Kurvenintegrale < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Do 22.11.2007 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | Berechnen sie die Folgenden 3 Integrale für den F-Vektor und eine beliebige, geschlossene Raumkurve C.
[mm] \integral_{0}^{A}\vec{F}{ d \vec{r}}, \integral_{0}^{A}\vec{F}\times{ d \vec{r}}, \integral_{0}^{A}\vec{F}{ds}, [/mm]
[wobei s hier die bogenlänge glaub ich sein soll.....]
für [mm] \vec{F} [/mm] = [mm] (x_{1},2x_{2},3x_{3}) [/mm] und der raumkurve [mm] \overrightarrow{r}(t) [/mm] = (t, [mm] 1/(\wurzel{2}) [/mm] * [mm] t^2, [/mm] 1/3 * [mm] t^3) [/mm] vom Nullpunkt bis [mm] \vec{r}(1)
[/mm]
und
[mm] \integral_{C}\vec{r}{ d \vec{r}}, \integral_{C}\vec{r}\times{ d \vec{r}}, [/mm]
längs der kurve C : [mm] \vec{r}(t) [/mm] = ( cos(t), sin(t), sin(2t)), 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le 2\pi [/mm] |
hi zusammen, ich soll folgende integrale berechnen aber weiß net wie -.-
bei dem aller ersten ist ja F in abhängigkeit von F1(x).....F3(x), nur wie kann ich das über C nach dr integrieren? das raller ich schon nicht
wer kann mir hierbei helfen? ich verzweifle fast -.-
danke schonmal im voraus!!
tschüss
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Do 22.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Integral: da steht ein Skalarprodukt. due kannst [mm] d\vec{r}=\vec{r'}dt [/mm] schriben.
das zweite ist ein Vektorprodukt, da musst du die einzelnen Komponenten einfach einzeln integrieren,
Ganz versteh ich nicht, dass da eigentlich 2 Aufgaben stehen
a) längs einer beliebigen geschl. Raumkurve
b) längs der gegebenen, nicht geschl. Kurve.
zu a) solltet ihr was gelernt haben (Das Integral gibt die arbeit länngs der Kurve!)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Sa 24.11.2007 | | Autor: | eumel |
ich hab hier ein integral mit dem kreis noch in der mitte und als untere grenze ein C stehen, das für die geschlossene raumkurve steht. nur hab ich kein plan was ich damit machen kann
das mit dergeschlossene raumkurve gilt für das integral [mm] \integral\vec{F}*d\vec{r}
[/mm]
nur wenn die raumkurve geschlossen ist, was kommt denn dann daraus, wenn ich das integral betrachte?! ich raller das voll nicht. meine erste vermutung wäre null, aber das nachzurechnen :-|
andererseits dem integral einer geschlossenen raumkurve für [mm] \vec{F} [/mm] = [mm] f(|\vec{r}|) [/mm] * [mm] \vec{r} [/mm] für oben stehendes integral
muss man hierbei iwie die produktregel anwenden, da ja komponentenweise egtl integriert wird und f ja von dem betrag der einzelnen komponenten von r abhängig ist??
lg benny
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Hallo!
Zu der geschlossenen Kurve:
F steht in der Physik für die Kraft, und r eben für die Strecke.
[mm] \vec{F}\,d\vec{r} [/mm] ist das Produkt einer Kraft und eines kleinen Wegstücks dr, entlang dessen die Kraft wirkt. Das ist also die Energie, die man reinsteckt / rausbekommt, wenn man etwas entlang des Stücks dr bewegt. Summiert man das auf, wird das ganze zum Integral
[mm] E=\int_\gamma\vec{F}\,d\vec{r} [/mm] , das ist die Energie, die man braucht, um von Punkt A zu Punkt B über den Weg [mm] \gamma [/mm] zu gelangen.
Bei konservativen Kraftfeldern ist es egal, über welchen Weg [mm] \gamma [/mm] man geht, aber es gibt auch nicht konservative Kräfte, da ist der WEg nicht egal.
Jetzt kannst du auch einen geschlossenen Weg nehmen, Anfangs- und Endpunkt ist dann gleich. Bei konservativen Feldern ist dann auch E=0, bei nicht konservativen nicht. Du mußt schließlich immer kräftigt Energie aufwenden, um nen Löffel im Honigglas immer im Kreis zu bewegen. (Reibung vernichtet IMMER die "Konservativität")
Jetzt kannst du dir erstmal selbst einen geschlossenen Weg ausdenken. Wie wäre es mit einem Quadrat, das durch die vier Punkte [mm] $(\pm1; \pm1)$ [/mm] gegen den Uhrzeigersinn geht? Das ist sehr einfach zu rechnen.
Dann hast du vier Strecken:
I: y=-1 und x=-1...+1
II: x=+1 und y=-1...+1
III: y=+1 und x= +1...-1
IV: x=-1 und y=+1...-1
Bedenke: es geht hier entgegen dem Urzeigersinn, deshalb gibts auch den Fall +1... -1
Für die erste Strecke ist y konstant, nur x ändert sich. Du rechnest also [mm] \int_{-1}^{+1} F(x)dx|_{y=-1} [/mm] das heißt, setze y=-1 ein, und integriere nur über x.
Die vier Integrale mußt du addieren.
Jetzt hast du einen Pfad [mm] \vec{r}(t) [/mm] vorgegeben, der ist durch den Parameter t bestimmt.
Hier machst du eine Substitution. Ersetze [mm] \vec{r} [/mm] durch den Ausdruck für [mm] \vec{r}(t). [/mm] Auch das [mm] d\vec{r} [/mm] mußt du ersetzen, das ist aber etwas komplizierter: Nach den Substitutionsregeln gilt [mm] \frac{d\vec{r}(t)}{dt}=... [/mm] und daraus folgt $dr= ...*dt$
Probier das mal aus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Sa 24.11.2007 | | Autor: | eumel |
[mm] d\vec{r}(t) [/mm] / dt = [mm] \vec{v}(t)
[/mm]
also dr = [mm] \vec{v}(t) [/mm] * dt
nur wenn ich [mm] \vec{F} [/mm] = (F1(x1), F2(x2), F3(x3)) habe und
[mm] \integral{\vec{F}}ds [/mm] betrachte, kann ich da sagen, dass ds = [mm] |\vec{v}|dt [/mm] ??
und damit weiterrechnen??
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Über das ds müßte ich nochmal nachdenken. [mm] \int\vec{F}ds [/mm] ergibt als ERgebnis so nen Vektor, das verstehe ich gradenicht ganz.
Aber zu dem v nochmal: Du mußt den gegebenen Pfad r(t) nach t ableiten, und das Ergebnis ist dann das v(t), ich hoffe, das ist klar. Es sieht hier nämlich so aus, als wenn du dieses v(t) so mit in das Integral schleppen willst. Das ist aber nicht so, in das Integral machst du tatsächlich die Ersetzung $ [mm] \vec [/mm] dr [mm] \mapsto \vektor{...\\...\\...}dt$
[/mm]
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