LGS - Lineares Gleichungssyste < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | I [mm] $2*M_{11} [/mm] + [mm] M_{12} [/mm] = 0$
II [mm] $2*M_{21} [/mm] + [mm] M_{22} [/mm] = 1$
III [mm] $2*M_{31} [/mm] + [mm] M_{32} [/mm] = 3$
IV [mm] $M_{12} [/mm] + [mm] 2*M_{13} [/mm] = 2$
V [mm] $M_{22} [/mm] + [mm] 2*M_{23} [/mm] = -1$
VI [mm] $M_{32} [/mm] + [mm] 2*M_{33} [/mm] = -1$
VII [mm] $2*M_{11} [/mm] + [mm] 2*M_{12} [/mm] + [mm] 2*M_{13} [/mm] = 2$
VIII [mm] $2*M_{21} [/mm] + [mm] 2*M_{22} [/mm] + [mm] 2*M_{23} [/mm] = 0$
X [mm] $2*M_{31} [/mm] + [mm] 2*M_{32} [/mm] + [mm] 2*M_{33} [/mm] = 2$
Achtung: Mir war hier ein großer Fehler unterlaufen in der Bezeichnung der einzelnen [mm] $M_{ij}$
[/mm]
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Hi,
kann man dieses LGS (lineare Gleichungssystem) überhaupt lösen?
Jedesmal wenn ich etwas von den oben beiden Blöcken umstelle und in eine Zeile vom unteren einsetze, habe ich immer noch 2 unbekannte Variablen in meiner Gleichung.
Wenn ich dann nochmal etwas vom ersten oder zweiten Block umstelle und nochmals in den 3ten (schon bereits teilersetzten Block) einfüge, bekomme ich unwahre Aussagen heraus wie [mm] $2*M_{13} [/mm] - [mm] 4*M_{13}+2*M_{13}=8 \Rightarrow [/mm] (weiter vereinfacht) [mm] \Rightarrow [/mm] 0=8$ Das kann doch auch nicht sein.
Könnt ihr mir einen Tip geben oder evtl. für eine Zeile sagen, was ich tun soll (was ich nach was umstellen soll).
Danke für eure Hilfe!
Gruß Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:43 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Bei näherem Hinsehen hat dieses Lösungssystem keine Lösung.
Schließlich widersprechen sich die Gleichungen (I) bis (III) sowie (IV) bis (VI) . Denn der Term [mm] $2*M_{11}+M_{12}$ [/mm] kann ja nur den Wert $0_$ oder $1_$ annehmen.
Und die restlichen 3 Gleichungen ergeben sich durch Addition der anderen Gleichungen:
(VII) = (I) + (IV)
(VIII) = (II) + (V)
(IX) = (III) + (VI)
Hast Du denn die Aufgabenstellung richtig abgeschrieben? Wie lautet denn die Ausgangsaufgabe?
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | Bestimmen Sie in dem folgenden Fall die lineare Abbildungen $F: [mm] \IR^{n} \to \IR^{m}, [/mm] die jeweils die nachstehenden Gleichungen erfüllen.
$F [mm] \vektor{\vektor{2 \\ 1 \\ 0}}$ [/mm] = [mm] $\vektor{\vektor{0 \\ 1 \\ 3}}$, [/mm] $F [mm] \vektor{\vektor{0 \\ 1 \\ 2}}$ [/mm] = [mm] $\vektor{\vektor{2 \\ -1 \\ -1}}$, [/mm] $F [mm] \vektor{\vektor{2 \\ 2 \\ 2}}$ [/mm] = [mm] $\vektor{\vektor{2 \\ 0 \\ 2}}$, [/mm] |
So hieß die Aufgabenstellung ursprünglich mal.
Unser Übungsleiter hatte mit uns so eine ähnliche Aufgabe durchgerechnet und da haben wir diese LGS´s aufgestellt und konnten damit eine Matrix bilden bzw. die Matrix bilden die zu den Vektoren passt.
Jetzt habe ich da eine zwei andere Aufgaben gerechnet und komme auf das selbe Ergebnis wie er. Also hat das geklappt. Jetzt habe ich die dritte Aufgabe versucht zu rechnen (die wir noch nicht besprochen hatten) und er meinte, dass es da auch mit einem LGS funktioniert.
Leider komme ich auf kein Ergebnis.
Kann man die Aufgabe anders lösen?
Gruß Thomas
Danke!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Sa 16.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo Thomas,
> Bestimmen Sie in dem folgenden Fall die lineare Abbildungen
> $F: [mm]\IR^{n} \to \IR^{m},[/mm] die jeweils die nachstehenden
> Gleichungen erfüllen.
>
> [mm]F \vektor{\vektor{2 \\ 1 \\ 0}}[/mm] = [mm]\vektor{\vektor{0 \\ 1 \\ 3}}[/mm],
> [mm]F \vektor{\vektor{0 \\ 1 \\ 2}}[/mm] = [mm]\vektor{\vektor{2 \\ -1 \\ -1}}[/mm],
> [mm]F \vektor{\vektor{2 \\ 2 \\ 2}}[/mm] = [mm]\vektor{\vektor{2 \\ 0 \\ 2}}[/mm],
>
> So hieß die Aufgabenstellung ursprünglich mal.
Eine andere Lösungsvariante ist (die Aufgabe ist ja theoretisch schon gelöst), auszunutzen, dass eine lineare Abbildung eindeutig durch ihre Bilder der Basisvektoren bestimmt ist.
Nun bilden die drei Vektoren [mm] $\vektor{2 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 2},\vektor{2 \\ 2 \\ 2}$ [/mm] keine Basis, da offensichtlich [mm] $\vektor{2 \\ 1 \\ 0}+\vektor{0 \\ 1 \\ 2}=\vektor{2 \\ 2 \\ 2}$.
[/mm]
Immerhin gilt auch $F [mm] \vektor{\vektor{2 \\ 1 \\ 0}}+F \vektor{\vektor{0 \\ 1 \\ 2}}=F \vektor{\vektor{2 \\ 2 \\ 2}}$ [/mm] (nachrechnen!), so dass die dritte Gleichung überflüssig ist, da sie nicht widersprüchlich ist.
Die beiden Vektoren [mm] $\vektor{2 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 2}$ [/mm] sind linear unabhängig, woraus nun insgesamt folt: Es gibt eine solche Abbildung F, allerdings ist sie nicht eindeutig bestimmt. Es gibt also unendlich viele Abbildungen mit den verlangten Eigenschaften.
Ich versuche nun, die Bilder der Standardbasisvektoren unter F zu bestimmen (weil ich dann sehr einfach eine Abbildungsmatrix angeben kann)
Dazu ergänze ich zunächst [mm] $\vektor{2 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 2}$ [/mm] zu einer Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] mit dem Vektor [mm] $\vektor{0 \\ 0 \\ 1}$ [/mm] (lineare Unabhängigkeit nachrechnen!) und kann das Bild dieses Vektors unter F nun beliebig vorgeben (es ist nicht durch die vorgegebenen Eigenschaften eingeschränkt:
[mm] $F\left(\vektor{0\\0\\1}\right)=\vektor{x\\y\\z}$
[/mm]
Nun also zu den Bildern der Standardbasis.
Es gilt:
[mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=\bruch{1}{2}*\vektor{2 \\ 1 \\ 0}-\bruch{1}{2}*\vektor{0 \\ 1 \\ 2}+1*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}$
[/mm]
[mm] $\vektor{0 \\ 1 \\ 0}=0*\vektor{2 \\ 1 \\ 0}+1*\vektor{0 \\ 1 \\ 2}-2*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}$
[/mm]
[mm] $\vektor{0 \\ 0 \\ 1}=0*\vektor{2 \\ 1 \\ 0}+0*\vektor{0 \\ 1 \\ 2}+1*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}$
[/mm]
Da F linear sein soll, gilt nun auch
[mm] $F\left(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}\right)=\bruch{1}{2}*F\left(\vektor{2 \\ 1 \\ 0}\right)-\bruch{1}{2}*F\left(\vektor{0 \\ 1 \\ 2}\right)+1*F\left(\vektor{0 \\ 0 \\ 1}\right)=\bruch{1}{2}*\vektor{0 \\ 1 \\ 3}-\bruch{1}{2}*\vektor{2 \\ -1 \\ -1}+1*\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{-1+x\\1+y\\2+z}$
[/mm]
[mm] $F\left(\vektor{0 \\ 1 \\ 0}\right)=0*F\left(\vektor{2 \\ 1 \\ 0}\right)+1*F\left(\vektor{0 \\ 1 \\ 2}\right)-2*F\left(\vektor{0 \\ 0 \\ 1}\right)=0*\vektor{0 \\ 1 \\ 3}+1*\vektor{2 \\ -1 \\ -1}-2*\vektor{x \\ y \\ z}=\vektor{2-2x\\-1-2y\\-1-2z}$
[/mm]
[mm] $F\left(\vektor{0 \\ 0 \\ 1}\right)=\ldots=\vektor{x \\ y \\ z}$ [/mm] (klar)
Wir erhalten damit die schöne Abbildungsmatrix
[mm] $A_{x,y,z}=\pmat{-1+x & 2-2x & x \\ 1+y & -1-2y & y \\ 2+z & -1-2z & z}$
[/mm]
Jede beliebige Wahl von x,y,z liefert eine lineare Abbildung mit den verlangten Eigenschaften:
[mm] $F\left(\vektor{x_1 \\ x_2 \\x_3}\right)=\pmat{-1+x & 2-2y & x \\ 1+y & -1-2x & y \\ 2+z & -1-2z & z}\vektor{x_1 \\ x_2 \\x_3}$ [/mm] für [mm] $x,y,z\in\IR$
[/mm]
Sogar eine (unvollständige) Probe ist erfolgreich:
[mm] $F\left(\vektor{2 \\ 1 \\0}\right)=\pmat{-1+x & 2-2y & x \\ 1+y & -1-2x & y \\ 2+z & -1-2z & z}\vektor{2 \\ 1 \\ 0}=\vektor{2(-1+x)+1(2-2x) + 0*x \\ 2(1+y)+1(-1-2y)+0*y \\ 2*(2+z)+1*(-1-2z)+0z}=\vektor{0 \\ 1 \\ 3}$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:05 Sa 02.12.2006 | | Autor: | KnockDown |
Hi, sorry ich mir ist da ein großer Fehler in der Aufgabenstellung unterlaufen! Ich habe das die ganze zeit nicht gemerkt, da ich intuitiv immer die richtigen Zeilen miteinander Gleichgestellt/Addiert/Eingesetzt habe!
Ich habe das eben gesehen dass mir in den Indexen ein Fehler unterlaufen ist! Deshalb wiedersprachen sich die Aussagen!
Ich habe das ganze jetzt korrigiert!
Kan man das ganze jetzt lösen?
Danke für die Hilfe!
Gruß Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Sa 16.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo KnockDown,
> I [mm]2*M_{11} + M_{12} = 0[/mm]
> II [mm]2*M_{21} + M_{22} = 1[/mm]
>
> III [mm]2*M_{31} + M_{32} = 3[/mm]
>
> IV [mm]M_{12} + 2*M_{13} = 2[/mm]
> V [mm]M_{22} + 2*M_{23} = -1[/mm]
>
> VI [mm]M_{32} + 2*M_{33} = -1[/mm]
>
> VII [mm]2*M_{11} + 2*M_{12} + 2*M_{13} = 2[/mm]
> VIII
> [mm]2*M_{21} + 2*M_{22} + 2*M_{23} = 0[/mm]
> X [mm]2*M_{31} + 2*M_{32} + 2*M_{33} = 2[/mm]
>
>
> Achtung: Mir war hier ein großer Fehler unterlaufen in der
> Bezeichnung der einzelnen [mm]M_{ij}[/mm]
>
>
> Hi,
>
> kann man dieses LGS (lineare Gleichungssystem) überhaupt
> lösen?
>
> Jedesmal wenn ich etwas von den oben beiden Blöcken
> umstelle und in eine Zeile vom unteren einsetze, habe ich
> immer noch 2 unbekannte Variablen in meiner Gleichung.
> Wenn ich dann nochmal etwas vom ersten oder zweiten Block
> umstelle und nochmals in den 3ten (schon bereits
> teilersetzten Block) einfüge, bekomme ich unwahre Aussagen
> heraus wie [mm]2*M_{13} - 4*M_{13}+2*M_{13}=8 \Rightarrow (weiter vereinfacht) \Rightarrow 0=8[/mm]
> Das kann doch auch nicht sein.
>
> Könnt ihr mir einen Tip geben oder evtl. für eine Zeile
> sagen, was ich tun soll (was ich nach was umstellen soll).
Du solltest das LGS anders zusammenstellen, so dass Du drei (separate) LGS mit drei Gleichungen und drei Variablen erhältst:
I
IV
VII
II
V
VIII
III
VI
IX
Die einzelnen LGS kannst Du dann recht schnell mit dem Gauß-Algorithmus lösen.
Viele Grüße,
Marc
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