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| Aufgabe | Betrachte [mm] $V:=C([a,b],\IR)$, [/mm] den Raum aller stetigen Funktionen [mm] $f:[a,b]\to\IR$ [/mm] mit den beiden Normen [mm] $||..||_m:V\to \IR,f->\max\{|f(x)|, x \in [a,b]\}$ [/mm] und [mm] $||..||_i:V\to\IR:f\to\integral_{a}^{b}{|f(x)| dx}$
[/mm]
1) Zeige, dass jede offene Menge im Sinne von [mm] $||..||_i$ [/mm] auch offen im Sinne von [mm] $||..||_m$ [/mm] ist.
2) Zeige, dass die Umkehrung nicht gilt. (Hinweis zu dem zweiten: Konstruiere eine Nullfolge im Sinne von [mm] $||..||_i$, [/mm] die aber keine Nullfolge im Sinne von [mm] $||..||_m$ [/mm] ist.) |
Hallo, alle,
möchte mal wissen, ob ich die 2) so richtig gelöst habe:
[mm] $(f_n)_{n \in \IN}=\integral_0^1|x*n^{-1}|\,dx=1/2x^{2}n^{-1}=1/2n^{-1}\to [/mm] 0$ für [mm] $n\to \infty$;
[/mm]
aber
[mm] $\max\{|x*n^{-1}|;x \in [a,b]\}=\max\{|x|;x \in [a,b]\}=1\to 1\not= [/mm] 0$ für [mm] $n\to \infty$
[/mm]
Stimmt das?
Aber meine wirkliche Frage: Warum klappt das, wenn man so eine Folge findet?
Danke, Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Mo 28.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Betrachte [mm]V:=C([a,b],\IR)[/mm], den Raum aller stetigen
> Funktionen [mm]f:[a,b]\to\IR[/mm] mit den beiden Normen
> [mm]||..||_m:V\to \IR,f->\max\{|f(x)|, x \in [a,b]\}[/mm] und
> [mm]||..||_i:V\to\IR:f\to\integral_{a}^{b}{|f(x)| dx}[/mm]
>
> 1) Zeige, dass jede offene Menge im Sinne von [mm]||..||_i[/mm] auch
> offen im Sinne von [mm]||..||_m[/mm] ist.
>
> 2) Zeige, dass die Umkehrung nicht gilt. (Hinweis zu dem
> zweiten: Konstruiere eine Nullfolge im Sinne von [mm]||..||_i[/mm],
> die aber keine Nullfolge im Sinne von [mm]||..||_m[/mm] ist.)
> Hallo, alle,
>
> möchte mal wissen, ob ich die 2) so richtig gelöst habe:
>
> [mm]\red{(f_n)_{n \in \IN}=\integral_0^1|x*n^{-1}|\,dx}=1/2x^{2}n^{-1}=1/2n^{-1}\to 0[/mm]
> für [mm]n\to \infty[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
;
Notation! Du meinst sicher:
Mit $(f_n(x))_{n \in \IN}:\equiv (x *n^{-1})_{n \in \IN}$ (d.h. hier $f_n:[0,1] \to \IR$ mit $[0,1] \ni x \mapsto f_n(x):=x*n^{-1}$ ($n \in \IN$)) gilt
$$\|f_n\|_i=\int_0^1 x*n^{-1}dx=\ldots$$
> $=\integral_0^1|x*n^{-1}|\,dx}=1/2\red{x}^{2}n^{-1}=1/2n^{-1}$
kleiner Mangel:
$$=\ldots=\left.1/2 x^2 n^{-1}\right|_{x=0}^{x=1}=1/2 n^{-1} \to 0$$
> aber
$$\blue{\|f_n\|_m}=$$
> [mm]\max\{|x*n^{-1}|;x \in [a,b]\}=\max\{|x|;x \in [a,b]\}\red{=}1\to 1\not= 0[/mm]
> für [mm]n\to \infty[/mm]
>
> Stimmt das?
Nicht wirklich. Es ist doch $x [mm] \mapsto x*n^{-1}$ [/mm] monoton wachsend auf [mm] $[a,b]\,$ [/mm] (wenn $n [mm] \in \IN$ [/mm] beliebig, aber fest ist), also nimmt $x [mm] \mapsto |x*n^{-1}|$ [/mm] sein Maximum an [mm] $a\,$ [/mm] oder an [mm] $b\,$ [/mm] an. Daher ist [mm] $\|f_n\|_m=\text{max}\{|a|*n^{-1},\;|b|*n^{-1}\}=\text{max}\{|a|,\;|b|\}/n \to 0\,.$ [/mm]
Und damit man wenigstens [mm] $\|f_n\|_m \ge [/mm] 1$ behaupten könnte, sollte z.B. [mm] $x=n\,$ [/mm] oder [mm] $x=-n\,$ [/mm] in $[0,1]$ liegen ($n [mm] \in \IN$) [/mm] (man kann auch weniger verlangen, denke an Häufungspunkte!), was aber sicher nicht der Fall ist, wie Du sofort für [mm] $n=2\;$ [/mm] selbst einsehen solltest.
Nun aber zur Konstruktion einer passenderen Folge:
Zeichne dir das kartesische Koordinatensystem, so dass Du wenigstens $[0,1] [mm] \times [/mm] [0,1]$ sehen kannst. An $x=0,5$ sei [mm] $f_n(x)=1$, [/mm] und zwar für alle $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Damit ist schonmal [mm] $\|f_n\|_m \ge f_n(0,5)=1$ [/mm] und damit [mm] $\|f_n\|_m \not\to [/mm] 0$ gewährleistet.
Jetzt folgendes:
Ich beschreibe Dir den Graph der Funktionen (es sind "in der Mitte immer spitzer werdende Dächer, und die Funktionswerte außerhalb des Dachstücks des Definitionsbereichs sind alle Null"), und Du schreibst die entsprechenden [mm] $f_n$ [/mm] auf:
Der Graph von [mm] $f_n$ [/mm] sieht aus für
[mm] $\bullet\;\; [/mm] n=1:$ gerade Linie von [mm] $(0\;|\;0)$ [/mm] zu [mm] $(0,5\;|\;1)$ [/mm] und dann von [mm] $(0,5\;|\;1)$ [/mm] zu [mm] $(1\;|\;0)$
[/mm]
[mm] $\bullet\;\; [/mm] n=2:$ gerade Linie von [mm] $(0\;|\;0)$ [/mm] zu [mm] $(0,5-0,5/2\;|\;0)=(0,25\;|\;0)$, [/mm] dann von [mm] $(0,5-0,5/2\;|\;0)=(0,25\;|\;0)\;$ [/mm] zu [mm] $(0,5\;|\;1)$; [/mm] Rest Spiegelsymmetrisch zu der Achse $x=0,5$ (Parallele zur [mm] $y-\,$Achse)
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] ...
[mm] $\bullet$ [/mm] ...
[mm] $\bullet$ [/mm] ...
[mm] $\bullet\;\; [/mm] n=k:$ gerade Linie von [mm] $(0\;|\;0)$ [/mm] zu [mm] $(0,5-0,5/2^{k-1}\;|\;0)$, [/mm] dann von [mm] $(0,5-0,5/2^{k-1}\;|\;0)$ [/mm] zu [mm] $(0,5\;|\;1)$; [/mm] Rest Spiegelsymmetrisch zu der Achse $x=0,5$ (Parallele zur [mm] $y-\,$Achse)
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] ...
[mm] $\bullet$ [/mm] ...
[mm] $\bullet$ [/mm] ...
Diese [mm] $f_n$ [/mm] sind offenbar alle stetig (Warum?) und auf [mm] $[0,1]\,$ [/mm] definiert. (Spätestens, wenn Du die Funktionsgleichungen aufschreibst, wirst Du das sehen). Sie nehmen alle Ihr Maximum an [mm] $x=0,5\,$ [/mm] an (d.h. es gilt sogar [mm] $\|f_n\|_m=f_n(0,5)=1$ [/mm] für jedes [mm] $n\;$), [/mm] und zudem gilt die folgende Abschätzung (Du kannst die Integrale auch genau(er) ausrechnen, wenn Du magst, aber diese Abschätzung reicht uns):
[mm] $$\int_0^1 |f_n(x)|dx=\int_0^1 f_n(x)dx=2*\int_0^{0,5}f_n(x)dx=2*\int_{0,5-0,5/2^{n-1}}^{0,5}f_n(x)dx \le 2*(0,5-(0,5-0,5/2^{n-1}))\|f_n\|_m=2*\frac{0,5}{2^{n-1}}=1/2^{n-1} \to 0\,.$$
[/mm]
> Aber meine wirkliche Frage: Warum klappt das, wenn man so
> eine Folge findet?
Die Normen induzieren ja jeweils einen metrischen Raum [mm] $(C([a,b],\IR),d_{\|.\|_m})$ [/mm] und [mm] $(C([a,b],\IR),d_{\|.\|_i})\,.$ [/mm] In einem metrischen Raum ist eine Menge genau dann abgeschlossen, wenn das Komplement offen ist.
Nun betrachte die Menge [mm] $A=\overline{\{f_n\}} \subset C([0,1],\IR)$, [/mm] wobei dieser Abschluss bzgl. [mm] $\|.\|_m$ [/mm] (genauer: [mm] $d_{\|.\|_m}$) [/mm] gemeint ist. Mit [mm] ${\bf 0}(x):\equiv [/mm] 0$ ($x [mm] \in [/mm] [0,1]$) ist wegen
[mm] $$\|{\bf 0}-f_n\|_m=1$$
[/mm]
dann sicher [mm] ${\bf 0}$ [/mm] kein Häufungspunkt von [mm] $\{f_n\}$ [/mm] (bzgl. [mm] $\|.\|_m$), [/mm] so dass [mm] ${\bf 0} \in \mathcal{O}:=A^c$ [/mm] gelten muss, wobei [mm] $\mathcal{O}$ [/mm] als Komplement einer abgeschlossenen Menge offen ist (bzgl. [mm] $\|.\|_m$).
[/mm]
Andererseits kann aber [mm] $\mathcal{O}$ [/mm] bzgl. [mm] $\|.\|_i$ [/mm] nicht offen sein, denn wegen [mm] $\|f_n-{\bf 0}\|_i \to {\bf 0}$ [/mm] (beachte auch [mm] ${\bf 0} \in C([a,b],\IR)$) [/mm] finden wir in einer jeden [mm] $\epsilon-$Umgebung [/mm] (bzgl. [mm] $\|.\|_i$, [/mm] mit [mm] $\epsilon [/mm] > 0$) um die [mm] ${\bf 0} \in \mathcal{O}$ [/mm] Elemente aus [mm] $\mathcal{O}^c=A\,.$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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