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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Diskutieren Sie die Funktionenschar [mm] f_{t}(x)=t(1+sin(tx)) [/mm] mit t>0 für den Bereich eines Periodenintervalls. |
Hallo zusammen^^
Ich hab hier diese Aufgabe mit Lösung,hab aber noch einige Fragen zur Lösung,weil ich das nicht ganz verstehe.
1) Als Lösung für Periode ist angegeben [mm] p=\bruch{2\pi}{t}.
[/mm]
Die Periode von sinx ist ja [mm] 2\pi,aber [/mm] hier ist noch durch t dividiert.
Ist es immer so,dass man bei einer Schar die normale Periode durch t dividiert?
2)Die Lösung für die Nullstellen lautet:
t(1+sin(tx))=0
sin(tx)=-1
[mm] tx=\bruch{3\pi}{2t}
[/mm]
Jetzt wurde hier eine Periode dazu gerechnet,ist ja auch klar,weil man sonst im Minusbereich wäre,aber warum addieren man jetzt nur [mm] +2\pi [/mm] und nicht [mm] +\bruch{2\pi}{t},weil [/mm] die Periode ist doch [mm] p=\bruch{2\pi}{t} [/mm] ?
3) Für die Berechnung der Extrema ist [mm] f_{t}'(x)=t^{2}cos(tx)=0
[/mm]
cos(tx)=0
[mm] tx=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
das ist klar,jetzt kommt aber noch
[mm] tx=\bruch{3\pi}{2}
[/mm]
Warum wird jetzt nur [mm] +\pi [/mm] addiert und nicht [mm] 2\pi,die [/mm] Periode ist doch [mm] 2\pi?
[/mm]
Bei den Nullstellen wurde [mm] 2\pi [/mm] addiert und hier nur [mm] \pi,ich [/mm] versteh nicht warum???
Ich hoffe ihr könnt meine Fragen beantworten,
vielen dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 So 23.11.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Mandy,
mit den Perioden kann man schon etwas durcheinander kommen und ich glaube, das ist auch bei Deiner Aufgabe passiert. Generell gilt, dass das Argument der Sinusfunktion eine Periode von 2 Pi aufweist, wird der Sinus nun gedehnt oder gestaucht, in Deinem Beispiel durch den Faktor t, so ändert sich die Periodendauer, wie Du ja auch richtig geschrieben hast. Ein paar "t" geistern da aber teilweise zu viel durch die Rechnung und deswegen schreibe ich mal meine Kommentare in Deinen Beitrag rein, dann sind sie gleich an der richtigen Stelle.
Viele Grüße,
Infinit
> Diskutieren Sie die Funktionenschar [mm]f_{t}(x)=t(1+sin(tx))[/mm]
> mit t>0 für den Bereich eines Periodenintervalls.
> Hallo zusammen^^
>
> Ich hab hier diese Aufgabe mit Lösung,hab aber noch einige
> Fragen zur Lösung,weil ich das nicht ganz verstehe.
>
> 1) Als Lösung für Periode ist angegeben [mm]p=\bruch{2\pi}{t}.[/mm]
> Die Periode von sinx ist ja [mm]2\pi,aber[/mm] hier ist noch durch
> t dividiert.
> Ist es immer so,dass man bei einer Schar die normale
> Periode durch t dividiert?
Wie oben bereits angedeutet, bezieht sich die 2-Pi-Periodizität auf das gesamte Argument der Sinusfunktion, es gilt also
$$ t x = 2 [mm] \pi [/mm] $$ und daraus folgt die Aussage über die Periodizität in Abhängigkeit des Parameters t.
> 2)Die Lösung für die Nullstellen lautet:
> t(1+sin(tx))=0
> sin(tx)=-1
> [mm]tx=\bruch{3\pi}{2t}[/mm]
> Jetzt wurde hier eine Periode dazu gerechnet,ist ja auch
> klar,weil man sonst im Minusbereich wäre,aber warum
> addieren man jetzt nur [mm]+2\pi[/mm] und nicht
> [mm]+\bruch{2\pi}{t},weil[/mm] die Periode ist doch
> [mm]p=\bruch{2\pi}{t}[/mm] ?
>
Hier sind irgendwie ein paar t zuviel im Spiel. Du möchtest wissen, wann
$$ [mm] \sin [/mm] (tx) = - 1 $$ ist und das ist dann der Fall, wenn das Argument des Sinus den Wert [mm] \bruch{3 \pi}{2} [/mm] annimmt.
Das ist der Fall für
$$ x = [mm] \bruch{3 \pi}{2 t} [/mm] $$, das t taucht an der richtigen Stelle auf und Du kannst nun mit gutem Gewissen weitere Vielfache der Periodendauer von [mm] \bruch{2 \pi}{t} [/mm] dazuaddieren.
> 3) Für die Berechnung der Extrema ist
> [mm]f_{t}'(x)=t^{2}cos(tx)=0[/mm]
> cos(tx)=0
> [mm]tx=\bruch{\pi}{2}[/mm]
> das ist klar,jetzt kommt aber noch
>
> [mm]tx=\bruch{3\pi}{2}[/mm]
> Warum wird jetzt nur [mm]+\pi[/mm] addiert und nicht [mm]2\pi,die[/mm]
> Periode ist doch [mm]2\pi?[/mm]
> Bei den Nullstellen wurde [mm]2\pi[/mm] addiert und hier nur
> [mm]\pi,ich[/mm] versteh nicht warum???
>
Hier geht es nicht um die Periodizität der Funktion, sondern darum, möglichst alle Nullstellen zu finden. Innerhalb einer Periode von [mm] 2 \pi [/mm] hat der Cosinus zwei Nulldurchgänge (schau Dir die Kurve mal an bei 90 Grad und bei 270 Grad) und die sind um [mm] \pi [/mm] voneinander versetzt.
> Ich hoffe ihr könnt meine Fragen beantworten,
> vielen dank
>
> lg
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ok vielen dank,das hat mir schon weitergeholfen^^
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