Kurze Fragen zu Unabhängigkeit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:52 Do 01.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | (a) Wenn X uniform verteilt ist auf dem Intervall [-1,1], sind dann X und [mm] X^2 [/mm] unabhängig?
(b) Wenn [mm] X:=1_A [/mm] und [mm] Y:=1_B [/mm] Indikatorfunktionen sind mit E[XY]=E[X]E[Y], sind dann X und Y unabhängig?
(c) Wenn X und Y unabhängige Zufallsvariablen sind, sind dann auch [mm] X^2 [/mm] und [mm] Y^2 [/mm] unabhängig? |
Nabend Leute,
also okay meine Überlegungen bisher:
zu (a): Hierbei weiß ich mir gar nich zu helfen. Ich weiß nicht wirklich was die Unabhängigkeit mit der Verteilungsfunktion zu tun hat?!
zu (b): Es ist ja [mm] P[A\cap{B}]=E[1_{A\cap{B}}]=E[XY]=E[X]E[Y]=E[1_A]E[1_B]=P[A]P[B] [/mm] und damit sind A und B unabhängig, aber kann ich daraus auch die Unabhängigkeit von X und Y schließen?
zu (c): Hier könnte man mit dem Blockungslemma argumentieren, dass die Aussage stimmt, aber da bin ich mir auch nicht ganz sicher.
Wär klasse, wenn jemand helfen könnt!
Besten Dank schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:20 Fr 02.07.2010 | | Autor: | gfm |
> (a) Wenn X uniform verteilt ist auf dem Intervall [-1,1],
> sind dann X und [mm]X^2[/mm] unabhängig?
> (b) Wenn [mm]X:=1_A[/mm] und [mm]Y:=1_B[/mm] Indikatorfunktionen sind mit
> E[XY]=E[X]E[Y], sind dann X und Y unabhängig?
> (c) Wenn X und Y unabhängige Zufallsvariablen sind, sind
> dann auch [mm]X^2[/mm] und [mm]Y^2[/mm] unabhängig?
> Nabend Leute,
> also okay meine Überlegungen bisher:
>
> zu (a): Hierbei weiß ich mir gar nich zu helfen. Ich weiß
> nicht wirklich was die Unabhängigkeit mit der
> Verteilungsfunktion zu tun hat?!
Was haben Deine Recherchen zur Defnition der Unabhängigkeit und den daraus folgenden Implikationen bisher ergeben und wo hast Du recherchiert?
>
> zu (b): Es ist ja
> [mm]P[A\cap{B}]=E[1_{A\cap{B}}]=E[XY]=E[X]E[Y]=E[1_A]E[1_B]=P[A]P[B][/mm]
> und damit sind A und B unabhängig, aber kann ich daraus
> auch die Unabhängigkeit von X und Y schließen?
Wie lautet die Definition für die Unabhängigkeit einer Familie von Zufallsvariablen?
>
> zu (c): Hier könnte man mit dem Blockungslemma
> argumentieren, dass die Aussage stimmt, aber da bin ich mir
> auch nicht ganz sicher.
Wie lauten denn die Voraussetzungen des Lemmas?
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Fr 02.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay also ich hab mir nochmal das Skript vorgenommen und bin jetzt sicher, dass die Aussagen (b) und (c) stimmen, da die Voraussetzungen der Definition bzw. des Lemmas erfüllt sind.
Es fehlt aber noch die Aussage (a).
Ich weiß inzwischen, dass Unabhängigkeit auch daraus folgt, dass [mm] P[X\le{s},X^2\le{t}]=P[X\le{s}]\cdot{}P[X^2\le{t}].
[/mm]
Nun ist ja [mm] F_{X^2}(t)=P[X^2\le{t}]=P[|X|\le{\wurzel{t}}]=F_X(\wurzel{t})=\begin{cases} \bruch{\wurzel{t}+1}{2}\text{ für } 0\le{\wurzel{t}}<1\\ 1\text{ für }\wurzel{t}>1\end{cases}
[/mm]
Stimmt das schon mal??
Dann weiß ich jetzt nicht wie ich das anwende, d.h. was ist denn [mm] P[X\le{s},X^2\le{t}] [/mm] und wie prüf ich nun die Unabhängigkeit nach??
Vielen Dank schon mal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:08 Fr 02.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Okay also ich hab mir nochmal das Skript vorgenommen und
> bin jetzt sicher, dass die Aussagen (b) und (c) stimmen, da
> die Voraussetzungen der Definition bzw. des Lemmas erfüllt
> sind.
>
> Es fehlt aber noch die Aussage (a).
> Ich weiß inzwischen, dass Unabhängigkeit auch daraus
> folgt, dass
> [mm]P[X\le{s},X^2\le{t}]=P[X\le{s}]\cdot{}P[X^2\le{t}].[/mm]
Sehr gut.
>
> Nun ist ja
> [mm]F_{X^2}(t)=P[X^2\le{t}]=P[|X|\le{\wurzel{t}}]=F_X(\wurzel{t})=\begin{cases} \bruch{\wurzel{t}+1}{2}\text{ für } 0\le{\wurzel{t}}<1\\ 1\text{ für }\wurzel{t}>1\end{cases}[/mm]
>
> Stimmt das schon mal??
>
Für [mm] \wurzel{t}\le1:
[/mm]
[mm] P[|X|\le{\wurzel{t}}]=P(-\wurzel{t}\le X\le\wurzel{t})=P(X\le\wurzel{t})-P(X<-\wurzel{t})=P(X\le\wurzel{t})-(P(X\le-\wurzel{t})-P(X=\wurzel{t}))
[/mm]
[mm] =P(X\le\wurzel{t})-P(X\le-\wurzel{t})=1/2\wurzel{t}+1/2-(-1/2\wurzel{t}+1/2)=\wurzel{t}
[/mm]
> Dann weiß ich jetzt nicht wie ich das anwende, d.h. was
> ist denn [mm]P[X\le{s},X^2\le{t}][/mm] und wie prüf ich nun die
> Unabhängigkeit nach??
Was folgt aus [mm] (X\le{s}) \wedge (X^2\le{t})?
[/mm]
> Vielen Dank schon mal!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Fr 02.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Achja stimmt, X ist ja nicht auf [0,1], sondern auf [-1,1] uniform verteilt! Dank dir!
> Was folgt aus [mm](X\le{s}) \wedge (X^2\le{t})?[/mm]
Genau da hab ich die Probleme! Ich weiß nicht, was ich damit anfangen soll?!
Kannst du an Tipp geben wie das geht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Fr 02.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Achja stimmt, X ist ja nicht auf [0,1], sondern auf [-1,1]
> uniform verteilt! Dank dir!
>
> > Was folgt aus [mm](X\le{s}) \wedge (X^2\le{t})?[/mm]
>
> Genau da hab ich die Probleme! Ich weiß nicht, was ich
> damit anfangen soll?!
> Kannst du an Tipp geben wie das geht?
>
Was folgt für a aus [mm] a\le [/mm] p und [mm] a^2\le [/mm] q?
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Fr 02.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
> Was folgt für a aus [mm]a\le[/mm] p und [mm]a^2\le[/mm] q?
Daraus folgt [mm] a\le{p} [/mm] und [mm] -\wurzel{q}\le{a}\le{\wurzel{q}}.
[/mm]
Ich steh glaub ich auf der Leitung, denn ich weiß imme rnoch nicht wirklich, wo die Reise hin soll?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:57 Fr 02.07.2010 | | Autor: | gfm |
> > Was folgt für a aus [mm]a\le[/mm] p und [mm]a^2\le[/mm] q?
>
> Daraus folgt [mm]a\le{p}[/mm] und [mm]-\wurzel{q}\le{a}\le{\wurzel{q}}.[/mm]
Also [mm] a\in (-\infty,p]\cap [-\wurzel{q},\wurzel{q}], [/mm] oder?
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Fr 02.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Ähm... ja eigentlich schon :).
Okay aslo, wenn ich das dann auf unsere ursprüngliche Gleichung übertrage, dann krieg ich raus, dass X und [mm] X^2 [/mm] nicht unabhängig sein können, denn es gilt:
[mm] P[-\wurzel{q}\le{X}\le{\wurzel{q}}]=\bruch{\wurzel{q}+1}{2}+\bruch{\wurzel{q}+1}{2}=\wurzel{q}+1\not=\bruch{p+1}{2}\wurzel{q}=P[X\le{p}]\cdot{}P[X^2\le{q}]
[/mm]
bzw.
[mm] P[-\wurzel{q}\le{X}\le{p}]=\bruch{p+1}{2}+\bruch{\wurzel{q}+1}{2}=\bruch{p+\wurzel{q}+2}{2}\not=\bruch{p+1}{2}\wurzel{q}=P[X\le{p}]\cdot{}P[X^2\le{q}]
[/mm]
Passt das dann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Fr 02.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Ähm... ja eigentlich schon :).
> Okay aslo, wenn ich das dann auf unsere ursprüngliche
> Gleichung übertrage, dann krieg ich raus, dass X und [mm]X^2[/mm]
> nicht unabhängig sein können, denn es gilt:
>
> [mm]P[-\wurzel{q}\le{X}\le{\wurzel{q}}]=\bruch{\wurzel{q}+1}{2}+\bruch{\wurzel{q}+1}{2}=\wurzel{q}+1\not=\bruch{p+1}{2}\wurzel{q}=P[X\le{p}]\cdot{}P[X^2\le{q}][/mm]
>
> bzw.
>
> [mm]P[-\wurzel{q}\le{X}\le{p}]=\bruch{p+1}{2}+\bruch{\wurzel{q}+1}{2}=\bruch{p+\wurzel{q}+2}{2}\not=\bruch{p+1}{2}\wurzel{q}=P[X\le{p}]\cdot{}P[X^2\le{q}][/mm]
>
> Passt das dann?
[mm] P(\{X\le s\}\cap\{X^2\le t\})=P(\{X\in (-\infty,s]\cap[-\wurzel{t},\wurzel{t}]\})
[/mm]
[mm] (-\infty,s]\cap[-\wurzel{t},\wurzel{t}]=\begin{cases} \emptyset, \mbox{für } s<-\wurzel{t}\\ [-\wurzel{t}, \min(s,\wurzel{t})], \mbox{für }s\ge-\wurzel{t}\end{cases}
[/mm]
[mm] P(\{X\le s\}\cap\{X^2\le t\})=1_{[-\wurzel{t},\infty)}(s)P(\{X\in[-\wurzel{t}, \min(s,\wurzel{t})]\})
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Fr 02.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Ja okay das hab ich kapiert, besten Dank schon mal dafür.
Aber der Teil [mm] P(\{X\in[-\wurzel{t}, \min(s,\wurzel{t})]\}) [/mm] hab ich ja dann ausgeführt und da wollt ich noch wissen, ob das so passt?
Oder wie würd man das sonst aufschreiben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Fr 02.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Ja okay das hab ich kapiert, besten Dank schon mal dafür.
>
>
> Aber der Teil [mm]P(\{X\in[-\wurzel{t}, \min(s,\wurzel{t})]\})[/mm]
> hab ich ja dann ausgeführt und da wollt ich noch wissen,
> ob das so passt?
>
> Oder wie würd man das sonst aufschreiben?
So z.B.:
I.A. ist [mm] 1_{[-\wurzel{t},\infty)}(s)P(\{X\in[-\wurzel{t}, \min(s,\wurzel{t})]\})\not=P(\{X\le s\})*P(\{X^2\le t\}), [/mm] da die linke Seite verschwindet sobald [mm] s<-\wurzel{t}, [/mm] was aber nicht für die rechte Seite gilt.
LG
gfm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Fr 02.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Ähm... ja eigentlich schon :).
> Okay aslo, wenn ich das dann auf unsere ursprüngliche
> Gleichung übertrage, dann krieg ich raus, dass X und [mm]X^2[/mm]
> nicht unabhängig sein können, denn es gilt:
>
> [mm]P[-\wurzel{q}\le{X}\le{\wurzel{q}}]=\bruch{\wurzel{q}+1}{2}+\bruch{\wurzel{q}+1}{2}=\wurzel{q}+1\not=\bruch{p+1}{2}\wurzel{q}=P[X\le{p}]\cdot{}P[X^2\le{q}][/mm]
[mm] P[-\wurzel{q}\le{X}\le{\wurzel{q}}]=\bruch{\wurzel{q}+1}{2}-\bruch{-\wurzel{q}+1}{2}=...
[/mm]
Entsprechend für das andere auch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:10 Sa 03.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Alles klar dann wär das auch geklärt!
Herzlichen Dank für die Hilfe.
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