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| Aufgabe | a11 * X + a12 * Y = b1
a21 * X + a22 * Y = b2 |
also als erstes kommt ja für Y folgendes raus:
Y = (b2/a22) - (a21*X/a22)
jetzt hängts irgendwie. wie kommt man als nächstes auf :
X = (b1 *a22 - a12*b2) / (a11*a12 - a12*a21)
wenn ich Y einsetzte und nach X auflösen will, dann verzettel ich mich irgendwie dauernd. weiß, keine große aufgabe, aber manchmal scheiterts an kleinen dingen :)
danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Do 27.03.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo
> a11 * X + a12 * Y = b1
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> a21 * X + a22 * Y = b2
> also als erstes kommt ja für Y folgendes raus:
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> Y = (b2/a22) - (a21*X/a22)
Vorsicht. Du darfst nur durch [mm] $a_{22}$ [/mm] teilen, wenn [mm] $a_{22}\neq [/mm] 0$ ist. Aber ich nehme jetzt einmal an, dass [mm] $a_{22}\neq [/mm] 0$ erfüllt ist.
> jetzt hängts irgendwie. wie kommt man als nächstes auf :
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> X = (b1 *a22 - a12*b2) / (a11*a12 - a12*a21)
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> wenn ich Y einsetzte und nach X auflösen will, dann
> verzettel ich mich irgendwie dauernd. weiß, keine große
> aufgabe, aber manchmal scheiterts an kleinen dingen :)
>
> danke schonmal
ich habe es mal flüchtig durchgerechnet, so wie du es getan hast: Es funktioniert. Aber du hast einen Schreibfehler gemacht: Im Nenner muss folgendes stehen
(a11*a22 - a12*a21)
Vorgehensweise dabei ist wie folgt:
[mm] $X\,=\,\frac{b_1-a_{12}\cdot Y}{a_{11}}$
[/mm]
[mm] $=\,\frac{b_1-a_{12}\left(\frac{b_2-a_{21}\cdot X}{a_{22}}\right)}{a_{11}}$
[/mm]
[mm] $=\,\frac{\frac{a_{22}b_1}{a_{22}}-\frac{a_{12}b_2}{a_{22}}+\frac{a_{12}a_{21}\cdot X}{a_{22}}}{a_{11}}$
[/mm]
[mm] $=\,\frac{a_{22}b_1-a_{12}b_2}{a_{11}a_{22}}+\frac{a_{12}a_{21}\cdot X}{a_{11}a_{22}}$
[/mm]
So nun bringen wir den rechten Term auf die linke Seite und klammer $X$ aus
[mm] $\left(1-\frac{a_{12}a_{21}}{a_{11}a_{22}}\right)\cdot X\,=\,\frac{a_{22}b_1-a_{12}b_2}{a_{11}a_{22}}$
[/mm]
Als nächstes dividieren wir durch den Vorfaktor von $X$ und erhalten (wir dividieren zwei Brüche, indem wir den Kehrwert multiplizieren)
[mm] $X\,=\,\frac{\frac{a_{22}b_1-a_{12}b_2}{a_{11}a_{22}}}{\frac{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}{a_{11}a_{22}}}$
[/mm]
[mm] $=\,\frac{a_{22}b_1-a_{12}b_2}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$
[/mm]
So, das ist die Lösung zu Deiner Aufgabe. Die Herleitung der Lösung erfordert jedoch
[mm] $a_{11}\neq [/mm] 0$
[mm] $a_{22}\neq [/mm] 0$
[mm] $\left(1-\frac{a_{12}a_{21}}{a_{11}a_{22}}\right)\neq 0\;\Longleftrightarrow\;a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq [/mm] 0$
da wir ansonsten an den genannten Stellen durch $0$ dividieren.
Gruß
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ah, vielen dank für die antwort
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