LGS lösen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Fr 18.07.2008 | | Autor: | dbzworld |
Hallo ich habe zwar die Lösung für ein LGS, finde aber nicht den Weg dorthin:
es ist gegeben:
x+y=1
und [mm] \bruch{1-\wurzel{5}}{2}*x+\bruch{1+\wurzel{5}}{2}*y=3
[/mm]
ins LGS eingesetzt
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1\\ \bruch{1-\wurzel{5}}{2} & \bruch{1+\wurzel{5}}{2} & 3}
[/mm]
laut Lösung kommt raus:
[mm] x=\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}\wurzel{5}
[/mm]
[mm] y=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}\wurzel{5}
[/mm]
mein Ansatz fängt damit an, dass ich die zweite Zeile mal 2 nehme und dann von der zweiten Zeile [mm] -(1-\wurzel{5}) [/mm] mal die erste Zeile abziehe. Aber danach kommt nur "Müll" raus ich komme einfach nicht zur gegebenen Lösung. Kann einer so nett sein und mir den Ansatz für y zeigen?
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Fr 18.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo ich habe zwar die Lösung für ein LGS, finde aber
> nicht den Weg dorthin:
>
> es ist gegeben:
> x+y=1
> und [mm]\bruch{1-\wurzel{5}}{2}*x+\bruch{1+\wurzel{5}}{2}*y=3[/mm]
Mache es doch idiotensicher. Stelle die erste Gleichung nach y um und setze in die zweite ein:
y=1-x
[mm]\bruch{1-\wurzel{5}}{2}*x+\bruch{1+\wurzel{5}}{2}*(1-x)=3[/mm]
Das vereinfacht sich zu [mm]-\wurzel{5}*x+\bruch{1+\wurzel{5}}{2}=3[/mm]
Gruß Abakus
>
> ins LGS eingesetzt
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1\\ \bruch{1-\wurzel{5}}{2} & \bruch{1+\wurzel{5}}{2} & 3}[/mm]
>
> laut Lösung kommt raus:
> [mm]x=\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}\wurzel{5}[/mm]
> [mm]y=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}\wurzel{5}[/mm]
>
> mein Ansatz fängt damit an, dass ich die zweite Zeile mal 2
> nehme und dann von der zweiten Zeile [mm]-(1-\wurzel{5})[/mm] mal
> die erste Zeile abziehe. Aber danach kommt nur "Müll" raus
> ich komme einfach nicht zur gegebenen Lösung. Kann einer so
> nett sein und mir den Ansatz für y zeigen?
> danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Fr 18.07.2008 | | Autor: | dbzworld |
[mm] $\bruch{1-\wurzel{5}}{2}\cdot{}x+\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\cdot{}(1-x)=3$
[/mm]
Das vereinfacht sich zu $ [mm] -\wurzel{5}\cdot{}x+\bruch{1+\wurzel{5}}{2}=3$
[/mm]
diesen Schritt kann ich leider nicht nachvollziehen:
es ist doch nach der ersten Zeile
[mm] $\bruch{1-\wurzel{5}}{2}\cdot{}x+\bruch{1+\wurzel{5}-\wurzel{5}x}{2}$
[/mm]
= [mm] $\bruch{1-\wurzel{5}x}{2}+\bruch{1+\wurzel{5}-\wurzel{5}x}{2}$
[/mm]
= [mm] $\bruch{2+\wurzel{5}-2\wurzel{5}x}{2}$
[/mm]
wenn ich dann $ [mm] -\wurzel{5}\cdot{}x+\bruch{1+\wurzel{5}}{2}=3 [/mm] $ hätte
wäre es doch = $ [mm] -\wurzel{5}\cdot{}x+\bruch{1+\wurzel{5}}{2}=3 [/mm] $ | [mm] +\wurzel{5} [/mm] | - [mm] \bruch{1+\wurzel{5}}{2}
[/mm]
=> x = [mm] \wurzel{5} [/mm] - [mm] \bruch{1+\wurzel{5}}{2}
[/mm]
x = [mm] \bruch{2\wurzel{5}-1+\wurzel{5}}{2}
[/mm]
x = [mm] \bruch{3\wurzel{5}-1}{2}
[/mm]
was aber nicht die Lösung wäre...wo ist mein Denkfehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 Fr 18.07.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
>[mm]\bruch{1-\wurzel{5}}{2}\cdot{}x+\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\cdot{}(1-x)=3[/mm]
> Das vereinfacht sich zu
> [mm]-\wurzel{5}\cdot{}x+\bruch{1+\wurzel{5}}{2}=3[/mm]
> diesen Schritt kann ich leider nicht nachvollziehen:
> es ist doch nach der ersten Zeile
>
> [mm]\bruch{1-\wurzel{5}}{2}\cdot{}x+\bruch{1+\wurzel{5}-\wurzel{5}x}{2}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1-\wurzel{5}x}{2}+\bruch{1+\wurzel{5}-\wurzel{5}x}{2}[/mm]
> = [mm]\bruch{2+\wurzel{5}-2\wurzel{5}x}{2}[/mm]
also, es ist [mm] \bruch{1-\wurzel{5}}{2}\cdot{}x+\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\cdot{}(1-x)=3
[/mm]
Betrachten wir einmal den linken Teil:
[mm] \bruch{1-\wurzel{5}}{2}\cdot{}x+\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\cdot{}(1-x)
[/mm]
[mm] =\bruch{1-\wurzel{5}}{2}\cdot{}x+\bruch{1+\wurzel{5}}{2}\cdot{}1-\bruch{1+\wurzel{5}}{2}*x
[/mm]
[mm] =\red{\bruch{1}{2}*x}\blue{-\bruch{\wurzel{5}}{2}*x}+\bruch{1+\wurzel{5}}{2}-\red{\bruch{1}{2}*x}\blue{-\bruch{\wurzel{5}}{2}*x}
[/mm]
[mm] =2*\blue{-\bruch{\wurzel{5}}{2}*x}+\bruch{1+\wurzel{5}}{2}
[/mm]
[mm] =-\wurzel{5}*x+\bruch{1+\wurzel{5}}{2}
[/mm]
> wenn ich dann [mm]-\wurzel{5}\cdot{}x+\bruch{1+\wurzel{5}}{2}=3[/mm]
> hätte
> wäre es doch =[mm]-\wurzel{5}\cdot{}x+\bruch{1+\wurzel{5}}{2}=3[/mm] |[mm]+\wurzel{5}[/mm] | - [mm]\bruch{1+\wurzel{5}}{2}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Warum [mm] +\wurzel{5}? [/mm] Du hast die Multiplikation übersehen! Es ist
[mm] -\wurzel{5}*x+\bruch{1+\wurzel{5}}{2}=3 \text{ }|-\bruch{1+\wurzel{5}}{2}
[/mm]
[mm] -\wurzel{5}*x=3-\bruch{1+\wurzel{5}}{2} \text{ Wir bringen den rechten Teil auf einen Nenner}
[/mm]
[mm] -\wurzel{5}*x=\bruch{2}{2}*3-\bruch{1+\wurzel{5}}{2}
[/mm]
Dann ist [mm] -\wurzel{5}*x=\bruch{6-1-\wurzel{5}}{2}
[/mm]
[mm] -\wurzel{5}*x=\bruch{5-\wurzel{5}}{2} \text{ |} :(-\wurzel{5}) [/mm]
[mm] x=\bruch{5-\wurzel{5}}{-2*\wurzel{5}} \text{ Jetzt ein wenig umformen!}
[/mm]
[mm] x=\bruch{5-\wurzel{5}}{-2*\wurzel{5}}=\bruch{5}{-2*\wurzel{5}}-\bruch{\wurzel{5}}{-2*\wurzel{5}}=-\bruch{\wurzel{5}}{2}+\bruch{1}{2}=\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}*\wurzel{5}
[/mm]
Dies entspricht auch deiner Lösung. y kannst du jetzt sicher alleine berechnen.
MfG barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:50 Fr 18.07.2008 | | Autor: | dbzworld |
zu viel gelernt heute mache nur noch Fehler...
danke für den Rechenweg, sehr gut erklärt!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Sa 19.07.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hallo ich habe zwar die Lösung für ein LGS, finde aber
> nicht den Weg dorthin:
>
> es ist gegeben:
> x+y=1
> und [mm]\bruch{1-\wurzel{5}}{2}*x+\bruch{1+\wurzel{5}}{2}*y=3[/mm]
>
> ins LGS eingesetzt
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1\\ \bruch{1-\wurzel{5}}{2} & \bruch{1+\wurzel{5}}{2} & 3}[/mm]
>
> laut Lösung kommt raus:
> [mm]x=\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}\wurzel{5}[/mm]
> [mm]y=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}\wurzel{5}[/mm]
>
> mein Ansatz fängt damit an, dass ich die zweite Zeile mal 2
> nehme und dann von der zweiten Zeile [mm]-(1-\wurzel{5})[/mm] mal
> die erste Zeile abziehe. Aber danach kommt nur "Müll" raus
> ich komme einfach nicht zur gegebenen Lösung. Kann einer so
> nett sein und mir den Ansatz für y zeigen?
> danke
ich hätte es so gebastelt:
[mm]\bruch{1-\wurzel{5}}{2}*x+\bruch{1+\wurzel{5}}{2}*y=3[/mm]
mal 2 und ausmultiplizieren ergibt
(1) [mm]x+y+\sqrt{5}(-x+y)=6\to -x+y=\sqrt{5}[/mm]
(2)[mm]x+y=1[/mm]
(1) und (2) addieren liefert y und subtrahieren x
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