LGS-Lösung in Abhäng. von a < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Helmut84 |
| Aufgabe | Für welche Werte von [mm] \lambda \in \IR [/mm] hat das Gleichungssystem über
dem Körper der reellen Zahlen
x + 4y + 4z = 2
3x + 2y + 3z = 3
5x + 5y + [mm] \lambda [/mm] z = 4
(a) genau eine Lösung
(b) keine Lösung
(c) mehrere Lösungen?
Geben sie die Lösungen in Abhängigkeit von [mm] \lambda [/mm] an. |
Hallo zusammen! Ich sitze gerade an dieser Aufgabe und weiß nicht so wirklich, wie ich die lösen soll! :(
Wie genau muss ich da vorgehen? Ich hab das LGS nun erstmal als Koeffizientenmatrix geschrieben:
[mm] \pmat{ 1 & 4 & 4 & 2 \\ 3 & 2 & 3 & 3 \\ 5 & 5 & \lambda & 4 }
[/mm]
Dann habe ich angefangen, die einzelnen Variablen zu eleminieren:
1. Zeile * (-3) zur 2. Zeile addiert und
1. Zeile * (-5) zur 3. Zeile addiert ergibt dann
[mm] \pmat{ 1 & 4 & 4 & 2 \\ 0 & -10 & -9 & -3 \\ 0 & -15 & -20 + \lambda & -6 }
[/mm]
2. Zeile * (-3/2) zur 3. Zeile addiert und
2. Zeile mit -1/10 multipliziert ergibt
[mm] \pmat{ 1 & 4 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & \bruch{9}{10} & \bruch{3}{10} \\ 0 & 0 & -\bruch{13}{2} + \bruch{3}{2} \lambda & -\bruch{3}{2} }
[/mm]
Die 3. Zeile könnte ich ja nun noch mit -2/13 multiplizieren und käme auf
[mm] \pmat{ 1 & 4 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & \bruch{9}{10} & \bruch{3}{10} \\ 0 & 0 & - \bruch{3}{13} \lambda & -\bruch{3}{13} }
[/mm]
So... Und nun? Nach [mm] \lambda [/mm] auflösen? Das führt bei mir dann zu [mm] \lambda [/mm] z = -1... Sprich daraus wird [mm] \lambda [/mm] = - [mm] \bruch{1}{z}. [/mm] Wenn ich dann Lambda aber wieder in die Gleichung einsetze fällt z ja Weg, weil [mm] -\bruch{1}{z} [/mm] * z ja -1 ist. Daraus werd ich irgendwie nicht schlau :(
Hab ich vielleicht irgendwo Mist gemacht?
Und wie kann ich denn an [mm] \lambda [/mm] erkennen, wieviele Lösungen es gibt?
Wäre nett wenn mir jemand zeigen könnte, wie der Hase läuft! :)
Vielen Dank schonmal!
Gruß,
Helmut
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Hi, Helmut,
> Für welche Werte von [mm]\lambda \in \IR[/mm] hat das
> Gleichungssystem über
> dem Körper der reellen Zahlen
>
> x + 4y + 4z = 2
> 3x + 2y + 3z = 3
> 5x + 5y + [mm]\lambda[/mm] z = 4
>
> (a) genau eine Lösung
> (b) keine Lösung
> (c) mehrere Lösungen?
>
> Geben sie die Lösungen in Abhängigkeit von [mm]\lambda[/mm] an.
> Hallo zusammen! Ich sitze gerade an dieser Aufgabe und
> weiß nicht so wirklich, wie ich die lösen soll! :(
> Wie genau muss ich da vorgehen? Ich hab das LGS nun
> erstmal als Koeffizientenmatrix geschrieben:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 4 & 4 & 2 \\ 3 & 2 & 3 & 3 \\ 5 & 5 & \lambda & 4 }[/mm]
Zwischenfrage: MUSST Du's mit Gauß lösen?
Weil: Wenn's nur darum geht, WIE VIELE Lösungen ist gibt,
aber Du die Lösungsmenge nicht explizit bestimmen sollst, wäre das Determinantenverfahren besser!
> Dann habe ich angefangen, die einzelnen Variablen zu
> eleminieren:
>
> 1. Zeile * (-3) zur 2. Zeile addiert und
> 1. Zeile * (-5) zur 3. Zeile addiert ergibt dann
>
> [mm]\pmat{ 1 & 4 & 4 & 2 \\ 0 & -10 & -9 & -3 \\ 0 & -15 & -20 + \lambda & -6 }[/mm]
Stimmt!
> 2. Zeile * (-3/2) zur 3. Zeile addiert und
> 2. Zeile mit -1/10 multipliziert ergibt
>
> [mm]\pmat{ 1 & 4 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & \bruch{9}{10} & \bruch{3}{10} \\ 0 & 0 & -\bruch{13}{2} + \bruch{3}{2} \lambda & -\bruch{3}{2} }[/mm]
Unten rechts muss es [mm] -\bruch{13}{2} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] heißen!
> So... Und nun? Nach [mm]\lambda[/mm] auflösen?
Nun die Fallunterscheidung:
1. Fall: Wenn [mm] -\bruch{13}{2} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] = 0 ist, ist das LGS zumindest nicht eindeutig lösbar. Die rechte Seite entscheidet darüber, ob unendlich viele Lösungen oder gar keine rauskommt. Bei Deiner Matrix steht rechts [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] (=-1,5), d.h. für [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{13}{2} [/mm] (=6,5) heißt die letzte Zeile des LGS: 0*z = -1,5.
Dies ist nicht lösbar. Daher gilt:
Für [mm] \lambda=6,5 [/mm] ist die Lösungsmenge leer.
2.Fall: [mm] \lambda \not= [/mm] 6,5. In diesem Fall ist das LGS eindeutig lösbar.
(Wobei sich natürlich für jedes [mm] \lambda [/mm] eine andere Lösung ergibt, aber jede davon ist eindeutig!)
Der Fall (c) mehrere (genauer: unendlich viele) Lösungen tritt hier nicht auf. (Er würde auftreten, wenn für [mm] \lambda [/mm] = 6,5 auch ganz rechts unten noch die 0 rausgekommen wäre!)
Wie gesagt: Die Lösung selbst soll gar nicht berechnet werden!
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:47 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Helmut84 |
Hey super, dank dir!
Jetzt hab ich meinen Fehler mit den [mm] \bruch{3}{2} \lambda [/mm] auch gesehen... Blöder Gauß ;)
Den muss ich auch übrigens nicht benutzen. Allerdings sagt mir auch das Determinantenverfahren nicht viel. Wenn's für solche Fälle aber gut zu gebruachen ist werd ich's mir sicher mal anschauen!
So ist die Aufgabe ja auch eigentlich voll einfach. Ich hatte gar nicht daran gedacht, dass gar keine Lösung gefragt ist! Auf jeden Fall weiß ich ja jetzt für die nächsten Übungsaufgaben auf dem Blatt Bescheid! :)
Vielen lieben Dank!
Gruß,
Helmut
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