LGS durch Gauß lösen < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:18 Mi 29.03.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Lösungsmenge L des LGS und stellen Sie L mithilfe von Lösungen der zugehörigen homogenen LGS dar. |
Hallo!
Das verstehe ich überhaupt nicht, also die LGS lauten
6w+6x+20y+2z = 12
2w+2x+4y+z = 0
16y-2z = 24
6w+6x+28y+z = 24
Ich habe es nicht gelöst, da mich die Lösung verunsichert
diese lautet
L = { [mm] (-3;0;1,5;0)+s(-1,5;0;\bruch{1}{8};1)+t(-1;1;0;0) [/mm] | s,t element IR }
Was heißt das? Ich habe mich an dem LGS mal versucht, kriege aber kein sinnvolles Ergebnis, was bedeutet hier also dieses L? wo kommt auf einmal das s und das t her????
Grüße Phoney
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
> Bestimmen Sie die Lösungsmenge L des LGS und stellen Sie L
> mithilfe von Lösungen der zugehörigen homogenen LGS dar.
> Hallo!
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> Das verstehe ich überhaupt nicht, also die LGS lauten
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> 6w+6x+20y+2z = 12
> 2w+2x+4y+z = 0
> 16y-2z = 24
> 6w+6x+28y+z = 24
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> Ich habe es nicht gelöst, da mich die Lösung verunsichert
> diese lautet
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> L = { [mm](-3;0;1,5;0)+s(-1,5;0;\bruch{1}{8};1)+t(-1;1;0;0)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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> s,t element IR }
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> Was heißt das? Ich habe mich an dem LGS mal versucht,
> kriege aber kein sinnvolles Ergebnis, was bedeutet hier
> also dieses L? wo kommt auf einmal das s und das t her????
Hat mich auf den ersten Blick auch gewundert. Aber wenn du mal die Determinante der zugehörigen Matrix betrachtest, merkst du, dass diese =0 ist, womit das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist. Du hast also mindestens eine Zeile, die von den anderen linear abhängig ist, und somit schätzungsweise nur drei ("relevante") Gleichungen, aber vier Unbekannte, wodurch sich eine "unendliche" Lösungsmenge ergibt. Und diese kann man eben in Abhängigkeit von s und t angeben.
Hast du es denn mal mit dem Einsetzungsverfahren probiert? Da müsstest du eigentlich eine Lösung erhalten. Poste doch am besten mal die Rechenschritte dazu. Mir ist das zu viel zu schreiben, außerdem muss ich jetzt gleich mal Mittagessen gehen, sonst macht die Mensa zu. Vielleicht später noch etwas mehr, aber wäre schon schön, wenn du's mal mit dem Einsetzungsverfahren versuchst, wenigstens den Anfang, notfalls mache ich dann den Rest.
Viele Grüße und guten Appetit 
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Mi 29.03.2006 | | Autor: | Phoney |
Ohne viel Worte, ich fange gleich mal an.
I 6w+6x+20y+2z = 12
II 2w+2x+4y+z = 0
III 16y-2z = 24
IV 6w+6x+28y+z = 24
I 6w+6x+20y+2z = 12 | -6x | -20y |-2z |:6
w= 2-x - [mm] \bruch{10}{3}y-\bruch{1}{3}z
[/mm]
in II, III, IV eingesetzt
II 2(2-x - [mm] \bruch{10}{3}y-\bruch{1}{3}z)+2x+4y+z [/mm] = 0
III 16y-2z = 24
IV 6( 2-x - [mm] \bruch{10}{3}y-\bruch{1}{3}z) [/mm] +6x+28y+z = 24
vereinfacht
II [mm] 4-2x-\bruch{20}{3}y-\bruch{2}{3}z+2x+4y+z [/mm] = 0
III 16y-2z = 24
IV 12 -6x -20y -2z +6x+28y+z = 24
ich addiere nun alles mal zusammen, die ganzen Y und z etc und stelle alles nach 0 um (außer III ).
II [mm] 4-\bruch{8}{3}y+\bruch{1}{3}z [/mm] = 0
III 16y-2z = 24 [mm] \rightarrow [/mm] z = -12+8y
IV -12 +8y - z
Ich sehe schon eine lineare Abhängigkeit zwischen II und IV
II [mm] 4-\bruch{8}{3}y+\bruch{1}{3}z [/mm] = 0
IV -12 +8y - z
III 16y-2z = 24 [mm] \rightarrow [/mm] z = -12+8y
So viel zum Anfang, inwiefern hilft mir das?
Viele Grüße Phoney
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Hey, hallo,
das ist ja schon super! 
> Ohne viel Worte, ich fange gleich mal an.
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> I 6w+6x+20y+2z = 12
> II 2w+2x+4y+z = 0
> III 16y-2z = 24
> IV 6w+6x+28y+z = 24
>
> I 6w+6x+20y+2z = 12 | -6x | -20y |-2z |:6
> w= 2-x - [mm]\bruch{10}{3}y-\bruch{1}{3}z[/mm]
>
> in II, III, IV eingesetzt
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> II 2(2-x - [mm]\bruch{10}{3}y-\bruch{1}{3}z)+2x+4y+z[/mm] = 0
> III 16y-2z = 24
> IV 6( 2-x - [mm]\bruch{10}{3}y-\bruch{1}{3}z)[/mm] +6x+28y+z = 24
>
> vereinfacht
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> II [mm]4-2x-\bruch{20}{3}y-\bruch{2}{3}z+2x+4y+z[/mm] = 0
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> III 16y-2z = 24
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> IV 12 -6x -20y -2z +6x+28y+z = 24
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> ich addiere nun alles mal zusammen, die ganzen Y und z etc
> und stelle alles nach 0 um (außer III ).
>
> II [mm]4-\bruch{8}{3}y+\bruch{1}{3}z[/mm] = 0
>
> III 16y-2z = 24 [mm]\rightarrow[/mm] z = -12+8y
>
> IV -12 +8y - z
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> Ich sehe schon eine lineare Abhängigkeit zwischen II und
> IV
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> II [mm]4-\bruch{8}{3}y+\bruch{1}{3}z[/mm] = 0
>
> IV -12 +8y - z
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> III 16y-2z = 24 [mm]\rightarrow[/mm] z = -12+8y
>
> So viel zum Anfang, inwiefern hilft mir das?
Hab' nur den Anfang nachgerechnet, gehe aber davon aus, dass es stimmt und habe mal damit weitergerechnet. Und zwar kannst du doch dein z jetzt in die allererste Gleichung einsetzen:
[mm] w=2-x-\bruch{10}{3}x-\bruch{1}{3}z
[/mm]
[mm] \gdw w=2-x-\bruch{10}{3}x-\bruch{1}{3}(-12+8y)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ... [mm] \gdw [/mm] w=6-x-6y
Wenn du das, und das z, noch in die zweite Gleichung einsetzt, siehst du, dass auch die zweite Gleichung linear abhängig ist und somit auch rausfällt. Was übrig bleibt sind die beiden Gleichungen
z=-12+8y und w=6-x-6y
Damit könntest du schon mal als Lösungsmenge schreiben:
[mm] \IL=\{(w,x,y,z)|w=6-x-6y; z=-12+8y; x,y\in\IR\}
[/mm]
So schreibe ich das jedenfalls immer - das müsste eigentlich ok sein so.
Und nun sollst du diese Lösung noch mithilfe von Lösungen der zugehörigen homogenen LGS darstellen. Allgemein gilt nämlich: Die Lösung eines inhomogenen LGS ist eine spezielle Lösung dieses plus die Lösungsgesamtheit des homogenen LGS, wenn ich mich recht erinnere. Das heißt, du musst eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems finden und dann die Lösung des zugehörigen homogenen Systems bestimmen. Eine Lösung des inhomogenen System findest du ganz einfach, in dem du x und y frei wählst, und mit dem oben berechneten das zugehörige w und z berechnest. In deinem Beispiel wurde wohl gewählt:
x=0
y=1,5
daraus ergibt sich dann:
w=6-x-6y=6-0-6*1,5=6-9=-3
z=-12+8*y=-12+8*1,5=-12+12=0
Somit ist eine spezielle Lösung des inhomogenen LGS (-3;0;1,5;0).
Nun musst du noch die Lösung des homogenen LGS bestimmen. Ich denke, du weißt wie das geht. Ich habe mal die letzte Zeile minus die erste gerechnet und für die zweite Zeile die erste minus dreimal die zweite. Dann ergibt sich direkt, dass die letzte und die zweite Zeile gleich sind, und die dritte von diesen beiden abhängt. Also hat man noch übrig:
$6w+6x+20y+2z=0$
$8y-z=0$
Aus der letzten Gleichung ergibt sich: z=8y
wählen wir y=0 so folgt z=0 und zusammen mit der ersten Gleichung folgt dann w=-x. Wir hätten also als eine Lösung des homogenen Systems (wählen wir x=1) (-1;1;0;0) (erkennst du's wieder? ). Wählen wir nun z. B. [mm] y=\bruch{1}{8} [/mm] so erhalten wir z=1, und mithilfe der ersten Gleichung kannst du dann wiederum w und x bestimmen. Allerdings scheint mir das mit deiner Lösung nicht hinzukommen, hast du dich vielleicht verschrieben? Jedenfalls ist deine angegebene Lösung (also der zweite Vektor) keine Lösung des homogenen Systems, oder ich habe ein Brett vorm Kopf. ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
Ich hoffe, das hat geholfen?
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Mi 29.03.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo Bastiane.
> Ich hoffe, das hat geholfen?
Jau, das war eine super gute ausführliche Antwort. Ich schiebe die Aufgabe trotzdem mal beiseite, so ganz steige ich nämlich nicht hinter das Prinzip..
Vielen dank aber für die klasse Antwort!
Grüße
Phoney
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