LAGRANGEsche Multiplikatorenme < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 So 02.02.2014 | | Autor: | arti8 |
| Aufgabe | | [mm] z=f(x,y)=x^2+y^2 \to [/mm] Extremwert für [mm] x^2+xy+y^2-5=0 [/mm] |
Hallo,
Ich brauche mal wieder Hilfe.
folgendes habe ich bereits gemacht:
neue Zielfunktion erstellt:
[mm] L(x,y,\lambda)= x^2+y^2+\lambda(x^2+xy+y^2-5) [/mm]
Partielle Ableitungen gemacht und GLS aufgestellt:
[mm] I)Lx=2x+2x\lambda+y\lambda=0
[/mm]
[mm] II)Ly=2y+x\lambda+2y\lambda=0
[/mm]
[mm] III)L\lambda= x^2+xy+y^2-5=0
[/mm]
ich habe jetzt I)-II) gerechnet. und x=y herausgefunden.
In den Übungen haben wir aber folgendes gemacht.
[mm] I)Lx=2x+\lambda(2x+y)=0 [/mm] /*(x+2y)
[mm] II)Ly=2y+\lambda(x+2y)+2y\lambda=0 [/mm] /*(2x+y)
[mm] III)L\lambda= x^2+xy+y^2-5=0
[/mm]
und kriegen damit [mm] x^2=y^2 [/mm] heraus und können somit 2 fälle unterscheiden.
Meine Frage lautet nun. Warum werden erst die KLammern aus Gleichung I) und II) miteinander mulitpliziert und dann erst das additionsverfahren angewendet ?
In meiner Rechnung habe ich ja leider nur einen Fall, obwohl ich keinen Fehler entdecken kann.
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Hallo arti8,
> [mm]z=f(x,y)=x^2+y^2 \to[/mm] Extremwert für [mm]x^2+xy+y^2-5=0[/mm]
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> Hallo,
>
> Ich brauche mal wieder Hilfe.
>
> folgendes habe ich bereits gemacht:
>
> neue Zielfunktion erstellt:
> [mm]L(x,y,\lambda)= x^2+y^2+\lambda(x^2+xy+y^2-5)[/mm]
>
> Partielle Ableitungen gemacht und GLS aufgestellt:
> [mm]I)Lx=2x+2x\lambda+y\lambda=0[/mm]
> [mm]II)Ly=2y+x\lambda+2y\lambda=0[/mm]
> [mm]III)L\lambda= x^2+xy+y^2-5=0[/mm]
>
> ich habe jetzt I)-II) gerechnet. und x=y herausgefunden.
>
> In den Übungen haben wir aber folgendes gemacht.
> [mm]I)Lx=2x+\lambda(2x+y)=0[/mm] /*(x+2y)
> [mm]II)Ly=2y+\lambda(x+2y)+2y\lambda=0[/mm] /*(2x+y)
> [mm]III)L\lambda= x^2+xy+y^2-5=0[/mm]
>
> und kriegen damit [mm]x^2=y^2[/mm] heraus und können somit 2 fälle
> unterscheiden.
>
> Meine Frage lautet nun. Warum werden erst die KLammern aus
> Gleichung I) und II) miteinander mulitpliziert und dann
> erst das additionsverfahren angewendet ?
Damit die genannte Gleichung erhalten wird.
> In meiner Rechnung habe ich ja leider nur einen Fall,
> obwohl ich keinen Fehler entdecken kann.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 So 02.02.2014 | | Autor: | arti8 |
> Hallo arti8,
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> > [mm]z=f(x,y)=x^2+y^2 \to[/mm] Extremwert für [mm]x^2+xy+y^2-5=0[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > Ich brauche mal wieder Hilfe.
> >
> > folgendes habe ich bereits gemacht:
> >
> > neue Zielfunktion erstellt:
> > [mm]L(x,y,\lambda)= x^2+y^2+\lambda(x^2+xy+y^2-5)[/mm]
> >
> > Partielle Ableitungen gemacht und GLS aufgestellt:
> > [mm]I)Lx=2x+2x\lambda+y\lambda=0[/mm]
> > [mm]II)Ly=2y+x\lambda+2y\lambda=0[/mm]
> > [mm]III)L\lambda= x^2+xy+y^2-5=0[/mm]
> >
> > ich habe jetzt I)-II) gerechnet. und x=y herausgefunden.
> >
> > In den Übungen haben wir aber folgendes gemacht.
> > [mm]I)Lx=2x+\lambda(2x+y)=0[/mm] /*(x+2y)
> > [mm]II)Ly=2y+\lambda(x+2y)+2y\lambda=0[/mm] /*(2x+y)
> > [mm]III)L\lambda= x^2+xy+y^2-5=0[/mm]
> >
> > und kriegen damit [mm]x^2=y^2[/mm] heraus und können somit 2 fälle
> > unterscheiden.
> >
> > Meine Frage lautet nun. Warum werden erst die KLammern aus
> > Gleichung I) und II) miteinander mulitpliziert und dann
> > erst das additionsverfahren angewendet ?
>
>
> Damit die genannte Gleichung erhalten wird.
>
welche ?
die ? [mm] z=f(x,y)=x^2+y^2
[/mm]
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Hallo arti8,
> > Hallo arti8,
> >
> > > [mm]z=f(x,y)=x^2+y^2 \to[/mm] Extremwert für [mm]x^2+xy+y^2-5=0[/mm]
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > Ich brauche mal wieder Hilfe.
> > >
> > > folgendes habe ich bereits gemacht:
> > >
> > > neue Zielfunktion erstellt:
> > > [mm]L(x,y,\lambda)= x^2+y^2+\lambda(x^2+xy+y^2-5)[/mm]
> > >
> > > Partielle Ableitungen gemacht und GLS aufgestellt:
> > > [mm]I)Lx=2x+2x\lambda+y\lambda=0[/mm]
> > > [mm]II)Ly=2y+x\lambda+2y\lambda=0[/mm]
> > > [mm]III)L\lambda= x^2+xy+y^2-5=0[/mm]
> > >
> > > ich habe jetzt I)-II) gerechnet. und x=y herausgefunden.
> > >
> > > In den Übungen haben wir aber folgendes gemacht.
> > > [mm]I)Lx=2x+\lambda(2x+y)=0[/mm] /*(x+2y)
> > > [mm]II)Ly=2y+\lambda(x+2y)+2y\lambda=0[/mm] /*(2x+y)
> > > [mm]III)L\lambda= x^2+xy+y^2-5=0[/mm]
> > >
> > > und kriegen damit [mm]x^2=y^2[/mm] heraus und können somit 2 fälle
> > > unterscheiden.
> > >
> > > Meine Frage lautet nun. Warum werden erst die KLammern aus
> > > Gleichung I) und II) miteinander mulitpliziert und dann
> > > erst das additionsverfahren angewendet ?
> >
> >
> > Damit die genannte Gleichung erhalten wird.
> >
> welche ?
> die ? [mm]z=f(x,y)=x^2+y^2[/mm]
>
Das ist keine Gleichung.
Es ist die Gleichung [mm]x^{2}=y^{2}[/mm] gemeint.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 So 02.02.2014 | | Autor: | arti8 |
ja und warum muss das so sein ? verstehe die antwort nicht. :D Ich muss doch iwie darauf kommen das es [mm] x^2=y^2 [/mm] sein muss und nicht erst auf die lösung gucken ?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:30 So 02.02.2014 | | Autor: | arti8 |
woher weiß ich den das ich die Klammern multiplizieren muss ? ich habe ja [mm] x^2=y^2 [/mm] nicht gegeben oder ?
Also das man die Klammern mulitipliziert ist mir rätselhaft. Kennt jemand den Grund ?
Es hat ja auch ohne Multiplikation zu einem Ergebnisss geführt. Also wie komme ich auf [mm] x^2=y^2 [/mm] ohne auf den vorliegenden Lösungsweg zu spicken ?
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Hallo,
ich schlage vor, Du notierst nochmal das zu lösende Gleichungssystem, und rechnest dann ausführlich vor, wie Du zu Deinem Ergebnis kommst.
Dann kann man sagen, ob etwas scheifläuft, und falls ja: wo.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 So 02.02.2014 | | Autor: | arti8 |
folgendes habe ich bereits gemacht:
neue Zielfunktion erstellt:
$ [mm] L(x,y,\lambda)= x^2+y^2+\lambda(x^2+xy+y^2-5) [/mm] $
Partielle Ableitungen gemacht und GLS aufgestellt:
$ [mm] I)Lx=2x+2x\lambda+y\lambda=0 [/mm] $
$ [mm] II)Ly=2y+x\lambda+2y\lambda=0 [/mm] $
$ [mm] III)L\lambda= x^2+xy+y^2-5=0 [/mm] $
ich habe jetzt I)-II) gerechnet.
[mm] 2x\lambda+\lambda [/mm] y + 2x=0
[mm] -(\lambda x+\lambda [/mm] 2y + 2y)=0
--------------------------
I) - II) = [mm] x\lambda-\lambda [/mm] y+2x-2y=0 / y auf die andere Seite bringen
[mm] x\lambda+2x=y\lambda+2y [/mm] / ausklammern
[mm] x(\lambda+2)=y(\lambda+2) /:(\lambda+2)
[/mm]
x=y
Und dann schaute ich auf den Lösungsweg vom Prof. und siehe da er multipliziert aus mir unerklärlichen Gründen die Klammern zuvor. siehe vorherige Posts.
Versteh nicht warum man das machen musste.
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Hallo arti8,
> folgendes habe ich bereits gemacht:
>
> neue Zielfunktion erstellt:
> [mm]L(x,y,\lambda)= x^2+y^2+\lambda(x^2+xy+y^2-5)[/mm]
>
> Partielle Ableitungen gemacht und GLS aufgestellt:
> [mm]I)Lx=2x+2x\lambda+y\lambda=0[/mm]
> [mm]II)Ly=2y+x\lambda+2y\lambda=0[/mm]
> [mm]III)L\lambda= x^2+xy+y^2-5=0[/mm]
>
> ich habe jetzt I)-II) gerechnet.
>
> [mm]2x\lambda+\lambda[/mm] y + 2x=0
> [mm]-(\lambda x+\lambda[/mm] 2y + 2y)=0
> --------------------------
> I) - II) = [mm]x\lambda-\lambda[/mm] y+2x-2y=0 / y auf die
> andere Seite bringen
>
> [mm]x\lambda+2x=y\lambda+2y[/mm] / ausklammern
> [mm]x(\lambda+2)=y(\lambda+2) /:(\lambda+2)[/mm]
> x=y
>
> Und dann schaute ich auf den Lösungsweg vom Prof. und
> siehe da er multipliziert aus mir unerklärlichen Gründen
> die Klammern zuvor. siehe vorherige Posts.
>
> Versteh nicht warum man das machen musste.
Aus (I)-(II) folgen zwei Fälle:
i) x=y
ii) [mm]\lambda+2=0[/mm]
Nach Durchrechnung des zweiten Falles
kommt man schlussendlich zu der Erkenntnis, daß x=-y sein muss.
Dein Prof. hat diese Multiplikation bestimmt durchgeführt,
um diesen zweiten Fall [mm]\lambda+2=0[/mm] zu vermeiden.
Gruss
MathePower
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> folgendes habe ich bereits gemacht:
>
> neue Zielfunktion erstellt:
> [mm]L(x,y,\lambda)= x^2+y^2+\lambda(x^2+xy+y^2-5)[/mm]
>
> Partielle Ableitungen gemacht und GLS aufgestellt:
> [mm]I)Lx=2x+2x\lambda+y\lambda=0[/mm]
> [mm]II)Ly=2y+x\lambda+2y\lambda=0[/mm]
> [mm]III)L\lambda= x^2+xy+y^2-5=0[/mm]
Hallo,
>
> ich habe jetzt I)-II) gerechnet.
>
> [mm]2x\lambda+\lambda[/mm] y + 2x=0
> [mm]-(\lambda x+\lambda[/mm] 2y + 2y)=0
> --------------------------
> I) - II) = [mm]x\lambda-\lambda[/mm] y+2x-2y=0 / y auf die
> andere Seite bringen
>
> [mm]x\lambda+2x=y\lambda+2y[/mm] / ausklammern
> [mm]x(\lambda+2)=y(\lambda+2) /:(\lambda+2)[/mm]t durch 0 teilen
Diese Division ist nur erlaubt für [mm] \lambda+2\not=0,
[/mm]
denn man darf nicht durch 0 teilen.
Du mußt hier also notieren; "für [mm] \lambda+2\not=0",
[/mm]
und den Fall [mm] \lambda+2=0 [/mm] anschließend untersuchen.
> x=y
>
> Und dann schaute ich auf den Lösungsweg vom Prof. und
> siehe da er multipliziert aus mir unerklärlichen Gründen
> die Klammern zuvor. siehe vorherige Posts.
>
> Versteh nicht warum man das machen musste.
Oftmals gibt es mehrere richtige Wege zum Ziel.
Bei richtiger Rechnung - und dazu gehört, nicht urch 0 zu teilen - kommst Du bestimmt auch dorthin.
LG Angela
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