Kurvendiskussion Übungsaufgabe < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Di 26.04.2005 | | Autor: | mela |
Hallo mathematiker :)
ich habe aus der mathebank mal eine übungsfunktion bearbeitet und nun würde mich die richtigkeit meiner lösungen interessieren.
also. hier die funktion:
[mm] {f(x)} = \bruch{x^3}{x^2 - 1} [/mm]
zuerst einmal die Definitionsmenge: x [mm] \in \IR [/mm] wobei jedoch x [mm] \not= \pm [/mm] 1
Polstellen liegen bei x = 1 und x= -1 , da für diese werte der nenner = 0 werden würde.
Asymptoten liegen ebenfalls bei x = [mm] \pm [/mm] 1 , wobei ich das erst durchs zeichnen mit funky plot erfahren habe. könnte mir irgendwer sagen, wie ich an die asymptoten rechnerisch ran komme? vielleicht auch in allgemeiner form?
weiter:
Nullstelle liegt bei x = 0, wobei mir Funky Plot auch welche bei [mm] \pm [/mm] 0.03 ausgespuckt hat. wieso bin ich da nicht dran gekommen.
meine rechnung lautet:
[mm] \bruch{x^3}{x^2 - 1} = 0[/mm]
[mm] x^3 = 0[/mm] [mm] \wurzel[3]{x , 0}
[/mm]
[mm] x = \pm 0[/mm]
da kann man sich doch eigentlich nich verrechnen, oder?
oki, erstmal der nächste schrit.
Wendepunkte:
[mm] f'' (x) = 0[/mm]
für die erste ableitung habe ich folgendes ergebnis:
[mm]f' (x) = \bruch{x^4 - 3x^2}{(x^2 - 1)^2}[/mm]
richtig?
für die zweite ableitung:
[mm]f''(x) = \bruch{2x^5 + 4x^3 -6x}{(x^2 - 1^4)}[/mm]
richtig?
also rechne ich für die wendestellen:
[mm] \bruch{2x^5 + 4x^3 -6x}{(x^2 - 1^4)} = 0[/mm]
[mm] 2x^5 + 4x^3 -6x = 0[/mm]
das ganze kürze ich um ein x und erhalte:
[mm] 2x^4 + 4x^2 -6 = 0[/mm]
jetzt habe ich [mm] x^2 [/mm] durch z ersetzt (fragt mich nich nach dem fachbegriff dafür *g*)
[mm] 2z^2 + 4z -6 = 0[/mm]
darauf durch 2 geteilt
[mm] z^2 + 2z -3 = 0[/mm]
und die pq-formel angewendet
[mm] z_{1,2} =-\bruch{2}{2} \pm \wurzel{(\bruch{2}{2})^2 +3} [/mm]
[mm] z_{1,2} =(-1) \pm \wurzel{4} [/mm]
[mm] z_{1} = (-1) + 2 \wedge z_{2} = (-1) -2 [/mm]
[mm] z_{1} = 1 \wedge z_{2} = (-3) [/mm]
da das z nur ein ersatz für [mm] x^2 [/mm] war, muss ich nun noch aus den ergebnissen die wurzel ziehen und erhalte
[mm] x_{1} = 1 \wedge x_{2} = \wurzel{-3} [/mm]
da ich aber aus einer negativen zahl keine wurzel ziehen kann, liegen meine wendestellen bei [mm] \pm [/mm] 1.
mit funky plot stimmt das allerdings irgendwie nicht ganz überein. was habe ich also falsch gemacht?
als letztes, extrema:
[mm] f' (x) =\bruch{x^4 - 3x^2}{(x^2 - 1)^2} = 0 [/mm]
[mm] x^4 - 3x^2 = 0 [/mm]
[mm] x^2 = 3 [/mm] [mm] \wurzel
[/mm]
[mm] x = \pm \wurzel{3}[/mm]
wobei bei
[mm] x = - \wurzel{3}[/mm]
das minimum liegt und bei
[mm] x = + \wurzel{3}[/mm] das maximum.
ich hoffe ich habe alles was man für eine untersuchung braucht und ich hoffe auch ich habe den großteil richtig. würd mich über kritik und hilfen (vor allem zu asymptoten ;) ) freuen.
merci schonmal,
mela
ich habe die frage noch in keinem anderen forum gestellt.
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Hi, mela,
>
> [mm]{f(x)} = \bruch{x^3}{x^2 - 1}[/mm]
>
> zuerst einmal die Definitionsmenge: x [mm]\in \IR[/mm] wobei
> jedoch x [mm]\not= \pm[/mm] 1
>
> Polstellen liegen bei x = 1 und x= -1 , da für diese werte
> der nenner = 0 werden würde.
Und da es keine Zähler-NS sind!
(Vorsicht mit stetig behebb. DL!)
> Asymptoten liegen ebenfalls bei x = [mm]\pm[/mm] 1 , wobei ich das
> erst durchs zeichnen mit funky plot erfahren habe. könnte
> mir irgendwer sagen, wie ich an die asymptoten rechnerisch
> ran komme? vielleicht auch in allgemeiner form?
Polstellen der Funktion sind automatisch senkrechte Asymptoten des Graphen.
Sonstige Asymptoten findest Du durch Grenzwertrechnung (waagrechte) oder Polynomdivision (schiefe As.).
Hier ist Letzteres notwendig (da Zählergrad größer Nennergrad!).
Polynomdivision ergibt also die schiefe Asymptote y = x:
[mm] x^{3} [/mm] : [mm] (x^{2}-1) [/mm] = x + [mm] \bruch{x}{x^{2}-1}
[/mm]
>
> weiter:
> Nullstelle liegt bei x = 0, wobei mir Funky Plot auch
> welche bei [mm]\pm[/mm] 0.03 ausgespuckt hat. wieso bin ich da
> nicht dran gekommen.
> meine rechnung lautet:
>
> [mm]\bruch{x^3}{x^2 - 1} = 0[/mm]
>
> [mm]x^3 = 0[/mm] [mm]\wurzel[3]{x , 0}[/mm]
>
> [mm]x = \pm 0[/mm]
>
> da kann man sich doch eigentlich nich verrechnen, oder?
>
Stimmt! Und: die Nullstelle ist 3-fach; d.h.: dort liegt ein Terrassenpunkt vor.
(Dass dein "Funky-Plot" noch 2 weitere NS ausgespuckt hat, die's natürlich nicht gibt! - zeigt Dir vor allem: Glaub' diesem Programm nicht alles! Zum Glück ist der Mensch immer noch schlauer als der Computer!)
> Wendepunkte:
>
> [mm]f'' (x) = 0[/mm]
>
> für die erste ableitung habe ich folgendes ergebnis:
>
> [mm]f' (x) = \bruch{x^4 - 3x^2}{(x^2 - 1)^2}[/mm]
>
> richtig?
>
Ja!
> für die zweite ableitung:
>
> [mm]f''(x) = \bruch{2x^5 + 4x^3 -6x}{(x^2 - 1^4)}[/mm]
>
> richtig?
Mein Gott! Das musst Du doch KÜRZEN, bevor Du den Zähler ausmultiplizierst:
f''(x) = [mm] \bruch{(4x^{3}-6x)*(x^{2}-1)^{2} - (x^{4}-3x^{2})*2(x^{2}-1)*2x}{(x^{2}-1)^{4}}
[/mm]
= [mm] \bruch{(4x^{3}-6x)*(x^{2}-1) - (x^{4}-3x^{2})*2*2x}{(x^{2}-1)^{3}}
[/mm]
= [mm] \bruch{2x^{3}+6x}{(x^{2}-1)^{3}}
[/mm]
>
> also rechne ich für die wendestellen:
>
> [mm]\bruch{2x^5 + 4x^3 -6x}{(x^2 - 1^4)} = 0[/mm]
>
> [mm]2x^5 + 4x^3 -6x = 0[/mm]
>
> das ganze kürze ich um ein x und erhalte:
Gar nichts mehr, denn Du hast Deine einzige Lösung (x=0) weggekürzt!
11. Gebot der Mathematik: DU SOLLST NICHT DURCH 0 DIVIDIEREN!!!
> [mm]2x^4 + 4x^2 -6 = 0[/mm]
>
> jetzt habe ich [mm]x^2[/mm] durch z ersetzt (fragt mich nich nach
> dem fachbegriff dafür *g*)
Der wäre: Substitution. (Aber nochmals: Alles umsonst!)
>
> [mm]2z^2 + 4z -6 = 0[/mm]
>
> darauf durch 2 geteilt
>
> [mm]z^2 + 2z -3 = 0[/mm]
>
> und die pq-formel angewendet
>
> [mm]z_{1,2} =-\bruch{2}{2} \pm \wurzel{(\bruch{2}{2})^2 +3}[/mm]
>
> [mm]z_{1,2} =(-1) \pm \wurzel{4}[/mm]
>
> [mm]z_{1} = (-1) + 2 \wedge z_{2} = (-1) -2[/mm]
>
> [mm]z_{1} = 1 \wedge z_{2} = (-3)[/mm]
>
> da das z nur ein ersatz für [mm]x^2[/mm] war, muss ich nun noch aus
> den ergebnissen die wurzel ziehen und erhalte
>
> [mm]x_{1} = 1 \wedge x_{2} = \wurzel{-3}[/mm]
Wegen [mm] z=x^{2} [/mm] gibt es hier theoretisch 4 Lösungen; in unserem Fall aber gar keine, da:
[mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \pm1 [/mm] nicht in der Definitionsmenge liegt (siehe oben!)
und
die Wurzel aus einer negativen Zahl (-3) im Reellen nicht existiert!
> da ich aber aus einer negativen zahl keine wurzel ziehen kann,
EBEN!
> liegen meine wendestellen bei [mm]\pm[/mm] 1.
FEHLSCHLUSS, da nicht in D! (siehe meine Bemerkung oben!)
> als letztes, extrema:
>
> [mm]f' (x) =\bruch{x^4 - 3x^2}{(x^2 - 1)^2} = 0[/mm]
>
> [mm]x^4 - 3x^2 = 0[/mm]
Wie oben: Nicht so einfach durch x-Potenzen kürzen:
Bei x=0 liegt sehr wohl eine Stelle mit waagrechter Tangente vor; zufälliger (!) Weise kein Extrempunkt, da Wendepunkt; hier damit sogar Terrassenpunkt: Terr(0;0)
> [mm]x^2 = 3[/mm] [mm]\wurzel[/mm]
>
> [mm]x = \pm \wurzel{3}[/mm]
>
> wobei bei
> [mm]x = - \wurzel{3}[/mm]
> das minimum liegt und bei
> [mm]x = + \wurzel{3}[/mm] das maximum.
Wie begründest Du das?!
Es ist nämlich genau falsch herum!
Bei x= [mm] -\wurzel{3} [/mm] liegt das relative Maximum,
bei x= [mm] +\wurzel{3} [/mm] das relative Minimum.
> und ich hoffe auch ich habe den großteil richtig.
Naja: Da sieht's aber eher nicht so gut aus!
Mach'lieber noch ein Beispiel!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Di 26.04.2005 | | Autor: | mela |
*buhuhu* an die blöde definitionsmenge hab ich gar nich mehr gedacht *hoil* alles mist.
und ich habe die zweite ableitung nich mit innere mal äußere (für v') im zähler berechnet, sondern ich habe vorher v ausgerechnet und dann in den zähler eingesetzt. also binomische formel angewendet und das ergebnis im zähler. und unten das als hoch 4 stehen lassen. aber du hast recht, ich hätte trotzdem kürzen können, habs nur übersehen. nächstes mal mehr drauf achten *merk*
aber eine frage, was ist ein terassenpunkt? das kenn ich gar nicht?! ist das sowas wie nen sattelpunkt? *grübeltz*
das bei polstellen der zähler [mm] \not= [/mm] 0 sein muss weiß ich, muss ich das denn in ner klausur immer dazu schreiben?
> > $ [mm] \bruch{2x^5 + 4x^3 -6x}{(x^2 - 1^4)} [/mm] = 0 $
> >
> >$ [mm] 2x^5 [/mm] + [mm] 4x^3 [/mm] -6x = 0 $
> >
> >das ganze kürze ich um ein x und erhalte:
>Gar nichts mehr, denn Du hast Deine einzige Lösung (x=0) weggekürzt!
entschuldige bitte, aber wir haben das immer so geregelt, dass der zähler = 0 mit der passenden ableitung das ergibt was wir suchen.
und was meinst du mit meiner einzigen lösung? verstehe ich nich ganz...
und ich weiß das ich in analysis nich so die leuchte bin, aber ich hoffe einfach das die abiklausr halb lineare algebra und halb analysis wird, denn durch algebra kann ich mich wieder retten :)
lg, mela
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Hallo Mela!
> *buhuhu* an die blöde definitionsmenge hab ich gar nich
> mehr gedacht *hoil* alles mist.
Ruhig bleiben. Dafür kontrollieren wir das ja ...
> und ich habe die zweite ableitung nich mit innere mal
> äußere (für v') im zähler berechnet, sondern ich habe
> vorher v ausgerechnet und dann in den zähler eingesetzt.
> also binomische formel angewendet und das ergebnis im
> zähler. und unten das als hoch 4 stehen lassen. aber du
> hast recht, ich hätte trotzdem kürzen können, habs nur
> übersehen. nächstes mal mehr drauf achten *merk*
Das mit dem Ausmultiplizieren solltest Du Dir wieder ganz schnell abgewöhnen. Da sind zusätzliche Fehlerquellen versteckt, und Du machst die Ableitungen komplizierter als nötig!
Zwerglein hat Dir die 2. Ableitung ja mal vorgerechnet (einschl. kürzen).
> aber eine frage, was ist ein terassenpunkt? das kenn ich
> gar nicht?! ist das sowas wie nen sattelpunkt? *grübeltz*
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Sattelpunkt = Terrassenpunkt
> das bei polstellen der zähler [mm]\not=[/mm] 0 sein muss weiß ich,
> muss ich das denn in ner klausur immer dazu schreiben?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das solltest Du tun, schließlich handelt es sich sonst nicht um eine Polstelle.
Polstelle: Nenner = 0 und Zähler [mm] $\not=$ [/mm] 0
Nullstelle: Nenner [mm] $\not=$ [/mm] 0 und Zähler = 0
behebbare Definitionslücke: Nenner = 0 und Zähler = 0
> entschuldige bitte, aber wir haben das immer so geregelt,
> dass der zähler = 0 mit der passenden ableitung das ergibt
> was wir suchen.
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Das gilt aber nur in der gekürzten Version!
> und was meinst du mit meiner einzigen lösung? verstehe ich
> nich ganz...
Als mögliche Wendestelle gibt es nur eine einzige Lösung: [mm] $x_W [/mm] \ = \ 0$ !!
> und ich weiß das ich in analysis nich so die leuchte bin,
> aber ich hoffe einfach das die abiklausr halb lineare
> algebra und halb analysis wird, denn durch algebra kann ich
> mich wieder retten
Kopf hoch - mit etwas Übung wird das schon ...
Grüße vom
Roadrunner
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Hallo Mela!
Hier noch einige ergänzende Anmerkungen zusätzlich zu Zwerglein's Antwort.
> [mm]{f(x)} = \bruch{x^3}{x^2 - 1}[/mm]
>
> meine rechnung lautet:
>
> [mm]\bruch{x^3}{x^2 - 1} = 0[/mm]
>
> [mm]x^3 = 0[/mm] [mm]\wurzel[3]{x , 0}[/mm]
>
> [mm]x = \pm 0[/mm]
>
> da kann man sich doch eigentlich nich verrechnen, oder?
Naja, fast ...
Bitte beachten: bei ungeraden Wurzeln (hier [mm] $\wurzel[3]{ \ }$) [/mm] entsteht nie ein " [mm] $\pm$ [/mm] "!
Hier erhältst Du immer das Vorzeichen des Radikanden (= die Zahl, aus der die Wurzel gezogen wird)!
> [mm]2x^5 + 4x^3 -6x = 0[/mm]
>
> das ganze kürze ich um ein x und erhalte:
Das Verfahren, das Du meinst heißt: [mm] $\text{x}$ [/mm] ausklammern, um den Ausdruck zu faktorisieren.
Dann kannst Du nämlich sagen: entweder gilt $x \ = \ 0$ oder der Rest [mm] $2x^4+4x^2-6 [/mm] \ = \ 0$
Ansonsten gehen Dir - wie bereits von Zwerglein angemahnt - Lösungen verloren. Und das wäre doch schade ...
> als letztes, extrema:
>
> [mm]f' (x) =\bruch{x^4 - 3x^2}{(x^2 - 1)^2} = 0[/mm]
>
> [mm]x^4 - 3x^2 = 0[/mm]
Auch hier wieder: Ausklammern von [mm] $x^2$ [/mm] usw.
> wobei bei
> [mm]x = - \wurzel{3}[/mm]
> das minimum liegt und bei
> [mm]x = + \wurzel{3}[/mm] das maximum.
Hier solltest Du diese Ergebnisse in die 2. Ableitung (bitte die gekürzte Variante!) einsetzen und untersuchen, ob:
[mm] $f''(x_E) [/mm] \ > \ 0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Minimum
[mm] $f''(x_E) [/mm] \ < \ 0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Maximum
Noch ein Hinweis/Tipp zu Ableitungen bei gebrochen-rationalen Funktionen:
Spätestens bei der 2. Ableitung kannst Du in der Regel einen Term kürzen, darauf solltest Du immer achten, um Dir unnötige Arbeit (und damit auch Fehlerquellen) zu vermeiden.
Grüße vom
Roadrunner
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Di 26.04.2005 | | Autor: | mela |
oki. soweit alles verstanden.
aber ich habe mir jetzt überlegt, dass ich ein integral von der kurve bestimmen möchte. und zwar das, was vom graphen der funktion f(X) und einer geraden y=5 eingeschlossen wird.
[Dateianhang nicht öffentlich]
wie muss ich das denn nun berechnen? sollte ich erst die schnittpunkt von graph und gerade bestimmen? aber wie? denn ich muss ja anfangs und endpunkte des integrals haben. leider sind die hier glaub ich ziemlich krumm...
und wies dann weiter geht weiß ich auch nicht. intgerale mit gebrochen rationalen funktionen kann ich nich berechnen. ich weiß das man immer einen lösungsansatz mit angeben soll, aber mir fällt einfach im mom nix ein. wäre schön wenn mir das jemand, der gewillt ist, vorrechnen könnte.
merci im voraus, mela
ps: roadrunner sagt meep meep und nich beep beep ;)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 Di 26.04.2005 | | Autor: | mela |
dann hast du gewonnen :) hab ich mein leben lang falsch gelegen ;)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Di 26.04.2005 | | Autor: | mela |
hey runner (und natürlich andere leser)
das problem ist ja gerade, dass ich (fast) nix kann.
> Zunächst einmal mußt Du eine  Polynomdivision
> durchführen, da der Zählergrad größer ist als der
> Nennergrad (sieh' mal in Zwerglein's Antwort, da hast Du
> das Ergebnis).
ja oki, das iss mir mehr oder minder klar...
> Anschließend mußt Du die Nullstellen des Nenners vom
> Restglied bestimmen, die kennen wir wir ja auch schon (=
> Polstellen).
restglied? häh?
> Damit läßt sich unsere Funktion wie folgt darstellen:
>
> [mm]\bruch{x^3}{x^2-1} \ = \ x + \bruch{x}{x^2-1} \ = \ x + \bruch{x}{(x+1)*(x-1)}[/mm]
>
> Nun müssen wir eine Partialbruchzerlegung vornehmen, um
> daraus einzelne Brüche zu erhalten. Dafür verwenden wir das
> Verfahren des Koeeffizientenvergleichs:
partialbruchzerwas???
>
> [mm]\bruch{x}{(x+1)*(x-1)} \ = \ \bruch{1*x+0}{(x+1)*(x-1)} \ = \ \bruch{A}{x+1} + \bruch{B}{x-1}[/mm]
>
> Falsche Vorzeichen im Nenner korrigiert. Sorry!
>
>
> Kannst Du die beiden Koeffizienten [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] ermitteln?
ich tippe einfach auf A = x und B = 0
aber da ich mich selbst als hoffnungslos einstufe, was analysis angeht, tippe ich genauso darauf, dass ich es nich weiß :(
> In der neuen Darstellung kann man nun auch die
> Stammfunktion ermitteln.
>
>
> Für Deine genannte Problematik mußt Du die Stammfunktion
> ermitteln für:
>
> [mm]A \ = \ \integral_{x_{S1}}^{x_{S2}} {g(x) - f(x) \ dx} \ = \ \integral_{x_{S1}}^{x_{S2}} {5 - \bruch{x^3}{x^2-1} \ dx} \ = \ ...[/mm]
>
>
> Kommst Du nun "etwas" weiter? Sonst versuch' mal soweit,
> wie es klappt, und dann meldest Du Dich nochmal!
*meld* ich weiß nicht einmal wie man eine stammfunktion ermittelt....und wie ich das hinterher mit den ganzen brüchen ausrechne. ich muss ja irgendwas potenzieren und normalerweise bei einer ganzrationalen funktion einen bruch schreiben und die gleich potenz in nenner setzen, irgendwie sowas dämmert mir da....aber wie soll das mit brüchen gehen? bitte lach mich nich aus, ich weiß, dass es armseelig iss :(
danke für die geduld, mela
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Hallo.
> hey runner (und natürlich andere leser)
> das problem ist ja gerade, dass ich (fast) nix kann.
>
> > Zunächst einmal mußt Du eine Polynomdivision
> > durchführen, da der Zählergrad größer ist als der
> > Nennergrad (sieh' mal in Zwerglein's Antwort, da hast Du
> > das Ergebnis).
>
> ja oki, das iss mir mehr oder minder klar...
>
> > Anschließend mußt Du die Nullstellen des Nenners vom
> > Restglied bestimmen, die kennen wir wir ja auch schon (=
> > Polstellen).
>
> restglied? häh?
>
> > Damit läßt sich unsere Funktion wie folgt darstellen:
> >
> > [mm]\bruch{x^3}{x^2-1} \ = \ x + \bruch{x}{x^2-1} \ = \ x + \bruch{x}{(x+1)*(x-1)}[/mm]
>
> >
> > Nun müssen wir eine Partialbruchzerlegung vornehmen, um
> > daraus einzelne Brüche zu erhalten. Dafür verwenden wir das
> > Verfahren des Koeeffizientenvergleichs:
>
> partialbruchzerwas???
> >
> > [mm]\bruch{x}{(x+1)*(x-1)} \ = \ \bruch{1*x+0}{(x+1)*(x-1)} \ = \ \bruch{A}{x+1} + \bruch{B}{x-1}[/mm]
>
> >
> > Falsche Vorzeichen im Nenner korrigiert. Sorry!
> >
> >
> > Kannst Du die beiden Koeffizienten [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] ermitteln?
>
> ich tippe einfach auf A = x und B = 0
>
> aber da ich mich selbst als hoffnungslos einstufe, was
> analysis angeht, tippe ich genauso darauf, dass ich es nich
> weiß :(
>
> > In der neuen Darstellung kann man nun auch die
> > Stammfunktion ermitteln.
> >
> >
> > Für Deine genannte Problematik mußt Du die Stammfunktion
> > ermitteln für:
> >
> > [mm]A \ = \ \integral_{x_{S1}}^{x_{S2}} {g(x) - f(x) \ dx} \ = \ \integral_{x_{S1}}^{x_{S2}} {5 - \bruch{x^3}{x^2-1} \ dx} \ = \ ...[/mm]
>
> >
> >
> > Kommst Du nun "etwas" weiter? Sonst versuch' mal soweit,
> > wie es klappt, und dann meldest Du Dich nochmal!
>
> *meld* ich weiß nicht einmal wie man eine stammfunktion
> ermittelt....und wie ich das hinterher mit den ganzen
> brüchen ausrechne. ich muss ja irgendwas potenzieren und
> normalerweise bei einer ganzrationalen funktion einen bruch
> schreiben und die gleich potenz in nenner setzen, irgendwie
> sowas dämmert mir da....aber wie soll das mit brüchen
> gehen? bitte lach mich nich aus, ich weiß, dass es
> armseelig iss :(
>
> danke für die geduld, mela
Erstmal zur Partialbruchzerlegung. Also A=x und B=0 ist eine relativ schlechte Wahl, wie sich gleich herausstellen wird...
Ist eigentlich ziemlich einfach und mechanisch, wenn man weiß, wies geht.
Also: Wir haben ja [mm] $\frac{x}{(x+1)(x-1}$, [/mm] hätten aber gerne zum Integrieren, daß da sowas wie [mm] $\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}$ [/mm] mit Zahlen A und B steht, weil wir dann ganz leicht auf eine Stammfunktion kommen.
Nun muß die Sache aber weiter stimmen d.h. wenn wir die getrennten Brüche wieder addieren, soll dasselbe rauskommen:
[mm] $\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}=\frac{A(x-1)+B(x+1)}{(x+1)(x-1)}$
[/mm]
[mm] $\frac{(A+B)x-A+B}{(x+1)(x-1)}=\frac{1*x+0}{(x-1)(x+1)}$
[/mm]
Wenn hier zum Schluß die linke Seite also gleich der rechten sein soll, so sieht man recht schnell, daß dann A+B=1 und B-A=0 gelten muß.
Das ist nur für [mm] $A=B=\frac{1}{2}$ [/mm] der Fall, also haben wir am Ende:
[mm] $\frac{x}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}=\frac{1}{2(x+1)}+\frac{1}{2(x-1)}$.
[/mm]
Jetzt klammern wir für später, damits einfacher wird, noch [mm] $\frac{1}{2}$ aus:=$=\frac{1}{2}(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1})$.
[/mm]
Wieso der ganze Aufwand? Weil wir jetzt viel leichter eine Stammfunktion finden.
Eine Stammfunktion zu einer Funktion f ist eine Funktion, die abgeleitet gerade f ergibt. Wir müssen also die Gedanken, die wir beim Ableiten haben, einfach rückwärtsverfolgen und kommen so (meistens) auf eine Stammfunktion.
Glücklicherweise müssen wir ja nicht jedesmal das Rad neu erfinden und es gibt Formelsammlungen, die uns z.B. sagen, daß [mm] $\ln{x}$ [/mm] eine Stammfunktion zu [mm] $\frac{1}{x}$ [/mm] ist, d.h. daß [mm] $\left[\ln(x)\right]'=\frac{1}{x}$ [/mm] ist.
Mit diesem Wissen machen wir uns jetzt daran, eine Stammfunktion zu unseren zwei Brüchen oben zu finden.
Setzen wir vielleicht einfach mal so an und leiten dann zur Probe mal ab:
[mm] $\frac{1}{2}(\ln(x-1)+\ln(x+1))$. [/mm] Wenn wir das jetzt ableiten, bekommen wir:
[mm] \frac{1}{2}(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}), [/mm] d.h. unsre Stammfunktion stimmt.
Kommst Du nun alleine weiter?
Gruß,
Christian
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Di 26.04.2005 | | Autor: | mela |
dich hätte ich fast vergessen :)
dir natürlich auch einen lieben dank für deine bemühungen, auch wenn sie wie ich langsam feststelle, bei mir auf unfruchtbaren boden stoßen. hm....nunja, wird morgen schon hin hauen :)
lg, mela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 Di 26.04.2005 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Mela!
> > Anschließend mußt Du die Nullstellen des Nenners vom
> > Restglied bestimmen, die kennen wir wir ja auch schon (=
> > Polstellen).
>
> restglied? häh?
Unter dem "Restglied" versteht man den nicht-ganz-rationalen (= gebrochen-rationalen) Rest, der bei der Polynomdivision verbleibt, sprich: in unserer Aufgabe der Bruch [mm] $\bruch{x}{x^2-1}$!
[/mm]
> > Nun müssen wir eine Partialbruchzerlegung vornehmen, um
> > daraus einzelne Brüche zu erhalten. Dafür verwenden wir das
> > Verfahren des Koeeffizientenvergleichs:
>
> partialbruchzerwas???
Die Partialbruchzerlegung (= Aufteilung in verschiedene Brüche) einschl. Koeffizientenvergleich hat Dir ja Christian erläutert.
Wenn Du nun immer noch Fragen hast, meld' Dich ruhig ...
Grüße vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:54 Di 26.04.2005 | | Autor: | mela |
hey runner,
nett das du dich so um mich bemühst ;) *g*ich hätte noch einige fragen, aber ich habe sowieso jetzt aufgegeben. ich kriegs nich in meinen kopf und was ich in der sek 1 oder in den letzten wochen schule nich verstanden habe, verstehe ich jetz sicher auch nich mehr, auch wenn ichs versucht habe :) analysis iss für mich ein buch mit sieben siegeln.
wird morgen schon schiefgehen.
lg, mela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Di 26.04.2005 | | Autor: | Roadrunner |
N'Abend Mela!
Nun laß mal den Kopf nicht so hängen ...
Wenn Du meinst, jetzt noch etwas klären zu müssen, mach' das ruhig!
Aber nicht übertreiben: Du solltest für heute auch mal den Kopf frei kriegen.
Auf jeden Fall drück' ich Dir für morgen gaaaaanz fest die Daumen!!
Meld' Dich doch mal, wie's gelaufen ist.
Liebe Grüße vom daumendrückenden
Roadrunner
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Hallo mela,
> oki. soweit alles verstanden.
> aber ich habe mir jetzt überlegt, dass ich ein integral von
> der kurve bestimmen möchte. und zwar das, was vom graphen
> der funktion f(X) und einer geraden y=5 eingeschlossen
> wird.
>
Es ehrt dich, dass du die Aufgabe gleich erweitern willst. 
Allerdings sind die Aufgaben stets für den Zweck optimiert, für den sie gestellt werden, hier also die Kurvendiskussion.
Du hast ja selbst schon bemerkt, dass die Schnittpunkte des Graphen mit der Geraden y=5 nicht gerade die Schönsten sind.
> wie muss ich das denn nun berechnen? sollte ich erst die
> schnittpunkt von graph und gerade bestimmen? aber wie? denn
> ich muss ja anfangs und endpunkte des integrals haben.
> leider sind die hier glaub ich ziemlich krumm...
> und wies dann weiter geht weiß ich auch nicht. intgerale
> mit gebrochen rationalen funktionen kann ich nich
> berechnen. ich weiß das man immer einen lösungsansatz mit
> angeben soll, aber mir fällt einfach im mom nix ein. wäre
> schön wenn mir das jemand, der gewillt ist, vorrechnen
> könnte.
... und wenn du noch nie gebrochen-rationale Funktionen integriert hast, kommt das bestimmt nicht im Abitur dran.
Ich will dich damit nicht entmutigen, weiter zu rechnen, dich aber davor bewahren, dass du in Panik gerätst, weil du noch nie etwas von Partialbruchzerlegung gehört hast.
Viel einfacher wäre folgende Erweiterung der Aufgabe:
Bestimme die Fläche, die vom Graphen von f und seiner Asymptoten a(x) über dem Intervall [ [mm] $\wurzel{3}$;u] [/mm] mit u > 2 begrenzt wird.
Für u kannst du dir eine passende Zahl wählen - oder anschließend noch berechnen, ob es einen endlichen Wert für die Fläche gibt, wenn u [mm] \rightarrow \infty [/mm] geht.
Jetzt schaust du in die "Werkstatt" eines Lehrers, der sich schon bemüht, einigermaßen "schöne" Aufgaben zu stellen.
Wenn Ihr kaum gebrochen-rationale Funktionen integriert habt, könnte "der Lehrer" Euch noch bitten zu bestätigen, dass
[mm]F(x) = \bruch{1}{2}(\ln (x-1) + \ln (x+1))[/mm] eine Stammfunktion von (f(x) - a(x)) ist. ....
Wenn du magst, bearbeite (auch) diese Variante ... und poste deine Ergebnisse, damit wir sie überprüfen können.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Di 26.04.2005 | | Autor: | mela |
hallo informix.
ich danke dir zuerst dafür, dass du mich ein wenig beruhigt hast. aber unser mathelehrer ist unberechenbar *g*
des weiteren möchte ich mich für die hilfe bedanken, aber ich hab vorhin schon zu runner gesagt, ich werds einfach nicht in meinen kopf bekommen. analysis hab ich noch nie verstanden. ich setzte einfach auf meine lineare algebra. bin mit 3- vorbenotet, also ist es kein weltuntergang wenn die klausur nichts wird :)
geh jetz nochmal die letzten formeln durch und dann wirds morgen schon schief gehen.
gruß, mela
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