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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Di 13.06.2006 | | Autor: | zeusiii |
| Aufgabe | Jeder der Funktionen f t (x) = -tx³+(t²+1)*x²+x : t IR+
hat eine Wendestelle . Für welchen Wert von t liegt die Wendestelle am nächsten bei Null ?
Gibt den zugehörigen Wendepunkt an. |
Hallo
Also der erste Schritt ist wohl erstmal die Klammer auflösen und danach die Ableitungen zu bilden ,die für die Wendestelle benötigt werden .
ft(x) = -tx³+t²x²+x²+x
ft ' (x)= -3tx² + 2t²x + 2x + 1
ft '' (x) = -6tx + 2t²+ 2
ft ''' (x) = -6t
dann die notw. und hinreichende Bedigung :
notw. Bed. f t '' (x) = 0
und
hinreich Bed. ft''(x)=0 ^ ft'''(x) [mm] \not=0
[/mm]
ft''(x)= 0
0 = -6tx + 2t²+ 2 /// umstellen usw.
x = [mm] \bruch{2}{3} [/mm] t
das Ergebnis in die 3 Ableitung setzen um zu sehen ob rechts oder linkskrümmung .
ft'''( [mm] \bruch{2}{3} [/mm] t )= - 6 t < 0 also Rechtskrümmung
danach den x-Wert [mm] \bruch{2}{3} [/mm] t in die Ursprungsfunktion einsetzen
um den y-Wert zu bekommen .
Bis hier hin kein Problem ,wie das geht liegt ja auf der Hand .
Wie aber errechne ich mit diesen Daten die Werte für t die am nächsten bei 0 liegen ?
freue mich auf Lösungsansätze .
An dieser Stelle auch mal ein grosses Lob an alle die mir geantwortet haben .
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, zeusiii,
> Jede der Funktionen f t (x) = -tx³+(t²+1)*x²+x : t
> IR+
> hat eine Wendestelle . Für welchen Wert von t liegt die
> Wendestelle am nächsten bei Null ?
>
> Gibt den zugehörigen Wendepunkt an.
> Hallo
>
> Also der erste Schritt ist wohl erstmal die Klammer
> auflösen
Die Klammer auflösen ist
a) unnötig
und
b) mit Sicherheit eher erschwerdend für das Ergebnis!
> und danach die Ableitungen zu bilden ,die für die
> Wendestelle benötigt werden .
>
> ft(x) = -tx³+t²x²+x²+x
> ft ' (x)= -3tx² + 2t²x + 2x + 1
> ft '' (x) = -6tx + 2t²+ 2
> ft ''' (x) = -6t
> dann die notw. und hinreichende Bedigung :
>
> notw. Bed. f t '' (x) = 0
> und
>
> hinreich Bed. ft''(x)=0 ^ ft'''(x) [mm]\not=0[/mm]
>
>
> ft''(x)= 0
>
> 0 = -6tx + 2t²+ 2 /// umstellen usw.
>
> x = [mm]\bruch{2}{3}[/mm] t
Siehst Du?!
Hättest Du die Klammer nicht ausmultipliziert, wär' Dir hier der Fehler wohl nicht passiert:
x = [mm] \bruch{t^{2}+1}{3t}
[/mm]
> das Ergebnis in die 3 Ableitung setzen um zu sehen ob
> rechts oder linkskrümmung .
>
> ft'''( [mm]\bruch{2}{3}[/mm] t )= - 6 t < 0
> also Rechtskrümmung
Unsinn! Mit Hilfe der 3.Ableitung kannst Du doch keine Krümmung feststellen! Zudem ist es ja geradezu die Regel, dass bei ganzrationalen Funktionen die Krümmung im Wendepunkt =0 ist.
> danach den x-Wert [mm]\bruch{2}{3}[/mm] t in die Ursprungsfunktion
> einsetzen
> um den y-Wert zu bekommen .
>
> Bis hier hin kein Problem ,wie das geht liegt ja auf der
> Hand .
Soso! Aber dafür sind doch ziemlich viele Ungereimtheiten in Deiner Rechnung!
> Wie aber errechne ich mit diesen Daten die Werte für t die
> am nächsten bei 0 liegen ?
Wenn Du Dich nicht vertippt hast und es wirklich um die WendeSTELLE geht (nicht um den WendePUNKT), dann musst Du nun nur noch ein Minimu der Funktion
x(t) = [mm] \bruch{t^{2}+1}{3t}
[/mm]
suchen.
(Zur Kontrolle: Ich krieg' raus: t=1)
mfG!
Zwerglein
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Also ich habe die x-Stelle des Wendepunktes ausgerechnet, und dann den zugehörigen y-Wert. Dann habe ich eine Funktion gebildet, die die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks bildet. die x-Stelle ist die untere Seite und der y-Wert die zur y-Achse parallele Seite. Und bei dieser Funktoin habe ich den Tiefpunkt berechnet, weil wir ja den kürzesten Abstand haben wollen. Dabei muss allerdings beachtet werden, dass t positiv sein muss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 Di 13.06.2006 | | Autor: | Teufel |
Ich geb nur einen Tipp: t [mm] \in \IR^{+}
[/mm]
:)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Di 13.06.2006 | | Autor: | zeusiii |
| Aufgabe | Für welchen Wert von t liegt die Wendestelle am nächsten bei NUll ??
Gib den zugehörigen Wendepunkt an . |
Na klar berechnet man mit der dritten Ableitung die Krümmung
Notwendige Bedingung für eine Wendestelle :
f '' (x) = 0
Hinreichende Bedingung für eine Wendestelle
f'' (x) = 0 ^ f ''' (x) [mm] \not= [/mm] 0
ich setze ,nachdem ich das x der 2. Ableitung ausgerechnet habe , in die 3. Ableitung für x ein . Da ich kein x mehr habe ist das Ergebnis -6t .
< 0 rechtskrümmung > 0 linkskrümmung .
das dazu .
Die Frage ist da so wie ich sie geschrieben habe in meinem Buch .
Da war mein Lob wohl etwas zu voreilig .
Schade hatte sonst immer Prima lösungsvorschläge .
Doch diesmal mehr noch mehr offene Fragen .
Für welchen Wert von t liegt die Wendestelle am nächsten bei NUll ??
Gib den zugehörigen Wendepunkt an .
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Es geht dabei um den Abstand vom Wendepunkt zur Nullstelle. Der soll so minimal wie möglich sein. Du kannst dir das visualisieren, indem du für t 1 einsetzt und ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypothenuse die Strecke vom Nullpunkt zum Wendepunkt ist, zeichnest. Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt kannst du den Satz des Phytagoras verwenden. 2 Seiten hast du gegeben. Einmal durch die x-stelle und den y-wert. Als folgenden Schritt bildest du eine Funktion, um den kleisten Abstand auszurechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Di 13.06.2006 | | Autor: | zeusiii |
so habe ich getan ,nur wie gehe ich jetzt vor ?
die Funktion lautet für t = 1
-x³+2*x²+x
die Wendekoordinaten sind für t = 1
( [mm] \bruch{2}{3} [/mm] / [mm] \bruch{50}{27} [/mm] )
und dann ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Di 13.06.2006 | | Autor: | zeusiii |
| Aufgabe | | komme nicht weiter :-( |
so habe ich getan ,nur wie gehe ich jetzt vor ?
die Funktion lautet für t = 1
-x³+2*x²+x
die Wendekoordinaten sind für t = 1
( $ [mm] \bruch{2}{3} [/mm] $ / $ [mm] \bruch{50}{27} [/mm] $ )
und dann ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 Di 13.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich denk chilledkroete hat nicht recht, es ist die Wendestelle wirklich gemeint, nicht der Wendepunkt, deshalb ist der Abstand einfach die x Koordinat des Wendepktes (Das andere wäre zu länglich)
du hast den Funktionswert bei x=2/3 falsch ausgerechnet mit [mm] +tx^{3}statt -tx^{3}. [/mm] Im übrigen bist du fertig!
Aber die dritte Ableitung gibt dir wirklich nicht die Krümmung! Oder hat die Parabel [mm] y=x^{2} [/mm] keine Krümmung?
Wendepunkt heisst doch: hier geht die Krümmung von einem Vorzeichen zum anderen, ist selbst also 0, die 3. Ableitung sagt dir ob sie von pos nach negativ geht f'''<0 oder umgekehrt.
Was fehlt dir denn sonst noch?
Gruss leduart
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t=1 nur um dir das ganze bildlich vorzustellen, man kann nämlich mit Hilfe eines rechtwinkligen Dreicks den Abstand des WPs vom Nullpunkt bestimmen. Rechnen musst du natürlich mit gegebenen Funktion.
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