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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Fr 22.02.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo^^
Also ich hab hier ma so ne Aufgabe und hab versucht die auszurechnen,kann sie mir bitte jemand nachgucken?? =)
Gegeben ist die Kurvenschar [mm] f_{a}= \bruch{a-1}{3}*x^{3}-ax.
[/mm]
a)Führen die eine Kurvendiskussion durch.
b)Für welche [mm] a\not\in\IR [/mm] gibt es mehr als einen Schnittpunkt mit der x-Achse?
a)Kurvendiskussion:
1.Symmetrie: Punktsymmetrisch,da nur ungerade Exponenten.
2.Nullstellen:
[mm] x(\bruch{a-1}{3}*x^{2}-a)
[/mm]
[mm] x_{1}=0
[/mm]
[mm] \bruch{a-1}{3}*x^{2}-a=0
[/mm]
[mm] \bruch{a-1}{3}*x^{2}=a
[/mm]
[mm] a-1*3x^{2}=3a
[/mm]
[mm] 3x^{2}=2a+1
[/mm]
[mm] x^{2}=\bruch{2}{3}a+\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] x_{2}=\wurzel{\bruch{2}{3}a+\bruch{1}{3}}
[/mm]
Das sind dei beiden Nullstellen.Stimmt das so bis hierhin????
lg
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> 1.Symmetrie: Punktsymmetrisch,da nur ungerade Exponenten.
Richtig.
> 2.Nullstellen:
> [mm]x(\bruch{a-1}{3}*x^{2}-a)[/mm]
> [mm]x_{1}=0[/mm]
Sehr gut.
> [mm]\bruch{a-1}{3}*x^{2}-a=0[/mm]
> [mm]\bruch{a-1}{3}*x^{2}=a[/mm]
Bis hierher richtig.
> [mm]a-1*3x^{2}=3a[/mm]
Falsch. Es müsste
[mm](a-1)*x^{2}=3a[/mm]
heißen. [mm] \bruch{a-1}{3} [/mm] ist ein Faktor vor dem [mm] x^{3} [/mm] und somit verschwindet zum einen beim mal-drei-Rechnen einfach der Zähler des Bruches und damit hast du den ganzen linken Term mal 3 genommen.
Weiter einfach umformen in:
[mm]x^{2}=\bruch{3a}{a-1}[/mm]
Es gibt übrigens 2 Lösungen, da du die Wurzel ziehst!
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] +\wurzel{\bruch{3a}{a-1}}
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] -\wurzel{\bruch{3a}{a-1}}
[/mm]
Mit Hilfe dieser Lösungen wirst du auch b) leicht lösen können. Die Nullstelle 0 gibt's ja immer; nur wann gibt es wohl die anderen beiden Nullstellen? 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
danke^^
da an der Stelle war ich mir auch sehr unsicher ob die 3 vor das x gehört oder nicht.Ist das eigentlich immer so,dass wenn ein Ausdruck vor dem x steht das dass dann immer alles zum x gehört??Z.B [mm] \bruch{3}{4}x^{2}x^{3}. [/mm] Wenn hier jetzt mit 4 multiplitziert,wird dann [mm] x^{3} [/mm] auch mit 4 multipliziert oder nicht???
Okay und jetzt zurück zu der Aufgabe,als nächstes hab ich mal versucht die Extremalstellen auszurechnen:
[mm] f_{a}(x)=\bruch{a-1}{3}*x^{3}-ax
[/mm]
[mm] f'_{a}(x)=\bruch{a-1}{3}*3x^{2}-a=0
[/mm]
[mm] a-1*3x^{2}-3a=0
[/mm]
[mm] a-3x^{2}-3a=0
[/mm]
[mm] -2a=3x^{2}
[/mm]
[mm] \bruch{-2a}{3}=x^{2}
[/mm]
[mm] x=\wurzel{\bruch{-2a}{3}}
[/mm]
Dann in die 2.Ableitung einsetzen:
[mm] f''_{a}(x)=\bruch{a-1}{3}*6x
[/mm]
[mm] f''_{a}(x)=\bruch{a-1}{3}*6*(\wurzel{\bruch{-2a}{3}})
[/mm]
Ich glaub die Wurzel fällt hier einfach weg,weil ja aus einer Minuszahl nicht die Wurzel gezogenw erden kann.Also...
[mm] 6\bruch{a-1}{3}>0 [/mm] =>Tiefpunkt?
Wendepunkt:
f''(x)=0
[mm] \bruch{a-1}{3}*6x=0
[/mm]
a-6x=0
a=6x
[mm] \bruch{1}{6}a=x
[/mm]
[mm] f'''_{a}(x)=\bruch{a-1}{3}*6
[/mm]
Hier is ja gar kein x mehr also kann man es auch nicht einsetzen oder?
Dann gäbe es aber auch keinen Wendepunkt.
b)Für alle a>0 gibt es mehr als einen Schnittpunkt mit der x-Achse.
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> Ist das eigentlich immer
> so,dass wenn ein Ausdruck vor dem x steht das dass dann
> immer alles zum x gehört??Z.B [mm]\bruch{3}{4}x^{2}x^{3}.[/mm] Wenn
> hier jetzt mit 4 multiplitziert,wird dann [mm]x^{3}[/mm] auch mit 4
> multipliziert oder nicht???
Der allgemeine Satz:
Werden beide Seiten einer Gleichung mit einem Faktor multipliziert, so werden alle Summanden / Subtrahenden (auf beiden Seiten der Gleichung) mit dem Faktor multipliziert.
In Produkten also nicht nochmal jeder Faktor einzeln!
Beispiel:
a*b = a+b |*c
c*a*b = c*a + c*b
Extremstellen:
> [mm]f_{a}(x)=\bruch{a-1}{3}*x^{3}-ax[/mm]
> [mm]f'_{a}(x)=\bruch{a-1}{3}*3x^{2}-a=0[/mm]
Die Ableitung ist richtig, die Absicht mit 0 gleichzusetzen auch. Da du aber wieder das Produkt "aufgeteilt" hast, ist es falsch geworden.
(a-1) ist ein Faktor vor dem [mm] x^{2} [/mm] und muss auch so behandelt werden. Willst du ihn auflösen, so musst du rechnen:
[mm] (a-1)*x^{2} [/mm] = [mm] a*x^{2} [/mm] - [mm] 1*x^{2}
[/mm]
Also:
[mm]f'_{a}(x)=\bruch{a-1}{3}*3x^{2}-a=0[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]f'_{a}(x)=(a-1)*x^{2}-a=0[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]f'_{a}(x)=(a-1)*x^{2}=a[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]f'_{a}(x)=x^{2}=\bruch{a}{a-1}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
okay und jetzt setz ich das in die 2.Ableitung ein.
[mm] f''(x)=\bruch{a-1}{3}*6x
[/mm]
[mm] \bruch{a-1}{3}*6*(\wurzel{\bruch{a}{a-1}}
[/mm]
Ich weiß net genau ob man hier noch kürzen kann ich habs einfahc mal geamcht und bin auf [mm] 6\wurzel{a} [/mm] gekommen.Das wäre dann >0 und müsste ein Tiefpunkt sein oder ?^^
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Hallo,
das ist auf jeden Fall falsch gekürzt. Es ist
[mm] $$\bruch{a-1}{3}*6*\wurzel{\bruch{a}{a-1}}=\wurzel{a-1}*2*\wurzel{a}=2*\wurzel{a^2-a}$$
[/mm]
Dieser Ausdruck ist 0, wenn die Wurzel gleich 0 ist, d.h. für $a=0$ oder $a=1$. Für $a>1$ oder $a<0$ ist der Ausdruck positiv und für $0<a<1$ negativ.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Gut,aber ich versteh noch nicht so ganz wie du von
[mm] \bruch{a-1}{3}*6*(\wurzel{\bruch{a}{a-1}}) [/mm] auf
[mm] \wurzel{a-1}*2*\wurzel{a} [/mm] kommst?
Kannst du mir das bitte nochmal erklären,was du da genau gekürzt hast??^^
danke ;)
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Hallo Mandy,
> Gut,aber ich versteh noch nicht so ganz wie du von
>
> [mm]\bruch{a-1}{3}*6*(\wurzel{\bruch{a}{a-1}})[/mm] auf
> [mm]\wurzel{a-1}*2*\wurzel{a}[/mm] kommst?
>
> Kannst du mir das bitte nochmal erklären,was du da genau
> gekürzt hast??^^
> danke ;)
Zuerst kannst du die 6 mit dem [mm] \frac{1}{3} [/mm] zu 2 kürzen
Dann kannst du im ersten Bruch das a-1 schreiben als [mm] $\sqrt{a-1)}^2=\sqrt{(a-1)^2}$
[/mm]
Dann hast du [mm] 2\cdot{}\sqrt{(a-1)^2}\cdot{}\sqrt{\frac{a}{a-1}}=2\cdot{}\sqrt{\frac{(a-1)^2\cdot{}a}{a-1}}$ [/mm] denn [mm] $\sqrt{x}\cdot{}\sqrt{y}=\sqrt{x\cdot{}y}$
[/mm]
Dann kürzen und zusammenfassen:
[mm] $=2\cdot{}\sqrt{(a-1)\cdot{}a}=2\cdot{}\sqrt{a}\cdot{}\sqrt{a-1}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Okay danke das hab ich jetzt verstanden,aber mir ist noch nicht ganz klar warum man jetzt von [mm] \wurzel{a-1}*2*\wurzel{a}
[/mm]
auf [mm] 2*\wurzel{a^{2}-a} [/mm] kommt.Das [mm] a^{2} [/mm] versteh ich,weil man ja [mm] \wurzel{a}*\wurzel{a} [/mm] nimmt und das ist ja [mm] \wurzel{a^{2}},aber [/mm] wie kommt man auf -a,da steht doch -1 ???
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Hi nochmal,
> Okay danke das hab ich jetzt verstanden,aber mir ist noch
> nicht ganz klar warum man jetzt von
> [mm]\wurzel{a-1}*2*\wurzel{a}[/mm]
> auf [mm]2*\wurzel{a^{2}-a}[/mm] kommt.Das [mm]a^{2}[/mm] versteh ich,weil
> man ja [mm]\wurzel{a}*\wurzel{a}[/mm] nimmt und das ist ja
> [mm]\wurzel{a^{2}},aber[/mm] wie kommt man auf -a,da steht doch -1
> ???
Na, das geht genau nach dem Multiplikationsgesetz für Wurzeln, das ich oben hingeschrieben habe:
Nochmal: es ist [mm] $\sqrt{x}\cdot{}\sqrt{y}=\sqrt{x\cdot{}y}$
[/mm]
Also hier: [mm] $2\cdot{}\sqrt{a-1}\cdot{}\sqrt{a}=2\cdot{}\sqrt{(a-1)\cdot{}a}$
[/mm]
Dann die Klammer unter der Wurzel ausmultiplizieren:
[mm] $=2\cdot{}\sqrt{a\cdot{}a-1\cdot{}a}=2\cdot{}\sqrt{a^2-a}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,wenn man (a-1) ausmultipliziert, dann rechnet man doch a*a und muss dann nicht auch -1*-1 rechnen oder wie hast du das ausgeklammert??^^ (Ich weiß,ich stell manchmal Fragen,die echt bescheuert sind).
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Mandy,
nana, bescheuerte Fragen gibt's nicht, höchstens bescheuerte Antworten 
Also das nennt sich Distributivgesetz (DG), das kennste ganz sicher
Ich mach's mal in Farbe, dann siehtst du ganz deutlich, welche Faktoren mit welchen multipliziert werden.
Das DG gilt von "beiden Seiten", dh.
(1) von links: $\red{a}\cdot{}(\blue{b}\green{+}\blue{c}})=\red{a}\cdot{}\blue{b}\green{+}\red{a}\cdot{}\blue{c}$
(2) von rechts: $(\blue{a}\green{+}\blue{b})\cdot{}\red{c}=\blue{a}\cdot{}\red{c}\green{+}\blue{b}\cdot{}\red{c}$
Hier hast du das DG von rechts:
$(\blue{a}\green{+}\blue{(-1)})\cdot{}\red{a}=\blue{a}\cdot{}\red{a}\green{+}\blue{(-1)}\cdot{}\red{a}=a^2+(-a)=a^2-a$
Lieben Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:52 So 24.02.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Dankeschööön,jetzt hab ich es endlich verstanden^^echt lieb von dir ;)
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