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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Di 16.02.2010 | | Autor: | Nickles |
Habe für eine geschlitzte Ebene [mm] $\vec{\gamma_1}(t) [/mm] : = [mm] \vektor{1 \\t }\ \dot{\vec{\gamma_1}}(t) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] $ und [mm] $\vec{\gamma_2}(t) \vektor{t \\ b}\ \dot{\vec{\gamma_2}} [/mm] := [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] $ die zwei Integrale
[mm] $\int_0^b \bruch{1}{1^2 +t^2} [/mm] * [mm] \vektor{-t \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] * [mm] \mathrm [/mm] dt + [mm] \int_1^a \bruch{1}{t^2 + b^2} \vektor{-b \\ t} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0 } \mathrm [/mm] dt $ das wird dann im nächsten Rechenschritt zu
$ [mm] \int_0^b \bruch{1}{1 +t^2}\ [/mm] * [mm] \mathrm [/mm] dt + [mm] \int_1^a \bruch{-1}{1+ ({\bruch{t}{b})}^2} [/mm] * [mm] \bruch{\mathrm dt}{b} [/mm] $
Ich versteh nicht wie er von $ [mm] \int_1^a \bruch{1}{t^2 + b^2} \vektor{-b \\ t} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 0 } \mathrm [/mm] dt $ zu $ [mm] \rightarrow \int_1^a \bruch{-1}{1+ ({\bruch{t}{b})}^2} [/mm] * [mm] \bruch{\mathrm dt}{b} [/mm] $ kommt.Der Rechenschritt erschließt sich mir irgendwie nicht.
Könnte mir jemand weiterhelfen?
Grüße
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Hallo Nickles,
> Habe für eine geschlitzte Ebene [mm]\vec{\gamma_1}(t) : = \vektor{1 \\t }\ \dot{\vec{\gamma_1}}(t) = \vektor{0 \\ 1}[/mm]
> und [mm]\vec{\gamma_2}(t) \vektor{t \\ b}\ \dot{\vec{\gamma_2}} := \vektor{1 \\ 0}[/mm]
> die zwei Integrale
> [mm]\int_0^b \bruch{1}{1^2 +t^2} * \vektor{-t \\ 1} * \vektor{0 \\ 1} * \mathrm dt + \int_1^a \bruch{1}{t^2 + b^2} \vektor{-b \\ t} * \vektor{1 \\ 0 } \mathrm dt[/mm]
> das wird dann im nächsten Rechenschritt zu
> [mm]\int_0^b \bruch{1}{1 +t^2}\ * \mathrm dt + \int_1^a \bruch{-1}{1+ ({\bruch{t}{b})}^2} * \bruch{\mathrm dt}{b}[/mm]
>
> Ich versteh nicht wie er von [mm]\int_1^a \bruch{1}{t^2 + b^2} \vektor{-b \\ t} * \vektor{1 \\ 0 } \mathrm dt [/mm]
> zu [mm]\rightarrow \int_1^a \bruch{-1}{1+ ({\bruch{t}{b})}^2} * \bruch{\mathrm dt}{b} [/mm]
> kommt.Der Rechenschritt erschließt sich mir irgendwie
> nicht.
>
Multipliziere das Skalarprodukt aus:
[mm]\int_1^a \bruch{1}{t^2 + b^2} \vektor{-b \\ t} * \vektor{1 \\ 0 } \mathrm dt =\int_1^a \bruch{1}{t^2 + b^2} \left( \ \left(-b\right)*1+t*0 \ \right)\mathrm dt=\int_1^a \bruch{-b}{t^2 + b^2}\mathrm dt[/mm]
Anschliessende Division durch b liefert:
[mm]\int_1^a \bruch{-1}{\bruch{t^2}{b} + b}\mathrm dt[/mm]
Ausklammern von b im Nenner liefert schliesslich das gewünschte.
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> Könnte mir jemand weiterhelfen?
>
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Di 16.02.2010 | | Autor: | Nickles |
Ah ok...oh man wie letzendlich "einfach" .. aber was genau bringt das?
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Hallo Nickles,
> Ah ok...oh man wie letzendlich "einfach" .. aber was genau
> bringt das?
Für die nachfolgende Integration bringt das etwas.
Gruss
MathePower
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