LAGRANGE-Multiplikatoren < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Do 08.01.2015 | | Autor: | Marie886 |
| Aufgabe | | Ermitteln Sie mithilfe der Methode der LAGRANGE- Multiplikatoren die kritischen Punkte der Funktion f(x,y,z)= xyz unter der Nebenbedingung [mm] x^2+y^2+9z^2=16, [/mm] x>0, y>0, z>0 |
Hallo,
hab grad keinen Plan, wie ich die 4 Gleichungen auflöse kann, damit ich auf ein Ergebnis komme:
Meine Rechenschritte:
1.) Die Nebenbedingung wird zu [mm] x^2+y^2+9z^2-16 [/mm] =0
und Voraussetzung ist [mm] \begin{pmatrix} g_x \\ g_y \\ g_z \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ 18z \end{pmatrix}\ne [/mm] 0
2.) F(x,y,z)= f(x,y,z)+ [mm] \lambda [/mm] * g(x,y,z) wobei [mm] F_x=F_y=F_z=F_\lambda=0
[/mm]
= xyz + [mm] \lambda [/mm] * [mm] (x^2+y^2+9z^2-16)
[/mm]
= xyz + [mm] \lambda x^2+\lambda y^2+\lambda 9z^2-16\lambda
[/mm]
3.) Nun die Partiellen Ableitungen:
[mm] F_x:yz+2x\lambda=0
[/mm]
[mm] F_y:xz+2y\lambda=0
[/mm]
[mm] F_z:xy+18z\lambda=0 [/mm]
[mm] F_\lambda: x^2+y^2+9z^2-16=0
[/mm]
4.) An dieser Stelle würde ich die ersten 3 Gleichungen nach
[mm] \lambda [/mm] auflösen, diese dann gleichsetzen und anschließend in die 4.te Gleichung einsetzen. So habe ich es zumindest gemacht, aber ich kam leider auf kein brauchbares Ergebnis
Hat wer einen anderen Vorschlag wie ich das angehen kann??
LG
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Hallo Marie886,
> Ermitteln Sie mithilfe der Methode der LAGRANGE-
> Multiplikatoren die kritischen Punkte der Funktion
> f(x,y,z)= xyz unter der Nebenbedingung [mm]x^2+y^2+9z^2=16,[/mm]
> x>0, y>0, z>0
> Hallo,
>
> hab grad keinen Plan, wie ich die 4 Gleichungen auflöse
> kann, damit ich auf ein Ergebnis komme:
>
> Meine Rechenschritte:
>
> 1.) Die Nebenbedingung wird zu [mm]x^2+y^2+9z^2-16[/mm] =0
> und Voraussetzung ist [mm]\begin{pmatrix} g_x \\ g_y \\ g_z \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ 18z \end{pmatrix}\ne[/mm]
> 0
>
> 2.) F(x,y,z)= f(x,y,z)+ [mm]\lambda[/mm] * g(x,y,z) wobei
> [mm]F_x=F_y=F_z=F_\lambda=0[/mm]
>
> = xyz + [mm]\lambda[/mm] * [mm](x^2+y^2+9z^2-16)[/mm]
> = xyz + [mm]\lambda x^2+\lambda y^2+\lambda 9z^2-16\lambda[/mm]
>
> 3.) Nun die Partiellen Ableitungen:
>
> [mm]F_x:yz+2x\lambda=0[/mm]
> [mm]F_y:xz+2y\lambda=0[/mm]
> [mm]F_z:xy+18z\lambda=0[/mm]
> [mm]F_\lambda: x^2+y^2+9z^2-16=0[/mm]
>
> 4.) An dieser Stelle würde ich die ersten 3 Gleichungen
> nach
> [mm]\lambda[/mm] auflösen, diese dann gleichsetzen und
> anschließend in die 4.te Gleichung einsetzen. So habe ich
> es zumindest gemacht, aber ich kam leider auf kein
> brauchbares Ergebnis
>
> Hat wer einen anderen Vorschlag wie ich das angehen kann??
>
Löse die ersten 3 Gleichungen nach x,y,z auf und setze jede dieser
Lösungen in die 4. Gleichung ein.
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Do 08.01.2015 | | Autor: | Marie886 |
Gut, danke!
Das habe ich nun gemacht und komme auf folgendes:
I) yz+ [mm] 2x\lambda [/mm] =0
[mm] 2x\lambda= [/mm] -yz
x= - [mm] \bruch{yz}{2\lambda} [/mm]
II) xz + [mm] 2y\lambda=0
[/mm]
[mm] 2y\lambda= [/mm] -xz
y= - [mm] \bruch{xz}{2\lambda}
[/mm]
III)xy + [mm] 18z\lambda=0
[/mm]
[mm] 18z\lambda= [/mm] -xy
z= - [mm] \bruch{xy}{18\lambda}
[/mm]
in IV einsetzen [mm] x^2+y^2+9z^2-16=0
[/mm]
[mm] (-\bruch{yz}{2\lambda})^2+ [/mm] (- [mm] \bruch{xz}{2\lambda})^2 [/mm] + (- [mm] \bruch{xy}{18\lambda})^2-16 [/mm] =0
[mm] \bruch{y^2z^2}{4\lambda^2}+ \bruch{x^2z^2}{4\lambda^2} +\bruch{x^2y^2}{324\lambda^2}-16 [/mm] =0
hab leider noch immer keinen Plan, was nun gemacht gehört...
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Hallo Marie886,
> Gut, danke!
>
> Das habe ich nun gemacht und komme auf folgendes:
>
> I) yz+ [mm]2x\lambda[/mm] =0
> [mm]2x\lambda=[/mm] -yz
> x= - [mm]\bruch{yz}{2\lambda}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Setze jetzt diese Lösung in II) und III) ein,
um die Lösungen für y und z zu ermittteln,
> II) xz + [mm]2y\lambda=0[/mm]
> [mm]2y\lambda=[/mm] -xz
> y= - [mm]\bruch{xz}{2\lambda}[/mm]
>
> III)xy + [mm]18z\lambda=0[/mm]
> [mm]18z\lambda=[/mm] -xy
> z= - [mm]\bruch{xy}{18\lambda}[/mm]
>
>
>
> in IV einsetzen [mm]x^2+y^2+9z^2-16=0[/mm]
> [mm](-\bruch{yz}{2\lambda})^2+[/mm] (-
> [mm]\bruch{xz}{2\lambda})^2[/mm] + (- [mm]\bruch{xy}{18\lambda})^2-16[/mm]
> =0
> [mm]\bruch{y^2z^2}{4\lambda^2}+ \bruch{x^2z^2}{4\lambda^2} +\bruch{x^2y^2}{324\lambda^2}-16[/mm]
> =0
>
>
> hab leider noch immer keinen Plan, was nun gemacht
> gehört...
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Do 08.01.2015 | | Autor: | Marie886 |
II) [mm] xz+2y\lambda=0
[/mm]
[mm] -\bruch{yz}{2\lambda}*z+2y\lambda=0 [/mm]
[mm] -yz^2+4y\lambda^2=0
[/mm]
[mm] -yz^2= -4y\lambda^2
[/mm]
[mm] z^2=4\lambda^2
[/mm]
III) [mm] xy+18z\lambda=0
[/mm]
[mm] -\bruch{yz}{2\lambda}*y+18z\lambda=0 [/mm]
[mm] -y^2z+36z\lambda^2=0
[/mm]
-y^2z= [mm] -36z\lambda^2
[/mm]
[mm] y^2=36\lambda^2
[/mm]
OK, soweit so gut, falls ich richtig umgeformt hab. Muss ich jetzt all die [mm] \lambda- [/mm] Werte in die 4.te Gleichung einsetzen?
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Hallo Marie886,
> II) [mm]xz+2y\lambda=0[/mm]
> [mm]-\bruch{yz}{2\lambda}*z+2y\lambda=0[/mm]
> [mm]-yz^2+4y\lambda^2=0[/mm]
> [mm]-yz^2= -4y\lambda^2[/mm]
> [mm]z^2=4\lambda^2[/mm]
>
> III) [mm]xy+18z\lambda=0[/mm]
> [mm]-\bruch{yz}{2\lambda}*y+18z\lambda=0[/mm]
> [mm]-y^2z+36z\lambda^2=0[/mm]
> -y^2z= [mm]-36z\lambda^2[/mm]
> [mm]y^2=36\lambda^2[/mm]
>
>
> OK, soweit so gut, falls ich richtig umgeformt hab. Muss
> ich jetzt all die [mm]\lambda-[/mm] Werte in die 4.te Gleichung
> einsetzen?
Wir haben je zwei Lösungen für y und z, das macht dann 4 Lösungspaare.
Zu jedem Lösungspaar (y,z) ist der zugehörige x-Wert zu ermitteln.
Dies setzt Du dann in die 4. Gleichung ein
und ermittelst dann den Parameter [mm]\lambda[/mm].
Ganz abgesehen davon ist x=y=z=0 auch eine Lösung dieser 3 Gleichungen,
erfüllt aber die Nebenbedingung nicht.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:38 Fr 09.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ermitteln Sie mithilfe der Methode der LAGRANGE-
> Multiplikatoren die kritischen Punkte der Funktion
> f(x,y,z)= xyz unter der Nebenbedingung [mm]x^2+y^2+9z^2=16,[/mm]
> x>0, y>0, z>0
> Hallo,
>
> hab grad keinen Plan, wie ich die 4 Gleichungen auflöse
> kann, damit ich auf ein Ergebnis komme:
>
> Meine Rechenschritte:
>
> 1.) Die Nebenbedingung wird zu [mm]x^2+y^2+9z^2-16[/mm] =0
> und Voraussetzung ist [mm]\begin{pmatrix} g_x \\ g_y \\ g_z \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ 18z \end{pmatrix}\ne[/mm]
> 0
>
> 2.) F(x,y,z)= f(x,y,z)+ [mm]\lambda[/mm] * g(x,y,z) wobei
> [mm]F_x=F_y=F_z=F_\lambda=0[/mm]
>
> = xyz + [mm]\lambda[/mm] * [mm](x^2+y^2+9z^2-16)[/mm]
> = xyz + [mm]\lambda x^2+\lambda y^2+\lambda 9z^2-16\lambda[/mm]
>
> 3.) Nun die Partiellen Ableitungen:
>
> [mm]F_x:yz+2x\lambda=0[/mm]
> [mm]F_y:xz+2y\lambda=0[/mm]
> [mm]F_z:xy+18z\lambda=0[/mm]
> [mm]F_\lambda: x^2+y^2+9z^2-16=0[/mm]
Multipliziere die 1. Gl. mit x, die 2. mit y und die 3. mit z.
Dann: [mm] $\lambda x^2= \lambda y^2=9 \lambda z^2$
[/mm]
Kann nun [mm] \lambda=0 [/mm] sein ? Nein, denn anderenfalls wäre x=0 oder y=0 oder z=0.
Also: [mm] \lambda \ne [/mm] 0.
Somit: [mm] $x^2= y^2=9 z^2$.
[/mm]
Und ab damit in die 4. Gleichung
FRED
>
> 4.) An dieser Stelle würde ich die ersten 3 Gleichungen
> nach
> [mm]\lambda[/mm] auflösen, diese dann gleichsetzen und
> anschließend in die 4.te Gleichung einsetzen. So habe ich
> es zumindest gemacht, aber ich kam leider auf kein
> brauchbares Ergebnis
>
> Hat wer einen anderen Vorschlag wie ich das angehen kann??
>
> LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Fr 09.01.2015 | | Autor: | Marie886 |
1.) Die Nebenbedingung wird zu [mm] x^2+y^2+9z^2-16 [/mm] =0
und Voraussetzung ist [mm] \begin{pmatrix} g_x \\ g_y \\ g_z \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ 18z \end{pmatrix}\ne [/mm] 0
2.) F(x,y,z)= f(x,y,z)+ [mm] \lambda [/mm] * g(x,y,z) wobei [mm] F_x=F_y=F_z=F_\lambda=0 [/mm]
= xyz + [mm] \lambda [/mm] * [mm] (x^2+y^2+9z^2-16) [/mm]
= xyz + [mm] \lambda x^2+\lambda y^2+\lambda 9z^2-16\lambda
[/mm]
3.) Nun die partiellen Ableitungen:
[mm] F_x:yz+2x\lambda=0 [/mm]
[mm] F_y:xz+2y\lambda=0
[/mm]
[mm] F_z:xy+18z\lambda=0 [/mm]
[mm] F_\lambda: x^2+y^2+9z^2-16=0 [/mm]
Multipliziere die 1. Gl. mit x, die 2. mit y und die 3. mit z.
[mm] yz+2x\lambda=0 [/mm]
[mm] xyz+2x^2\lambda=0 [/mm]
[mm] xz+2y\lambda=0
[/mm]
[mm] xyz+2y^2\lambda=0
[/mm]
[mm] xy+18z\lambda=0 [/mm]
[mm] xyz+18z^2\lambda=0 [/mm]
=> [mm] 2x^2\lambda=2y^2\lambda=18z^2\lambda [/mm] (mache ich das weil da eine Linearität vorliegt?)
[mm] x^2\lambda=y^2\lambda=9z^2\lambda [/mm]
da [mm] \lambda \ne [/mm] 0 => [mm] x^2=y^2=9z^2 [/mm] =>x=y=9z
Das nun in die 4.te Gleichung eingesetzt:
[mm] x^2+y^2+9z^2-16=0 [/mm]
[mm] x^2+x^2+x^2+-16=0
[/mm]
[mm] 3x^2=16
[/mm]
[mm] x^2=\bruch{16}{3}
[/mm]
[mm] x=4*\wurzel{\bruch{1}{3}}
[/mm]
da x=y => [mm] y=4*\wurzel{\bruch{1}{3}}
[/mm]
da x= 9z =>z= [mm] 4*9*\wurzel{ \bruch{1}{3}}
[/mm]
[mm] z=4*\wurzel{\bruch{81}{3}}=4*\wurzel{27}
[/mm]
[mm] 4*\wurzel{9*3}=4*3*\wurzel{3}= 12*\wurzel{3}
[/mm]
[mm] \wurzel{ \bruch{3}{4}} [/mm] + [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
Somit sind meine kritischen Punkte:
N [mm] (4*\wurzel{\bruch{1}{3}},4*\wurzel{\bruch{1}{3}},4*\wurzel{3})
[/mm]
Soweit alles korrekt?
LG
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Hallo Marie886,
> 1.) Die Nebenbedingung wird zu [mm]x^2+y^2+9z^2-16[/mm] =0
> und Voraussetzung ist [mm]\begin{pmatrix} g_x \\ g_y \\ g_z \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ 18z \end{pmatrix}\ne[/mm]
> 0
>
> 2.) F(x,y,z)= f(x,y,z)+ [mm]\lambda[/mm] * g(x,y,z) wobei
> [mm]F_x=F_y=F_z=F_\lambda=0[/mm]
> = xyz + [mm]\lambda[/mm] * [mm](x^2+y^2+9z^2-16)[/mm]
> = xyz + [mm]\lambda x^2+\lambda y^2+\lambda 9z^2-16\lambda[/mm]
>
> 3.) Nun die partiellen Ableitungen:
>
> [mm]F_x:yz+2x\lambda=0[/mm]
> [mm]F_y:xz+2y\lambda=0[/mm]
> [mm]F_z:xy+18z\lambda=0[/mm]
> [mm]F_\lambda: x^2+y^2+9z^2-16=0[/mm]
>
>
> Multipliziere die 1. Gl. mit x, die 2. mit y und die 3. mit
> z.
>
> [mm]yz+2x\lambda=0[/mm]
> [mm]xyz+2x^2\lambda=0[/mm]
>
> [mm]xz+2y\lambda=0[/mm]
> [mm]xyz+2y^2\lambda=0[/mm]
>
> [mm]xy+18z\lambda=0[/mm]
> [mm]xyz+18z^2\lambda=0[/mm]
>
> => [mm]2x^2\lambda=2y^2\lambda=18z^2\lambda[/mm] (mache ich das
> weil da eine Linearität vorliegt?)
> [mm]x^2\lambda=y^2\lambda=9z^2\lambda[/mm]
>
> da [mm]\lambda \ne[/mm] 0 => [mm]x^2=y^2=9z^2[/mm] =>x=y=9z
>
> Das nun in die 4.te Gleichung eingesetzt:
>
> [mm]x^2+y^2+9z^2-16=0[/mm]
> [mm]x^2+x^2+x^2+-16=0[/mm]
> [mm]3x^2=16[/mm]
> [mm]x^2=\bruch{16}{3}[/mm]
>
> [mm]x=4*\wurzel{\bruch{1}{3}}[/mm]
>
Hier gibt es zwei mögliche Lösugen: [mm]x=\pm4*\wurzel{\bruch{1}{3}}[/mm]
> da x=y => [mm]y=4*\wurzel{\bruch{1}{3}}[/mm]
>
Auch für y gibt es zwei mögliche Lösungen.
> da x= 9z => [mm]z=\wurzel{9*\bruch{16}{3}}=[/mm]
> [mm]\wurzel{3*16}=4*\wurzel{3}[/mm]
>
Ebenfalls für z.
Das macht dann für [mm]\lambda \not=0[/mm] 8 kritische Punkte.
> Somit sind meine kritischen Punkte:
>
> N
> [mm](4*\wurzel{\bruch{1}{3}},4*\wurzel{\bruch{1}{3}},4*\wurzel{3})[/mm]
>
Das sind nicht die einzigen kritischen Punkte.
Abschließend ist noch der Fall [mm]\lambda=0[/mm] zu untersuchen.
> Soweit alles korrekt?
>
> LG
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 So 08.02.2015 | | Autor: | Marie886 |
Hallo,
noch mal zu dem Lagrange´schen Multiplikationsverfahren:
[mm] N_1(+4*\wurzel{\bruch{1}{3} },-4*\wurzel{\bruch{1}{3} }, [/mm] +4* [mm] \wurzel{3}, \lambda)
[/mm]
[mm] N_2(-4*\wurzel{\bruch{1}{3} },+4*\wurzel{\bruch{1}{3} }, [/mm] -4* [mm] \wurzel{3}, \lambda)
[/mm]
[mm] N_3(+4*\wurzel{\bruch{1}{3} },+4*\wurzel{\bruch{1}{3} }, [/mm] +4* [mm] \wurzel{3}, \lambda)
[/mm]
[mm] N_4(-4*\wurzel{\bruch{1}{3} },-4*\wurzel{\bruch{1}{3} }, [/mm] -4* [mm] \wurzel{3}, \lambda)
[/mm]
[mm] N_5(+4*\wurzel{\bruch{1}{3} },+4*\wurzel{\bruch{1}{3} }, [/mm] -4* [mm] \wurzel{3}, \lambda)
[/mm]
[mm] N_6(-4*\wurzel{\bruch{1}{3} },+4*\wurzel{\bruch{1}{3} }, [/mm] +4* [mm] \wurzel{3}, \lambda)
[/mm]
[mm] N_7(+4*\wurzel{\bruch{1}{3} },-4*\wurzel{\bruch{1}{3} }, [/mm] -4* [mm] \wurzel{3}, \lambda)
[/mm]
[mm] N_8(-4*\wurzel{\bruch{1}{3} },-4*\wurzel{\bruch{1}{3} }, [/mm] +4* [mm] \wurzel{3}, \lambda)
[/mm]
Wie kann ich denn dann noch [mm] \lambda [/mm] berechnen?
LG,
Marie886
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Hallo Marie686,
> Hallo,
>
> noch mal zu dem Lagrange´schen Multiplikationsverfahren:
>
>
>
> [mm]N_1(+4*\wurzel{\bruch{1}{3} },-4*\wurzel{\bruch{1}{3} },[/mm]
> +4* [mm]\wurzel{3}, \lambda)[/mm]
> [mm]N_2(-4*\wurzel{\bruch{1}{3} },+4*\wurzel{\bruch{1}{3} },[/mm]
> -4* [mm]\wurzel{3}, \lambda)[/mm]
> [mm]N_3(+4*\wurzel{\bruch{1}{3} },+4*\wurzel{\bruch{1}{3} },[/mm]
> +4* [mm]\wurzel{3}, \lambda)[/mm]
> [mm]N_4(-4*\wurzel{\bruch{1}{3} },-4*\wurzel{\bruch{1}{3} },[/mm]
> -4* [mm]\wurzel{3}, \lambda)[/mm]
> [mm]N_5(+4*\wurzel{\bruch{1}{3} },+4*\wurzel{\bruch{1}{3} },[/mm]
> -4* [mm]\wurzel{3}, \lambda)[/mm]
> [mm]N_6(-4*\wurzel{\bruch{1}{3} },+4*\wurzel{\bruch{1}{3} },[/mm]
> +4* [mm]\wurzel{3}, \lambda)[/mm]
> [mm]N_7(+4*\wurzel{\bruch{1}{3} },-4*\wurzel{\bruch{1}{3} },[/mm]
> -4* [mm]\wurzel{3}, \lambda)[/mm]
> [mm]N_8(-4*\wurzel{\bruch{1}{3} },-4*\wurzel{\bruch{1}{3} },[/mm]
> +4* [mm]\wurzel{3}, \lambda)[/mm]
>
Zunächst, die dritte Komponente (z-Komponente) stimmt nicht.
>
> Wie kann ich denn dann noch [mm]\lambda[/mm] berechnen?
>
Einsetzen in eine Gleichung, die [mm]\lambda[/mm] enthält.
> LG,
> Marie886
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 So 08.02.2015 | | Autor: | Marie886 |
Gut danke,
also für z kommt raus: z= [mm] 4*9*\wurzel{\bruch{1}{3}}= 4*\wurzel{\bruch{81}{3}}= 4*\wurzel{27}= 4*\wurzel{9*3}= 4*3*\wurzel{3}= 12*\wurzel{3} [/mm]
Und um [mm] \lambda [/mm] zu erhalten habe ich die erste Gleichung verwendet:
[mm] yz+2x\lambda=0
[/mm]
[mm] \lambda= -\bruch{yz}{2x}= -\bruch{4*\wurzel{\bruch{1}{3}}*12*\wurzel{3}}{2*4*\wurzel{\bruch{1}{3}}}= -\bruch{4*\wurzel{\bruch{1}{3}}*\wurzel{\bruch{144}{3}}}{\wurzel{\bruch{64}{3}}}= -\bruch{4*\wurzel{\bruch{1}{3}}*\wurzel{48}}{\wurzel{\bruch{64}{3}}}= -\bruch{4*\wurzel{\bruch{1}{3}}*\wurzel{16*3}}{\wurzel{4*16}}= -\bruch{4*\wurzel{\bruch{1}{3}}*4\wurzel{3}}{2*4}= [/mm]
[mm] \bruch{-16*\wurzel{\bruch{3}{3}}}{8}= -2*\wurzel{1}=-2
[/mm]
Ist das jetzt so korrekt? [mm] \lambda [/mm] hat aber jetzt nur eine Lösung oder? Das negative Vorzeichen kam ja nicht von der Wurzel...
LG,
Marie886
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Hallo Marie686,
> Gut danke,
>
> also für z kommt raus: z= [mm]4*9*\wurzel{\bruch{1}{3}}= 4*\wurzel{\bruch{81}{3}}= 4*\wurzel{27}= 4*\wurzel{9*3}= 4*3*\wurzel{3}= 12*\wurzel{3}[/mm]
>
Für z kommt heraus: [mm]z= \ \pm \bruch{4}{3\wurzel{3}}[/mm]
>
>
> Und um [mm]\lambda[/mm] zu erhalten habe ich die erste Gleichung
> verwendet:
>
> [mm]yz+2x\lambda=0[/mm]
> [mm]\lambda= -\bruch{yz}{2x}= -\bruch{4*\wurzel{\bruch{1}{3}}*12*\wurzel{3}}{2*4*\wurzel{\bruch{1}{3}}}= -\bruch{4*\wurzel{\bruch{1}{3}}*\wurzel{\bruch{144}{3}}}{\wurzel{\bruch{64}{3}}}= -\bruch{4*\wurzel{\bruch{1}{3}}*\wurzel{48}}{\wurzel{\bruch{64}{3}}}= -\bruch{4*\wurzel{\bruch{1}{3}}*\wurzel{16*3}}{\wurzel{4*16}}= -\bruch{4*\wurzel{\bruch{1}{3}}*4\wurzel{3}}{2*4}=[/mm]
> [mm]\bruch{-16*\wurzel{\bruch{3}{3}}}{8}= -2*\wurzel{1}=-2[/mm]
>
> Ist das jetzt so korrekt? [mm]\lambda[/mm] hat aber jetzt nur eine
> Lösung oder? Das negative Vorzeichen kam ja nicht von der
> Wurzel...
>
Nein, das ist nicht korrekt.
Natürlich musst Du alle ermittelten Werte nacheinander
in diese Gleichung einsetzen. Dann erhältst Du auch
verschiedene [mm]\lambda[/mm].
> LG,
> Marie886
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Mo 09.02.2015 | | Autor: | Marie886 |
Meine Rechenschritte:
1.) Die Nebenbedingung wird zu [mm] x^2+y^2+9z^2-16 [/mm] =0
und Voraussetzung ist [mm] \begin{pmatrix} g_x \\ g_y \\ g_z \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ 18z \end{pmatrix}\ne [/mm] 0
2.) F(x,y,z)= f(x,y,z)+ [mm] \lambda [/mm] * g(x,y,z) wobei [mm] F_x=F_y=F_z=F_\lambda=0 [/mm]
= xyz + [mm] \lambda [/mm] * [mm] (x^2+y^2+9z^2-16) [/mm]
= xyz + [mm] \lambda x^2+\lambda y^2+\lambda 9z^2-16\lambda [/mm]
3.) Nun die Partiellen Ableitungen:
I: [mm] F_x:yz+2x\lambda=0 [/mm]
II: [mm] F_y:xz+2y\lambda=0 [/mm]
III: [mm] F_z:xy+18z\lambda=0 [/mm]
IV: [mm] F_\lambda: x^2+y^2+9z^2-16=0 [/mm]
I auf x umformen: yz+ [mm] 2x\lambda [/mm] =0
[mm] 2x\lambda= [/mm] -yz
x= - [mm] \bruch{yz}{2\lambda} [/mm]
x in II einsetzen: [mm] xz+2y\lambda=0
[/mm]
[mm] -\bruch{yz}{2\lambda}\cdot{}z+2y\lambda=0 [/mm]
[mm] -yz^2+4y\lambda^2=0 [/mm]
[mm] -yz^2= -4y\lambda^2 [/mm]
[mm] z^2=4\lambda^2 [/mm]
x in III einsetzen: [mm] xy+18z\lambda=0 [/mm]
[mm] -\bruch{yz}{2\lambda}\cdot{}y+18z\lambda=0 [/mm]
[mm] -y^2z+36z\lambda^2=0 [/mm]
-y^2z= [mm] -36z\lambda^2 [/mm]
[mm] y^2=36\lambda^2 [/mm]
Multipliziere I mit x, II mit y und III mit z:
[mm] yz+2x\lambda=0
[/mm]
[mm] xyz+2x^2\lambda=0
[/mm]
[mm] xz+2y\lambda=0 [/mm]
[mm] xyz+2y^2\lambda=0 [/mm]
[mm] xy+18z\lambda=0 [/mm]
[mm] xyz+18z^2\lambda=0 [/mm]
=> [mm] 2x^2\lambda=2y^2\lambda=18z^2\lambda [/mm]
[mm] x^2\lambda=y^2\lambda=9z^2\lambda
[/mm]
da [mm] \lambda \ne [/mm] 0 => [mm] x^2=y^2=9z^2 [/mm] =>x=y=9z
Das nun in die 4.te Gleichung eingesetzt:
[mm] x^2+y^2+9z^2-16=0 [/mm]
[mm] x^2+x^2+x^2+-16=0 [/mm]
[mm] 3x^2=16 [/mm]
[mm] x^2=\bruch{16}{3} [/mm]
x= [mm] \pm 4\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{3}} [/mm]
somit ist [mm] x_1= [/mm] + [mm] 4\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{3}} [/mm]
somit ist [mm] x_2= [/mm] - [mm] 4\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{3}} [/mm]
da [mm] x^2= y^2 [/mm] => [mm] y^2= \bruch{16}{3} [/mm]
[mm] y=\pm 4\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{3}} [/mm]
somit ist [mm] y_1= [/mm] + [mm] 4\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{3}} [/mm]
somit ist [mm] y_2= [/mm] - [mm] 4\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{3}} [/mm]
da [mm] x^2=9z^2 [/mm] => [mm] z^2= \bruch{x^2}{9}= \bruch{16}{27}=> [/mm] z= [mm] \wurzel{ \bruch{16}{27} }=
[/mm]
[mm] \bruch{4}{\wurzel{9*3}}=\pm \bruch{4}{3*\wurzel{3}}
[/mm]
somit ist [mm] z_1= [/mm] + [mm] \bruch{4}{3*\wurzel{3}} [/mm]
somit ist [mm] z_2= [/mm] - [mm] \bruch{4}{3*\wurzel{3}} [/mm]
Um [mm] \lambda [/mm] zu erhalten werden alle ermittelten Werte in die gleiche Gleichung eingesetzt:
yz+ [mm] 2x\lambda [/mm] =0
[mm] 2x\lambda= [/mm] -yz
[mm] \lambda= [/mm] - [mm] \bruch{yz}{2x} [/mm]
[mm] \lambda_1= [/mm] - [mm] \bruch{y_1z_1}{2x_1}= -\bruch{4*\wurzel{\bruch{1}{3}}*\bruch{4}{3*\wurzel{3} }}{2*4\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{3}} }= -\bruch{4*4\wurzel{\bruch{1}{3}}*\bruch{1}{3*\wurzel{3} }}{8\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{3}} }=
[/mm]
- [mm] \bruch{16* \bruch{1}{3} *\wurzel{\bruch{1}{3*3} }}{8*\wurzel{\bruch{1}{3} }}=-\bruch{2*\bruch{1}{3}* \wurzel{\bruch{1}{9} }}{\wurzel{\bruch{1}{3} }}= -\bruch{2*\bruch{1}{3} *\bruch{1}{3} }{\wurzel{\bruch{1}{3}}} [/mm] = [mm] -\bruch{2*\bruch{1}{9}}{\wurzel{\bruch{1}{3} }}= -\bruch{2*\wurzel{3}}{9} [/mm]
[mm] \lambda_2= [/mm] - [mm] \bruch{y_2z_2}{2x_2}= -\bruch{-4*\wurzel{\bruch{1}{3}}*-\bruch{4}{3*\wurzel{3} }}{-2*4\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{3}} }= -\bruch{4*4\wurzel{\bruch{1}{3}}*\bruch{1}{3*\wurzel{3} }}{-8\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{3}} }=
[/mm]
- [mm] \bruch{16* \bruch{1}{3} *\wurzel{\bruch{1}{3*3} }}{-8*\wurzel{\bruch{1}{3} }}=\bruch{2*\bruch{1}{3}* \wurzel{\bruch{1}{9} }}{\wurzel{\bruch{1}{3} }}= \bruch{2*\bruch{1}{3} *\bruch{1}{3} }{\wurzel{\bruch{1}{3}}} [/mm] = [mm] \bruch{2*\bruch{1}{9}}{\wurzel{\bruch{1}{3} }}= +\bruch{2*\wurzel{3}}{9} [/mm]
somit ist [mm] \lambda_1=-\bruch{2*\wurzel{3}}{9} [/mm]
somit ist [mm] \lambda_2=+\bruch{2*\wurzel{3}}{9} [/mm]
und meine 8 kritischen Punkte lauten:
[mm] N_1 \left( + 4\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{3}},+ 4\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{3}},+ \bruch{4}{3*\wurzel{3}}, -\bruch{2*\wurzel{3}}{9} \right)
[/mm]
[mm] N_2 \left( - 4\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{3}},- 4\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{3}},- \bruch{4}{3*\wurzel{3}}, +\bruch{2*\wurzel{3}}{9} \right)
[/mm]
so und nun müssts richtig sein?!
LG,
Marie886
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Mo 09.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Meine Rechenschritte:
>
> 1.) Die Nebenbedingung wird zu [mm]x^2+y^2+9z^2-16[/mm] =0
> und Voraussetzung ist [mm]\begin{pmatrix} g_x \\ g_y \\ g_z \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ 18z \end{pmatrix}\ne[/mm]
> 0
>
> 2.) F(x,y,z)= f(x,y,z)+ [mm]\lambda[/mm] * g(x,y,z) wobei
> [mm]F_x=F_y=F_z=F_\lambda=0[/mm]
>
> = xyz + [mm]\lambda[/mm] * [mm](x^2+y^2+9z^2-16)[/mm]
> = xyz + [mm]\lambda x^2+\lambda y^2+\lambda 9z^2-16\lambda[/mm]
>
> 3.) Nun die Partiellen Ableitungen:
>
> I: [mm]F_x:yz+2x\lambda=0[/mm]
> II: [mm]F_y:xz+2y\lambda=0[/mm]
> III: [mm]F_z:xy+18z\lambda=0[/mm]
> IV: [mm]F_\lambda: x^2+y^2+9z^2-16=0[/mm]
>
> I auf x umformen: yz+ [mm]2x\lambda[/mm] =0
> [mm]2x\lambda=[/mm] -yz
> x= - [mm]\bruch{yz}{2\lambda}[/mm]
>
> x in II einsetzen: [mm]xz+2y\lambda=0[/mm]
>
> [mm]-\bruch{yz}{2\lambda}\cdot{}z+2y\lambda=0[/mm]
> [mm]-yz^2+4y\lambda^2=0[/mm]
> [mm]-yz^2= -4y\lambda^2[/mm]
> [mm]z^2=4\lambda^2[/mm]
>
> x in III einsetzen: [mm]xy+18z\lambda=0[/mm]
> [mm]-\bruch{yz}{2\lambda}\cdot{}y+18z\lambda=0[/mm]
> [mm]-y^2z+36z\lambda^2=0[/mm]
> -y^2z= [mm]-36z\lambda^2[/mm]
> [mm]y^2=36\lambda^2[/mm]
>
> Multipliziere I mit x, II mit y und III mit z:
>
> [mm]yz+2x\lambda=0[/mm]
> [mm]xyz+2x^2\lambda=0[/mm]
>
> [mm]xz+2y\lambda=0[/mm]
> [mm]xyz+2y^2\lambda=0[/mm]
>
> [mm]xy+18z\lambda=0[/mm]
> [mm]xyz+18z^2\lambda=0[/mm]
>
> => [mm]2x^2\lambda=2y^2\lambda=18z^2\lambda[/mm]
> [mm]x^2\lambda=y^2\lambda=9z^2\lambda[/mm]
>
> da [mm]\lambda \ne[/mm] 0 => [mm]x^2=y^2=9z^2[/mm] =>x=y=9z
>
> Das nun in die 4.te Gleichung eingesetzt:
>
> [mm]x^2+y^2+9z^2-16=0[/mm]
> [mm]x^2+x^2+x^2+-16=0[/mm]
> [mm]3x^2=16[/mm]
> [mm]x^2=\bruch{16}{3}[/mm]
>
> x= [mm]\pm 4\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{3}}[/mm]
>
> somit ist [mm]x_1=[/mm] + [mm]4\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{3}}[/mm]
> somit ist [mm]x_2=[/mm] - [mm]4\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{3}}[/mm]
>
> da [mm]x^2= y^2[/mm] => [mm]y^2= \bruch{16}{3}[/mm]
>
> [mm]y=\pm 4\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{3}}[/mm]
>
> somit ist [mm]y_1=[/mm] + [mm]4\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{3}}[/mm]
> somit ist [mm]y_2=[/mm] - [mm]4\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{3}}[/mm]
>
> da [mm]x^2=9z^2[/mm] => [mm]z^2= \bruch{x^2}{9}= \bruch{16}{27}=>[/mm] z=
> [mm]\wurzel{ \bruch{16}{27} }=[/mm]
>
> [mm]\bruch{4}{\wurzel{9*3}}=\pm \bruch{4}{3*\wurzel{3}}[/mm]
>
> somit ist [mm]z_1=[/mm] + [mm]\bruch{4}{3*\wurzel{3}}[/mm]
> somit ist [mm]z_2=[/mm] - [mm]\bruch{4}{3*\wurzel{3}}[/mm]
>
> Um [mm]\lambda[/mm] zu erhalten werden alle ermittelten Werte in die
> gleiche Gleichung eingesetzt:
>
> yz+ [mm]2x\lambda[/mm] =0
> [mm]2x\lambda=[/mm] -yz
> [mm]\lambda=[/mm] - [mm]\bruch{yz}{2x}[/mm]
>
> [mm]\lambda_1=[/mm] - [mm]\bruch{y_1z_1}{2x_1}= -\bruch{4*\wurzel{\bruch{1}{3}}*\bruch{4}{3*\wurzel{3} }}{2*4\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{3}} }= -\bruch{4*4\wurzel{\bruch{1}{3}}*\bruch{1}{3*\wurzel{3} }}{8\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{3}} }=[/mm]
>
> - [mm]\bruch{16* \bruch{1}{3} *\wurzel{\bruch{1}{3*3} }}{8*\wurzel{\bruch{1}{3} }}=-\bruch{2*\bruch{1}{3}* \wurzel{\bruch{1}{9} }}{\wurzel{\bruch{1}{3} }}= -\bruch{2*\bruch{1}{3} *\bruch{1}{3} }{\wurzel{\bruch{1}{3}}}[/mm]
> = [mm]-\bruch{2*\bruch{1}{9}}{\wurzel{\bruch{1}{3} }}= -\bruch{2*\wurzel{3}}{9}[/mm]
>
> [mm]\lambda_2=[/mm] - [mm]\bruch{y_2z_2}{2x_2}= -\bruch{-4*\wurzel{\bruch{1}{3}}*-\bruch{4}{3*\wurzel{3} }}{-2*4\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{3}} }= -\bruch{4*4\wurzel{\bruch{1}{3}}*\bruch{1}{3*\wurzel{3} }}{-8\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{3}} }=[/mm]
>
> - [mm]\bruch{16* \bruch{1}{3} *\wurzel{\bruch{1}{3*3} }}{-8*\wurzel{\bruch{1}{3} }}=\bruch{2*\bruch{1}{3}* \wurzel{\bruch{1}{9} }}{\wurzel{\bruch{1}{3} }}= \bruch{2*\bruch{1}{3} *\bruch{1}{3} }{\wurzel{\bruch{1}{3}}}[/mm]
> = [mm]\bruch{2*\bruch{1}{9}}{\wurzel{\bruch{1}{3} }}= +\bruch{2*\wurzel{3}}{9}[/mm]
>
> somit ist [mm]\lambda_1=-\bruch{2*\wurzel{3}}{9}[/mm]
> somit ist [mm]\lambda_2=+\bruch{2*\wurzel{3}}{9}[/mm]
>
> und meine 8 kritischen Punkte lauten:
>
> [mm]N_1 \left( + 4\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{3}},+ 4\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{3}},+ \bruch{4}{3*\wurzel{3}}, -\bruch{2*\wurzel{3}}{9} \right)[/mm]
>
> [mm]N_2 \left( - 4\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{3}},- 4\cdot{}\wurzel{\bruch{1}{3}},- \bruch{4}{3*\wurzel{3}}, +\bruch{2*\wurzel{3}}{9} \right)[/mm]
>
> so und nun müssts richtig sein?!
Ja. Aber die berechnung von [mm] \lambda [/mm] hättest Du Dir sparen können !
FRED
>
> LG,
> Marie886
>
>
>
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Super, danke!
Wieso hätte ich mir die sparen können? Kann ich mir die Berechnung bei der Prüfung sparen oder hätte ich es mir sparen können sie im Forum zu posten?
LG,
Marie886
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 11.02.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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