Kurvenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 So 25.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
| Aufgabe | Löse das Linienintegral:
[mm] L=\integral_{C}{(2x+yz)dx+(xz-z)dy+(xy-y)dz}
[/mm]
entlang der Kurve [mm] x(t)=\vektor{sin(t) \\ cos(t) \\ 1} [/mm] |
Hallo Leute!
ich stehe (wieder mal) auf der Leitung :(
wie ist hier vorzugehen?
ich "setze die Kurve in mein Integral ein":
[mm] L=\integral_{t0}^{t1}{\bruch{dx}{dt}((2 sin(t) +cos(t)))dx+\bruch{dy}{dt}((sin(t)-1))dy+\bruch{dz}{dt}((sin(t) cos(t) -cos(t)))dz} [/mm] dt
[mm] \bruch{d\vec{x}}{dt}=\vektor{2cos(t)-sin(t) \\ -cos(t) \\ cos(x)^2 -sin(x)(sin(x)-1)}
[/mm]
[mm] =\vektor{dx/dt \\ dy/td \\ dz/dt}
[/mm]
das oben einsetzen und dann integrieren?
ist das so weit richtig? Oder sehr umständlich, oder gar gänzlich falsch? ;)
schönen Sonntag!
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 So 25.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Oh, das Falsche abgeleitet, danke für deinen Hinweis!
das Integral sieht dann so aus:
[mm] \integral_{t=t1}^{t2}{-cos(t) (2sin(t)+cos(t))+sin(t)(sin(t)-1)+0 dt}=\integral_{t1}^{t2}{(-2 cos(t)sin(t)-cos(t)^2+sin(t)^2-sin(t)dt}= \integral_{t1}^{t2}{(-2 cos(t)sin(t)-sin(t)-1) dt}
[/mm]
Die Frage ist nur, wie ich die Integrationsgrenzen t1 und t2 bestimmen kann.
die Kurve geht von A(-1,0,0) und B(1,0,0);
kann ich [mm] x(t_{1})=\vektor{sin(t_{1}) \\ cos(t_{1}) \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 0} [/mm] hernehmen und t1 zu [mm] -\pi/2
[/mm]
und analog t2 zu [mm] \pi/2 [/mm] ?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 So 25.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Oh, das Falsche abgeleitet, danke für deinen Hinweis!
>
> das Integral sieht dann so aus:
>
>
>
> [mm]\integral_{t=t1}^{t2}{-cos(t) (2sin(t)+cos(t))+sin(t)(sin(t)-1)+0 dt}=\integral_{t1}^{t2}{(-2 cos(t)sin(t)-cos(t)^2+sin(t)^2-sin(t)dt}= \integral_{t1}^{t2}{(-2 cos(t)sin(t)-sin(t)-1) dt}[/mm]
>
> Die Frage ist nur, wie ich die Integrationsgrenzen t1 und
> t2 bestimmen kann.
>
> die Kurve geht von A(-1,0,0) und B(1,0,0);
>
> kann ich [mm]x(t_{1})=\vektor{sin(t_{1}) \\ cos(t_{1}) \\ 1}[/mm] =
> [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 0}[/mm] hernehmen und t1 zu [mm]-\pi/2[/mm]
Das passt nicht, denn die Kurve geht nicht durch A(-1,0,0) und B(1,0,0). Du hast gerade für die dritte Komponente 1=0 hingeschrieben. Ich nehme an, es ist der Halbkreis um den Mittelpunkt (0,0,1) gemeint.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 So 25.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
danke für deine Antwort!
wie erkennst du das an der Angabe?
ergal wie ich den Parameter wähle, z=1 kann ich ja nie in die Punkte legen?
Wie würden t1 und t2 für den Halbkreis lauten? t1=0 und [mm] t2=\pi/2 [/mm] ?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 So 25.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> danke für deine Antwort!
>
> wie erkennst du das an der Angabe?
Schau dir die Angabe an:
[mm] \vec x(t) = \vektor{\sin t \\ \cos t \\ 1} [/mm]
Erstmal liegt die Kurve vollständig in der Ebene $z=1$. Dort gilt: [mm] $x^2+y^2=1$, [/mm] also leigen alle Punkte der Kurve auf der Kreislinie mit Radius 1 und Mittelpunkt $(0,0,1)$ in der Ebene $z=1$.
Deine Punkte A und B liegen nicht auf dieser Kreislinie, also passt es nicht zusammen. Du musst diesen Widerspruch auflösen, denn so ergibt die Aufgabe keinen Sinn.
Wie lautet die Aufgabe genau?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 So 25.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
| Aufgabe | Bestimme das Linienintegral
[mm] \integral_{C}{(2x+yz)dx +(xy-z)dy +(xy-z)dz} [/mm] entlang der Kurve x(t)={sin(t), cos(t),1} von A(-1,0,0) nach B(1,0,0)
Ist das Integral wegunabhängig? |
das ist der genaue Wortlaut.
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Mo 26.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bestimme das Linienintegral
>
> [mm]\integral_{C}{(2x+yz)dx +(xy-z)dy +(xy-z)dz}[/mm] entlang der
> Kurve x(t)={sin(t), cos(t),1} von A(-1,0,0) nach B(1,0,0)
>
> Ist das Integral wegunabhängig?
> das ist der genaue Wortlaut.
Wie ich schon schrieb, ist die Aufagbe in sich widersprüchlich, weil die angegebene Kurve nicht durch die Punkte A und B geht.
Zur Wegunabhängigkeit: notwendig dazu ist, dass die Rotation des zu integrierenden Vektorfeldes 0 nist. Ist das der Fall?
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:04 Di 27.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
Es war ein Druckfehler in der Angabe....
so viel dazu ;)
danke für eure Hilfe! :)
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