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Hallo zusammen...
ich habe mal eine Frage...
Ich habe bereits Die Suchfunktion in diesem Forum genutzt und bin auch fündig geworden zu folgender Aufgabenstellung. Allerdings würde sich meine Frage auf etwas anderes beziehen.
Aufgabenstellung:
Berechne das Integral des Vektorfeldes [mm] \vec{v}:\IR^3 \to \IR^3, [/mm] (x,y,z) [mm] \to (3x^2-6yz; [/mm] 3xy-3xz; 7z^2x) entlang des Graphen von [mm] z=x^2, [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,2] in der Ebene y=1
Parametrisierung liefert nun z.B. [mm] \varphi(t)=\vektor{t \\ 1 \\ t^2}
[/mm]
Meine Frage wäre nun:
Dürfte ich meinen Graphen [mm] z=x^2 [/mm] auch in das Vektorfeld einsetzen, wodurch ich nun vielmehr [mm] \vec{v}(x,y)=(3x^2-6yx^2, 3xy-3x^3,7x^5) [/mm] erhalte und wie folgt parametrisiere:
[mm] \varphi(t)=\vektor{t \\ 1} [/mm] ???
mfg dodo4ever
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Hallo dodo4ever,
> Hallo zusammen...
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> ich habe mal eine Frage...
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> Ich habe bereits Die Suchfunktion in diesem Forum genutzt
> und bin auch fündig geworden zu folgender
> Aufgabenstellung. Allerdings würde sich meine Frage auf
> etwas anderes beziehen.
>
> Aufgabenstellung:
>
> Berechne das Integral des Vektorfeldes [mm]\vec{v}:\IR^3 \to \IR^3,[/mm]
> (x,y,z) [mm]\to (3x^2-6yz;[/mm] 3xy-3xz; 7z^2x) entlang des Graphen
> von [mm]z=x^2,[/mm] x [mm]\in[/mm] [0,2] in der Ebene y=1
>
> Parametrisierung liefert nun z.B. [mm]\varphi(t)=\vektor{t \\ 1 \\ t^2}[/mm]
>
> Meine Frage wäre nun:
>
> Dürfte ich meinen Graphen [mm]z=x^2[/mm] auch in das Vektorfeld
> einsetzen, wodurch ich nun vielmehr
> [mm]\vec{v}(x,y)=(3x^2-6yx^2, 3xy-3x^3,7x^5)[/mm] erhalte und wie
> folgt parametrisiere:
>
> [mm]\varphi(t)=\vektor{t \\ 1}[/mm] ???
>
Die Parametrisierung musst Du schon beibehalten,
da das Skalarprodukt
[mm]< \vec{v}\left( \ \varphi\left(t\right) \ \right), \ \dot{\varphi}\left(t\right) \ >[/mm]
gebildet wird.
> mfg dodo4ever
Gruss
MathePower
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Hallo...
Auch wenn mein Vektorfeld [mm] \vec{v}(x,y)=(3x^2-6yx^2, 3xy-3x^3,7x^5) [/mm] nicht mehr von z abhängig ist?
Denn ich parametrisiere ja wie folgt:
1. x=t, y=1, [mm] z=t^2, [/mm] wenn ich z beibehalte
2. x=t, y=1, wenn ich z durch [mm] z=x^2 [/mm] ersetze...
mfg dodo4ever
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Hallo dodo4ever,
> Hallo...
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> Auch wenn mein Vektorfeld [mm]\vec{v}(x,y)=(3x^2-6yx^2, 3xy-3x^3,7x^5)[/mm]
> nicht mehr von z abhängig ist?
>
Ja, auch dann.
> Denn ich parametrisiere ja wie folgt:
>
> 1. x=t, y=1, [mm]z=t^2,[/mm] wenn ich z beibehalte
> 2. x=t, y=1, wenn ich z durch [mm]z=x^2[/mm] ersetze...
>
> mfg dodo4ever
>
Gruss
MathePower
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Okay alles klar...
Da es meine erste Aufgabe zu Kurvenintegrale ist, wollte ich diese Aufgabe nun noch hier im Forum beenden und hoffe ihr könnt mir sagen, ob der Weg der richtige ist oder nicht...
Nochmal zur Aufgabenstellung:
Berechne das Integral des Vektorfeldes [mm] \vec{v}:\IR^3 \to \IR^3, [/mm] (x,y,z) [mm] \to (3x^2-6yz; [/mm] 3xy-3xz; 7z^2x) entlang des Graphen von [mm] z=x^2, [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,2] in der Ebene y=1
Kurvenintegral allgemein lautet: [mm] \integral_{\gamma}^{}{\vec{v} \cdot \vec{ds}}=\integral_{\gamma}^{}{<\vec{v}(\varphi(t)),\varphi'(t)> dt}
[/mm]
Nun wollte ich zunächjst wie folgt parametrisieren: [mm] \varphi(t)=\vektor{t \\ 1 \\ t^2} [/mm] und somit ist [mm] \varphi'(t)=\vektor{1 \\ 0 \\ 2t}
[/mm]
Und es ergibt sich für [mm] \vec{v}(\varphi(t))=\vec{v}(t,1,t^2)=\vektor{3t^2-6t^2 \\ 3t-3t^2 \\ 7t^5}=\vektor{-3t^2 \\ 3t-3t^2 \\ 7t^5}
[/mm]
Wodurch sich nun ergibt: [mm] \integral_{\gamma}^{}{\vec{v} \cdot \vec{ds}}=\integral_{0}^{2}{<\vektor{-3t^2 \\ 3t-3t^2 \\ 7t^5},\vektor{1 \\ 0 \\ 2t}> dt}=\integral_{0}^{2}{-3t^2+14t^6 dt}=-t^3+2t^7=-8+256=248
[/mm]
mfg dodo4ever
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> Okay alles klar...
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> Da es meine erste Aufgabe zu Kurvenintegrale ist, wollte
> ich diese Aufgabe nun noch hier im Forum beenden und hoffe
> ihr könnt mir sagen, ob der Weg der richtige ist oder
> nicht...
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> Nochmal zur Aufgabenstellung:
>
> Berechne das Integral des Vektorfeldes [mm]\vec{v}:\IR^3 \to \IR^3,[/mm]
> (x,y,z) [mm]\to (3x^2-6yz;[/mm] 3xy-3xz; 7z^2x) entlang des Graphen
> von [mm]z=x^2,[/mm] x [mm]\in[/mm] [0,2] in der Ebene y=1
>
> Kurvenintegral allgemein lautet:
> [mm]\integral_{\gamma}^{}{\vec{v} \cdot \vec{ds}}=\integral_{\gamma}^{}{<\vec{v}(\varphi(t)),\varphi'(t)> dt}[/mm]
>
> Nun wollte ich zunächjst wie folgt parametrisieren:
> [mm]\varphi(t)=\vektor{t \\ 1 \\ t^2}[/mm] und somit ist
> [mm]\varphi'(t)=\vektor{1 \\ 0 \\ 2t}[/mm]
>
> Und es ergibt sich für
> [mm]\vec{v}(\varphi(t))=\vec{v}(t,1,t^2)=\vektor{3t^2-6t^2 \\ 3t-3t^2 \\ 7t^5}=\vektor{-3t^2 \\ 3t-3t^2 \\ 7t^5}[/mm]
>
> Wodurch sich nun ergibt: [mm]\integral_{\gamma}^{}{\vec{v} \cdot \vec{ds}}=\integral_{0}^{2}{<\vektor{-3t^2 \\ 3t-3t^2 \\ 7t^5},\vektor{1 \\ 0 \\ 2t}> dt}=\integral_{0}^{2}{-3t^2+14t^6 dt}=-t^3+2t^7=-8+256=248[/mm]
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> mfg dodo4ever
Mir ist bis jetzt kein Fehler aufgefallen. Kurvenintegrale sind bei mir allerdings schon wieder ein bisschen aus dem Gedächtnis. ;)
LG Scherzkrapferl
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