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| Aufgabe | Man definiere die folgende Kurvenschar durch eine Differentialgleichung
[mm] \wurzel{1 + x^2} [/mm] + [mm] \wurzel{1 + y^2} [/mm] = c
Lösung: x [mm] \wurzel{1 + y^2} [/mm] + yy' [mm] \wurzel{1 + x^2} [/mm] = 0 |
Hallo !
Ich probiere gerade die obige Aufgabe zu lösen, jedoch weiß ich nicht genau wie ich hier vorgehn muss... ich muss wohl die Gleichung in y' = f(x,y) umformen
meine idee
[mm] \wurzel{1 + x^2} [/mm] + [mm] \wurzel{1 + y^2} [/mm] = c
[mm] \wurzel{1 + x^2} [/mm] + [mm] \wurzel{1 + y^2} [/mm] - c = 0
[mm] \bruch{d}{dx} [/mm] : [mm] \bruch{x}{\wurzel{1 + x^2}} [/mm] + [mm] \bruch{y}{\wurzel{1 + y^2}} [/mm] * y' = 0
y' = - [mm] \bruch{x * \wurzel{1 + y^2}}{\wurzel{1 + x^2} * y}
[/mm]
nun frag ich mich wie ich auf die obige lösung komme :)
Vielen dank für jede Hilfe
lG
David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Man definiere die folgende Kurvenschar durch eine
> Differentialgleichung
> [mm]\wurzel{1 + x^2}[/mm] + [mm]\wurzel{1 + y^2}[/mm] = c
> Lösung: x [mm]\wurzel{1 + y^2}[/mm] + yy' [mm]\wurzel{1 + x^2}[/mm] = 0
> Hallo !
>
> Ich probiere gerade die obige Aufgabe zu lösen, jedoch
> weiß ich nicht genau wie ich hier vorgehn muss... ich muss
> wohl die Gleichung in y' = f(x,y) umformen
>
> meine idee
>
> [mm]\wurzel{1 + x^2}[/mm] + [mm]\wurzel{1 + y^2}[/mm] = c
> [mm]\wurzel{1 + x^2}[/mm] + [mm]\wurzel{1 + y^2}[/mm] - c = 0
>
>
> [mm]\bruch{d}{dx}[/mm] : [mm]\bruch{x}{\wurzel{1 + x^2}}[/mm] +
> [mm]\bruch{y}{\wurzel{1 + y^2}}[/mm] * y' = 0
> y' = - [mm]\bruch{x * \wurzel{1 + y^2}}{\wurzel{1 + x^2} * y}[/mm]
>
> nun frag ich mich wie ich auf die obige lösung komme :)
Umformen.
Mir ist Sinn und Zweck dieser Aufgabe nicht klar, und der Egozentriker in mir fühlt sich jetzt versucht, sie völligen Schwachsinn zu nennen, aaaaaber Du kannst Dich beruhigt zurücklehnen (vielleicht mit einem Buch zu Gleichungsumformungen? =), denn Dein Ergebnis ist das gleiche wie die Lösung oben, nur eben umgeformt. ^^
ciao
Stefan
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| Aufgabe | Selbe Fragestellung wie oben:
Man definiere die folgende Kurvenschar durch eine DGL:
[mm] \bruch{x^2}{1+c} [/mm] + [mm] \bruch{y^2}{c} [/mm] = 1
Lösung:
xyy'' + [mm] x(y')^2 [/mm] - yy' = 0 |
danke :) irgendwie hab ich da wohl etwas übersehen :)
zu einer ähnlichen Aufgabe...
wie gehe ich hier vor?
[mm] \bruch{x^2}{1+c} [/mm] + [mm] \bruch{y^2}{c} [/mm] = 1
/ * c
[mm] \bruch{x^2 *c}{1+c} [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = c
/ * (1 + c)
[mm] x^2 [/mm] * c + [mm] y^2 [/mm] * (1 + c) = c + [mm] c^2
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dx} x^2 [/mm] * c + [mm] \bruch{d}{dx} y^2 [/mm] * (1 + c) = [mm] \bruch{d}{dx} [/mm] c + [mm] c^2
[/mm]
2 * x * c + 2y * (1 + c) * y' = 0
aber was mache ich nun?
lg
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Hallo davidoffff,
> Selbe Fragestellung wie oben:
> Man definiere die folgende Kurvenschar durch eine DGL:
> [mm]\bruch{x^2}{1+c}[/mm] + [mm]\bruch{y^2}{c}[/mm] = 1
> Lösung:
> xyy'' + [mm]x(y')^2[/mm] - yy' = 0
> danke :) irgendwie hab ich da wohl etwas übersehen :)
> zu einer ähnlichen Aufgabe...
> wie gehe ich hier vor?
>
> [mm]\bruch{x^2}{1+c}[/mm] + [mm]\bruch{y^2}{c}[/mm] = 1
> / * c
>
> [mm]\bruch{x^2 *c}{1+c}[/mm] + [mm]y^2[/mm] = c
> / * (1 + c)
> [mm]x^2[/mm] * c + [mm]y^2[/mm] * (1 + c) = c + [mm]c^2[/mm]
>
> [mm]\bruch{d}{dx} x^2[/mm] * c + [mm]\bruch{d}{dx} y^2[/mm] * (1 + c) =
> [mm]\bruch{d}{dx}[/mm] c + [mm]c^2[/mm]
>
> 2 * x * c + 2y * (1 + c) * y' = 0
Die Gleichung
[mm]2 * x * c + 2y * (1 + c) * y' = 0[/mm]
ist nochmals zu differenzieren.
Nach der Differentiation ist das gewonnene c, das aus der Gleichung
[mm]2 * x * c + 2y * (1 + c) * y' = 0[/mm]
bestimmt wurde, in die Gleichung
[mm]\bruch{d}{dx}\left( \ 2 * x * c + 2y * (1 + c) * y' \ \right)=0[/mm]
einzusetzen.
>
> aber was mache ich nun?
>
> lg
Gruss
MathePower
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Hallo!
Danke für die rasche Antwort
also die erste Ableitung ist umzuformen sodass ich c erhalte
x * c + y' + yy'c = 0
c * (x + yy') = - y'
c = - [mm] \bruch{y'}{x+yy'}
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dx} [/mm] (x * c + y(1+c)y') = 0
c einsetzen
[mm] \bruch{d}{dx} (\bruch{-xy'}{x+yy'} [/mm] + [mm] y(1-\bruch{y'}{x+yy'})y') [/mm] = 0
[mm] \bruch{d}{dx} (\bruch{-xy'}{x+yy'} [/mm] + yy' - [mm] \bruch{yy'y'}{x+yy'} [/mm] = 0
[mm] \bruch{d}{dx} (\bruch{-xy'}{x+yy'} [/mm] + yy' - [mm] \bruch{yy'y'}{x+yy'} [/mm] = 0
nun tu ich mir aber irgendwie schwer beim ableiten. wie würde man zb
[mm] \bruch{d}{dx} [/mm] (yy') ableiten????
lg
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Hallo davidoffff,
> Hallo!
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> Danke für die rasche Antwort
>
> also die erste Ableitung ist umzuformen sodass ich c
> erhalte
>
> x * c + y' + yy'c = 0
> c * (x + yy') = - y'
> c = - [mm]\bruch{y'}{x+yy'}[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{d}{dx}[/mm] (x * c + y(1+c)y') = 0
> c einsetzen
>
> [mm]\bruch{d}{dx} (\bruch{-xy'}{x+yy'}[/mm] +
> [mm]y(1-\bruch{y'}{x+yy'})y')[/mm] = 0
> [mm]\bruch{d}{dx} (\bruch{-xy'}{x+yy'}[/mm] + yy' -
> [mm]\bruch{yy'y'}{x+yy'}[/mm] = 0
>
> [mm]\bruch{d}{dx} (\bruch{-xy'}{x+yy'}[/mm] + yy' -
> [mm]\bruch{yy'y'}{x+yy'}[/mm] = 0
>
> nun tu ich mir aber irgendwie schwer beim ableiten. wie
> würde man zb
> [mm]\bruch{d}{dx}[/mm] (yy') ableiten????
Ich habe das so gemeint:
Differenziere die Gleichung
[mm] \left(1\right) \ x * c + y' + yy'c = 0 [/mm]
nach x und Du erhältst
[mm]\left(2\right) c+ y'' + c*\left(y'^{2}+y*y''\right)=0[/mm]
Setze in diese Gleichung dasjenige c an,
das Du aus (1) gewonnen hast.
>
> lg
>
Gruss
MathePower
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