Kurvengleichungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Tini21 |
| Aufgabe | | Zeichnen Sie die Kurven gegeben durch die Gleichungen x²+xy+y²-3x-3y+1=0 und 16x²+24xy+9y²-125y=0 |
Unser Übungsleiter an der Uni hat uns folgende Vorgehenweise empfohlen:
1. FInde die Matrix und den Vektor
2. Eigenwerte von Matrix A
3. zugehörigen normierten Eigenvektor berechnen
4. Drehmatrix aufstellen
5. Translation durchführen
6. Parabel-/Ellipsengleichung aufstellen
7. Drehwinkel bestimmen
8. Koordinatensystem drehen und zeichnen
Meine Frage ist jetzt: Woher weiß ich, ob es sich um eine Ellipse oder Parabel handelt? Unser Übungsleiter meinte, das müsse man schon vorher sehen. Wie sehe ich das? Kann es auch eine Hyperbel sein oder was ganz anderes?
Danke für eure HIlfe!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Disap |
Hallo
> Zeichnen Sie die Kurven gegeben durch die Gleichungen
> x²+xy+y²-3x-3y+1=0 und 16x²+24xy+9y²-125y=0
> Unser Übungsleiter an der Uni hat uns folgende
> Vorgehenweise empfohlen:
> 1. FInde die Matrix und den Vektor
> 2. Eigenwerte von Matrix A
> 3. zugehörigen normierten Eigenvektor berechnen
> 4. Drehmatrix aufstellen
> 5. Translation durchführen
> 6. Parabel-/Ellipsengleichung aufstellen
> 7. Drehwinkel bestimmen
> 8. Koordinatensystem drehen und zeichnen
>
> Meine Frage ist jetzt: Woher weiß ich, ob es sich um eine
> Ellipse oder Parabel handelt? Unser Übungsleiter meinte,
> das müsse man schon vorher sehen. Wie sehe ich das? Kann es
> auch eine Hyperbel sein oder was ganz anderes?
Was meint er denn mit "vorher"?
Also zumindest rechnerisch erkennt man es spätestens bei den Eigenwerten, da zeichnet sich die Ellipse dadurch aus, dass die Eigenwerte [mm] $\lambda_1 [/mm] > 0$ und [mm] $\lambda_2 [/mm] > 0$
Wahrscheinlich kann man es aber schon an den Gleichungen x²+xy+y²-3x-3y+1=0 und 16x²+24xy+9y²-125y=0 erkennen. Dazu weiß ich aber leider nichts. Auch fällt mir gerade nicht ein, welche Bedingung die Eigenwerte bei einer Parabel haben. Daher lasse ich mal die Frage auf unbeantwortet. Aber die Matrix kannst du schon einmal aufstellen und die Eigenwerte berechnen.
Viele Grüße
Disap
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Mo 24.03.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
schau doch mal unter
![[]](/images/popup.gif) Kegelschnitt
nach
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Tini21 |
ok, das habe ich dann verstanden. also ich weiß jetzt zum beispiel, dass die 1. Gleichung eine Ellipse ist, die zweite eine Parabel. Jetzt komme ich aber bei dem 5. Punkt nicht weiter. Ellipsen- bzw. Parabelgleichung aufstellen. Wie mache ich das?
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Hallo Tini21,
> ok, das habe ich dann verstanden. also ich weiß jetzt zum
> beispiel, dass die 1. Gleichung eine Ellipse ist, die
> zweite eine Parabel. Jetzt komme ich aber bei dem 5. Punkt
> nicht weiter. Ellipsen- bzw. Parabelgleichung aufstellen.
> Wie mache ich das?
Es gilt ja jetzt:
(1) [mm]\overrightarrow{x}=D*\overrightarrow{x'}[/mm]
,wobei D die bei 4. erstellte Drehmatrix ist.
Die Gleichungen lassen sich alle so schreiben:
(2) [mm]a_{11}x^{2}+a_22y^{2}+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0[/mm]
Mit den Bezeichnungen
[mm]\overrightarrow{x}=\pmat{x \\ y}, \ \overrightarrow{x}^{T}:=\pmat{x & y}[/mm]
[mm]\overrightarrow{a}^{T}:=\pmat{a_{13} & a_{23}}[/mm]
[mm]A:=\pmat{a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}}, \ d:=a_{33}[/mm]
läßt sich die Gleichung (2) in Matrizenschreibweise wie folgt darstellen:
[mm]\overrightarrow{x}^{T}*A*\overrightarrow{x}+2*\left(\overrightarrow{a}^{T}*\overrightarrow{x}\right)+d=0[/mm]
Darauf wird jetzt (1) angewendet:
[mm]\left(D*\overrightarrow{x'}\right)^{T}*A*\left(D*\overrightarrow{x'}\right)+2*\left(\overrightarrow{a}^{T}*\left(D*\overrightarrow{x'}\right)\right)+d=0[/mm]
[mm]\gdw \overrightarrow{x'}^{T}*\left(D^{T}*A*D\right)*\overrightarrow{x}+2*\left(\overrightarrow{a}^{T}*D\right)*\overrightarrow{x'}+d=0[/mm]
Das ist jetzt die Gleichung nach der Transformation (1).
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Tini21 |
Ok, danke! Aber nach der Transformation habe ich dann zwar eine andere GLeichung, aber sie hat noch nicht die Form einer Ellipsen-, Hyperbel- oder Parabelgleichung. Wie mache ich danach weiter?
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Hallo Tini21,
> Ok, danke! Aber nach der Transformation habe ich dann zwar
> eine andere GLeichung, aber sie hat noch nicht die Form
> einer Ellipsen-, Hyperbel- oder Parabelgleichung. Wie
> mache ich danach weiter?
Die Gleichung liegt demnach in Vektor- und Matrizenschreibweise vor.
Multipliziere alles aus, damit Du die von Dir gewünschte Form bekommst.
Multipliziere [mm]A'=D^{T}*A*D[/mm] mit dem Vektor [mm]\overrightarrow{x'}=\pmat{x' \\ y'}[/mm], das ergibt einen Vektor [mm]\overright{z}=\pmat{z_{1} \\ z_{1}}[/mm]. Bilde dann das Skalarprodukt von dem Vektor z mit dem Vektor x'.
Das selbe Spielchen mit [mm]2*\overrightarrow{a}^{T}*D*\overrightarrow{x'}[/mm].
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Tini21 |
Ok. Das habe ich alles so gemacht, wie du beschrieben hast.
Bei mir kommt jetzt am Ende raus [mm] \bruch{1}{2}x²+\bruch{3}{2}y²-3\wurzel{2}y+1=0
[/mm]
Aber das ist doch nicht die Gleichung einer Ellipse :(
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Hallo Tini21,
> Ok. Das habe ich alles so gemacht, wie du beschrieben hast.
> Bei mir kommt jetzt am Ende raus
> [mm]\bruch{1}{2}x²+\bruch{3}{2}y²-3\wurzel{2}y+1=0[/mm]
> Aber das ist doch nicht die Gleichung einer Ellipse :(
Das lineare Glied [mm][mm] -\bruch{3}{\wurzel{2}}stimmt [/mm] leider nicht.
Es muss dort stehen:
[mm]\pmat{-3 & 3}*\pmat{\bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}}}=-\bruch{6}{\wurzel{2}}=-\bruch{2*3}{\wurzel{2}}=-3*\wurzel{2}[/mm]
Das lineare Glied [mm]-3*\wurzel{2}y[/mm] wird durch eine lineare Transformation eliminiert.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Tini21 |
oh ja, tut mir leid, da habe ich mich verschrieben....Muss man danach immer eine lineare Transformation machen? Wie sieht das aus?
Vielen Dank für deine Hilfe, ich weiß, dass ich mich blöd anstelle.....
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Hallo Tini21,
> oh ja, tut mir leid, da habe ich mich verschrieben....Muss
> man danach immer eine lineare Transformation machen? Wie
> sieht das aus?
Eine lineare Transformation musst Du immer dann machen, wenn noch lineare Glieder in x und/oder y gibt.
Eine lineare Transformation sieht so aus:
[mm]\pmat{x' \\ y'} = \pmat{x \\ y} + \pmat{c \\ d}[/mm]
das heisst der Vektor [mm]\pmat{x \\ y}[/mm] wird um einen konstanten Vektor [mm]\pmat{c \\ d}[/mm] verschoben.
> Vielen Dank für deine Hilfe, ich weiß, dass ich mich blöd
> anstelle.....
Finde ich nicht.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Tini21 |
und wie kriege ich diesen konstanten vektor raus?
was muss ich tun, damit [mm] -3\wurzel{2}y [/mm] wegfällt?
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Hallo Tini21,
> und wie kriege ich diesen konstanten vektor raus?
> was muss ich tun, damit [mm]-3\wurzel{2}y[/mm] wegfällt?
Da muss man auch das quadratische Glied mitbetrachten:
[mm]\bruch{3}{2}y^{2}-3\wurzel{2}y[/mm]
Wende hier die quadratische Ergänzung an.
Schreibe also
[mm]\bruch{3}{2}y^{2}-3\wurzel{2}y[/mm]
in der Form
[mm]a*\left(y+d\right)^{2}+b[/mm]
,wobei a, b, d, geeignete Zahlen sind.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Tini21 |
ok, dann habe ich ja [mm] \bruch{1}{2}x²+\bruch{3}{2}(y-\wurzel{2})²-2=0....kann [/mm] ich mir dann einfach [mm] (y-\wurzel{2})² [/mm] als neues y² definieren? wie wäre es, wenn in der gleichung auch ein Ausdruck mit x stehen würde. Müsste ich dann 2 quadratische Ergänzungen machen?
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Hallo Tini21,
> ok, dann habe ich ja
> [mm]\bruch{1}{2}x²+\bruch{3}{2}(y-\wurzel{2})²-2=0....kann[/mm] ich
> mir dann einfach [mm](y-\wurzel{2})²[/mm] als neues y² definieren?
Definier lieber [mm]x'=x, \ y'=y-\wurzel{2}[/mm]. denn Du verschiebst hier das Koordiniatensystem.
Und jetzt ist es eine Ellipse.
> wie wäre es, wenn in der gleichung auch ein Ausdruck mit x
> stehen würde. Müsste ich dann 2 quadratische Ergänzungen
> machen?
Ja.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Tini21 |
Vielen vielen Dank! Um jetzt die Ellipse zu zeichnen muss ich ja das Koordinatensystem drehen und dazu den Drehwinkel berechnen. Das macht man ja mit der Drehmatrix, oder? Und dann habe ich eine neue x- und y-Achse, setzte die Werte in die Ellipsengleichung ein und zeichne diese, oder?
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Hallo Tini21,
> Vielen vielen Dank! Um jetzt die Ellipse zu zeichnen muss
> ich ja das Koordinatensystem drehen und dazu den Drehwinkel
> berechnen. Das macht man ja mit der Drehmatrix, oder? Und
> dann habe ich eine neue x- und y-Achse, setzte die Werte in
> die Ellipsengleichung ein und zeichne diese, oder?
Den Drehwinkel bestimmt man mit Hilfe der Drehmatrix.
Dann zeichnest die Ellipse.
Gruß
MathePower
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