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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Di 20.05.2014 | | Autor: | Boastii |
| Aufgabe | Show that [mm] L(\Gamma _a) = 6a [/mm] for the so-called astroide curve [mm] \Gamma_a := \gamma_([0; 2\pi]), a\in \mathbb R^+ [/mm] , given by
[mm]
\gamma_a : [0;2\pi] \ni t \mapsto (a cos^3(t) , a sin^3(t))^T \in \mathbb R^2 [/mm]. |
Hallo und schönen guten Abend,
mein Ansatz:
[mm] L(\Gamma_a) = \integral_{0}^{2\pi}{\sqrt{(d/dt (a*cos^3(t)))^2+(d/dt (a*sin^3(t)))^2} dt} [/mm]
[mm]= \integral_{0}^{2\pi}{\sqrt{(-3a*sin(t) cos^2(t))^2+(3a*sin^2(t)*cos(t)^2} dt} [/mm]
[mm] = \integral_{0}^{2\pi}{\sqrt{9a^2*sin^4(t)*cos^2(t)+9a^2*sin^2(t)*cos^4(t)} dt} [/mm]
[mm] = \integral_{0}^{2\pi}{\sqrt{9a^2 sin^2(t) cos^2(t)(sin^2(t)+cos^2(t))} dt} [/mm]
[mm] = \integral_{0}^{2\pi}{\sqrt{9a^2 sin^2(t) cos^2(t)} dt} [/mm]
[mm] = \integral_{0}^{2\pi}{\sqrt{(3a sin(t) cos(t))^2} dt} [/mm]
[mm] = \integral_{0}^{2\pi}{ 3a*sin(t)*cos(t) dt} [/mm]
[mm] = [-\frac{3}{2}a*cos^2(t) ]^{2\pi}_{0} [/mm]
Nun hier bekomme ich 0 raus...
irgendwo muss ich doch einen Fehler gemacht haben? :)
MfG Boastii
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Di 20.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Show that [mm]L(\Gamma _a) = 6a[/mm] for the so-called astroide
> curve [mm]\Gamma_a := \gamma_([0; 2\pi]), a\in \mathbb R^+[/mm] ,
> given by
> [mm]
\gamma_a : [0;2\pi] \ni t \mapsto (a cos^3(t) , a sin^3(t))^T \in \mathbb R^2 [/mm].
>
> Hallo und schönen guten Abend,
> mein Ansatz:
>
> [mm]L(\Gamma_a) = \integral_{0}^{2\pi}{\sqrt{(d/dt (a*cos^3(t)))^2+(d/dt (a*sin^3(t)))^2} dt}[/mm]
>
> [mm]= \integral_{0}^{2\pi}{\sqrt{(-3a*sin(t) cos^2(t))^2+(3a*sin^2(t)*cos(t)^2} dt}[/mm]
> [mm]= \integral_{0}^{2\pi}{\sqrt{9a^2*sin^4(t)*cos^2(t)+9a^2*sin^2(t)*cos^4(t)} dt}[/mm]
>
> [mm]= \integral_{0}^{2\pi}{\sqrt{9a^2 sin^2(t) cos^2(t)(sin^2(t)+cos^2(t))} dt}[/mm]
>
> [mm]= \integral_{0}^{2\pi}{\sqrt{9a^2 sin^2(t) cos^2(t)} dt}[/mm]
>
> [mm]= \integral_{0}^{2\pi}{\sqrt{(3a sin(t) cos(t))^2} dt}[/mm]
> [mm]= \integral_{0}^{2\pi}{ 3a*sin(t)*cos(t) dt}[/mm]
> [mm]= [-\frac{3}{2}a*cos^2(t) ]^{2\pi}_{0}[/mm]
>
> Nun hier bekomme ich 0 raus...
> irgendwo muss ich doch einen Fehler gemacht haben? :)
[mm] \sqrt{(3a sin(t) cos(t))^2}=|3asin(t)cos(t)|
[/mm]
FRED
>
> MfG Boastii
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Di 20.05.2014 | | Autor: | Boastii |
Hey Fred, danke für deine Antwort.
Oh man, das habe ich mir schon fast gedacht...
Okay ich mache das jetzt mal weiter':
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\sqrt{(3a*sin(t)*cos(t))^2} dt} [/mm]
[mm] = \integral_{0}^{2\pi}{|3a*sin(t)*cos(t)| dt} [/mm]
[mm] = \frac{3a}{2} * \integral_{0}^{2\pi}{|sin(2t)| dt} [/mm]
[mm] = \frac{3a}{2} *( |(\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{sin(2t) dt)| +|(\integral_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}{sin(2t) dt)| +|(\integral_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}}{sin(2t) dt)| + |(\integral_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}{sin(2t) dt)| ) = \frac{3a}{2}* (1+ 1+ 1+1) = 6a [/mm]
Habe einfach bis zu den Nullstellen von [mm] sin(2t) [/mm] integriert und davon den Betrag genommen. Müsste so eigentlich stimmen oder? :)
LG Boastii
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:02 Mi 21.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey Fred, danke für deine Antwort.
>
> Oh man, das habe ich mir schon fast gedacht...
>
> Okay ich mache das jetzt mal weiter':
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\sqrt{(3a*sin(t)*cos(t))^2} dt}[/mm]
> [mm]= \integral_{0}^{2\pi}{|3a*sin(t)*cos(t)| dt}[/mm]
> [mm]= \frac{3a}{2} * \integral_{0}^{2\pi}{|sin(2t)| dt}[/mm]
> [mm]= \frac{3a}{2} *( |(\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{sin(2t) dt)| +|(\integral_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}{sin(2t) dt)| +|(\integral_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}}{sin(2t) dt)| + |(\integral_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}{sin(2t) dt)| ) = \frac{3a}{2}* (1+ 1+ 1+1) = 6a [/mm]
>
> Habe einfach bis zu den Nullstellen von [mm]sin(2t)[/mm] integriert
> und davon den Betrag genommen. Müsste so eigentlich
> stimmen oder? :)
Tut es !
FRED
>
> LG Boastii
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