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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Kurvenintegral
Kurvenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Kurvenintegral: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:43 Mi 23.09.2009
Autor: Skalar85

Aufgabe
Entscheiden Sie ob folgende Aussage wahr oder falsch ist:
Das Kurvenintegral eines wirbelfreien differenzierbaren Vektorfeldes über
eine geschlossene Kurve ist immer gleich 0.

Warum stimmt diese Aussage nicht?


        
Bezug
Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:32 Mi 23.09.2009
Autor: rainerS

Hallo!

> Entscheiden Sie ob folgende Aussage wahr oder falsch ist:
>  Das Kurvenintegral eines wirbelfreien differenzierbaren
> Vektorfeldes über
>  eine geschlossene Kurve ist immer gleich 0.
>  Warum stimmt diese Aussage nicht?

Sie ist unpräzise: das Vektorfeld muss auf der gesamten von der Kurve eingeschlossenen Fläche definiert und diff'bar sein.

Gegenbeispiel: das zweidimensionale Vektorfeld

[mm] F=\vektor{\dfrac{-y}{x^2+y^2}\\[2mm] \dfrac{x}{x^2+y^2}} [/mm], [mm] (x,y)\not=(0,0) [/mm]

ist wirbelfrei, denn

[mm] \bruch{\partial F_y}{\partial x} - \bruch{\partial F_x}{\partial y} = 0[/mm].

Aber da es im Nullpunkt weder definiert noch stetig fortsetzbar ist, lässt sich die Aussage so nicht treffen.

Die Aussage kann man zum Beispiel so ergänzen:

Das Kurvenintegral eines im gesamten Raum wirbelfreien differenzierbaren
Vektorfeldes über eine geschlossene Kurve ist immer gleich 0.

Viele Grüße
   Rainer


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