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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Kurvendiskussion von x^x
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Kurvendiskussion von x^x: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:50 So 13.03.2011
Autor: rola

Aufgabe
Führen Sie für die Funktion f:x -> [mm] x^x [/mm] eine Kurvendiskussion durch.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

Ich komme bei dieser Aufgabe überhaupt nicht weiter.
Meine Ansätze sind folgende:

Ableitungen:
f(x)= [mm] x^x [/mm]
[mm] f'(x)=x^x*(ln(x)+1) [/mm]
[mm] f''(x)=x^x*1/x+(ln(x)+1)^2 [/mm]

Sind die korrekt?

Nullstelle:
Eine Nullstelle ist nicht definiert, da [mm] 0^0. [/mm]

Extremwert:
wert 1 = 0
und
Wert 2= (ln(x)+1) = 0
ln(x) = -1
x = e^-1
Wert 2 = 0,3678

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
        
Bezug
Kurvendiskussion von x^x: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:55 So 13.03.2011
Autor: Loddar

Hallo rola,

[willkommenmr] !!


> Ableitungen:
>  f(x)= [mm]x^x[/mm]
>  [mm]f'(x)=x^x*(ln(x)+1)[/mm]

[ok]


>  [mm]f''(x)=x^x*1/x+(ln(x)+1)^2[/mm]

[notok]


> Nullstelle:
>  Eine Nullstelle ist nicht definiert, da [mm]0^0.[/mm]

Es gibt keine Nullstelle(n), das stimmt.
Die Begründung erschließt sich mir aber nicht.


> Extremwert:
>  wert 1 = 0

[notok] Wie kommst Du auf diesen Wert?


>  und
>  Wert 2= (ln(x)+1) = 0
> ln(x) = -1
>  x = e^-1

[ok]


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion von x^x: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:27 So 13.03.2011
Autor: rola


> Hallo rola,
>  
> [willkommenmr] !!
>  
>
> > Ableitungen:
>  >  f(x)= [mm]x^x[/mm]
>  >  [mm]f'(x)=x^x*(ln(x)+1)[/mm]
>  
> [ok]
>  
>
> >  [mm]f''(x)=x^x*1/x+(ln(x)+1)^2[/mm]

>  
> [notok]
>  

dann:
f'' = [mm] x^x [/mm] * 1/x + (ln(x)+1) * [mm] x^x-1 [/mm]

Ist das richtig?

>
> > Nullstelle:
>  >  Eine Nullstelle ist nicht definiert, da [mm]0^0.[/mm]
>  
> Es gibt keine Nullstelle(n), das stimmt.
>  Die Begründung erschließt sich mir aber nicht.
>  
>

[mm] 0^0 [/mm] ist nicht definiert und deshalb, keine Nullstelle.


> > Extremwert:
>  >  wert 1 = 0
>  
> [notok] Wie kommst Du auf diesen Wert?
>  

Ich denke wenn ich [mm] x^x [/mm] = 0 setze ist der Wert = 0

>
> >  und

>  >  Wert 2= (ln(x)+1) = 0
> > ln(x) = -1
>  >  x = e^-1
>  
> [ok]
>  
>
> Gruß
>  Loddar
>  

Bezug
                        
Bezug
Kurvendiskussion von x^x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:43 So 13.03.2011
Autor: kamaleonti

Hallo,
und auch von mir ein [willkommenmr]
>  >  
> >
> > > Ableitungen:
>  >  >  f(x)= [mm]x^x[/mm]
>  >  >  [mm]f'(x)=x^x*(ln(x)+1)[/mm]
>  f'' = [mm]x^x[/mm] * 1/x + (ln(x)+1) * [mm]\red{x^x-1}[/mm]
>  
> Ist das richtig? [notok]

Die Ableitungsregel für Produkte lautet (uv)'=uv'+u'v
anstelle des rot markierten sollte noch einmal die Ableitung von [mm] x^x [/mm] stehen
>  
> >
> > > Nullstelle:
>  >  >  Eine Nullstelle ist nicht definiert, da [mm]0^0.[/mm]
>  >  
> > Es gibt keine Nullstelle(n), das stimmt.
>  >  Die Begründung erschließt sich mir aber nicht.
>  >  
> >
> [mm]0^0[/mm] ist nicht definiert und deshalb, keine Nullstelle.
>  
>
> > > Extremwert:
>  >  >  wert 1 = 0
>  >  
> > [notok] Wie kommst Du auf diesen Wert?
>  >  
>
> Ich denke wenn ich [mm]x^x[/mm] = 0 setze ist der Wert = 0

Nein, oben schreibst du noch selbst, dass [mm] 0^0 [/mm] nicht definiert ist.

LG
Bezug
                                
Bezug
Kurvendiskussion von x^x: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:55 So 13.03.2011
Autor: rola


> Hallo,
>  und auch von mir ein [willkommenmr]
>  >  >  
> > >
> > > > Ableitungen:
>  >  >  >  f(x)= [mm]x^x[/mm]
>  >  >  >  [mm]f'(x)=x^x*(ln(x)+1)[/mm]
>  >  f'' = [mm]x^x[/mm] * 1/x + (ln(x)+1) * [mm]\red{x^x-1}[/mm]
>  >  
> > Ist das richtig? [notok]
>  Die Ableitungsregel für Produkte lautet (uv)'=uv'+u'v
>  anstelle des rot markierten sollte noch einmal die
> Ableitung von [mm]x^x[/mm] stehen
>  >  
> > >

[mm] f''=x^x*1/x+(ln(x)+1)*(ln(x)-1) [/mm]

>  >  
> >
> > > > Extremwert:
>  >  >  >  wert 1 = 0
>  >  >  
> > > [notok] Wie kommst Du auf diesen Wert?
>  >  >  
> >
> > Ich denke wenn ich [mm]x^x[/mm] = 0 setze ist der Wert = 0
>  Nein, oben schreibst du noch selbst, dass [mm]0^0[/mm] nicht
> definiert ist.
>  

Also gibt es dann hier keine 2 Werte?
sondern nur xe=0,3678, da e^-1 = x

> LG

Bezug
                                        
Bezug
Kurvendiskussion von x^x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:36 So 13.03.2011
Autor: MathePower

Hallo rola,


> > Hallo,
>  >  und auch von mir ein [willkommenmr]
>  >  >  >  
> > > >
> > > > > Ableitungen:
>  >  >  >  >  f(x)= [mm]x^x[/mm]
>  >  >  >  >  [mm]f'(x)=x^x*(ln(x)+1)[/mm]
>  >  >  f'' = [mm]x^x[/mm] * 1/x + (ln(x)+1) * [mm]\red{x^x-1}[/mm]
>  >  >  
> > > Ist das richtig? [notok]
>  >  Die Ableitungsregel für Produkte lautet (uv)'=uv'+u'v
>  >  anstelle des rot markierten sollte noch einmal die
> > Ableitung von [mm]x^x[/mm] stehen
>  >  >  
> > > >
> [mm]f''=x^x*1/x+(ln(x)+1)*(ln(x)-1)[/mm]

>


Hier muss doch stehen:

[mm]f''=x^x*\left( \ 1/x+(ln(x)+1)*(ln(x)\blue{+}1) \ \right)[/mm]


> >  >  

> > >
> > > > > Extremwert:
>  >  >  >  >  wert 1 = 0
>  >  >  >  
> > > > [notok] Wie kommst Du auf diesen Wert?
>  >  >  >  
> > >
> > > Ich denke wenn ich [mm]x^x[/mm] = 0 setze ist der Wert = 0
>  >  Nein, oben schreibst du noch selbst, dass [mm]0^0[/mm] nicht
> > definiert ist.
>  >  
> Also gibt es dann hier keine 2 Werte?
> sondern nur xe=0,3678, da e^-1 = x


Sofern xe der Extremwert ist, ja.


>  
> > LG

>


Gruss
MathePower  
Bezug
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