x}{e^{2x}}$
[/mm]
Hier entsteht der Ausdruck [mm] $\bruch{-\infty}{0}$. [/mm] Für diesen ausdruck darf ich die Regel nach de l'Hospital nicht anwenden.
Hier werden sehr große negative Zahlen durch sehr kleine (positive) Zahlen geteilt. Der Grenzwert lautet:
[mm] $\limes_{x\rightarrow-\infty} [/mm] (x * [mm] e^{-2x} [/mm] + 2) = 2 - [mm] \infty [/mm] = [mm] -\infty$
[/mm]
Alle Klarheiten beseitigt ?? 
Grüße Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ziska,
habe mir auch noch über die Nullstellenbestimmung Gedanken gemacht:
[mm] $f(x_N) [/mm] = x * [mm] e^{-2x} [/mm] + 2 = 0$
Für x kann ich auch schreiben: $x = [mm] e^{ln(x)}$.
[/mm]
[mm] $e^{ln(x)} [/mm] * [mm] e^{-2x} [/mm] + 2 = 0$
Potenzgesetz [mm] $a^m [/mm] * [mm] a^n [/mm] = [mm] a^{m+n}$ [/mm] anwenden sowie die "2" nach rechts bringen":
[mm] $e^{ln(x) - 2x} [/mm] = -2$
Da die e-Funktion nur positive Funktionswerte erzeugt [mm] ($e^z [/mm] > 0$ für alle $z [mm] \in \IR$), [/mm] ist klar, daß keine Nullstellen existieren.
Manno-Mann. Da hat aber jemand mal wieder nur von 12 bis mittags gedacht ...
Aufgrund des berechtigten Hinweises:
Es existiert (genau) eine Nullstelle.
Leider ist mir kein Weg eingefallen, diese Nullstelle explizit bestimmen zu können.
Da bleibt also nur noch ein Näherungsverfahren wie das vom Herrn NEWTON:
[mm] $x_{n+1} [/mm] = [mm] x_n [/mm] - [mm] \bruch{f(x_n)}{f'(x_n)}$
[/mm]
Damit erhalte ziemlich bald:
[mm] $x_N [/mm] = 0,60108...$
Sorry für den Faux-Pas ...
LG Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 Mo 06.12.2004 | | Autor: | e.kandrai |
Da bin ich mir nicht ganz sicher, dass es keine Nullstellen gibt.
Die Umformung [mm]x=e^{ln(x)}[/mm] gilt doch nur für positive x, oder?
Und du hast doch selber ausgerechnet: [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty[/mm] und [mm]\limes_{2\rightarrow\infty}f(x)=2[/mm].
Und da die Funktion doch auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig ist, muss nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle existieren.
Genauer müsste sie zwischen -1 und 0 sein, denn es gilt:
[mm]f(-1)=-1 \cdot e^2 + 2 = -e^2+2 < 0[/mm], und [mm]f(0)=0*e^0+2 > 0[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:33 Mi 08.12.2004 | | Autor: | ziska |
danke für eure hilfe. hab dann gestern festgestellt, dass ich die falsche aufgabe gemacht habe, aber was solls?!? hab ich die halt zum üben gemacht, is ja net schlimm.... aber das mit der nullstelle is echt blöd, ich glaub, ich frag da mal nach.... kann ja nix schaden.
auf jeden fall nochmal danke für eure bemühungen!!!!
LG,
ziska
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