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| Aufgabe | Untersuchen Sie für [mm]\alpha, \beta \in \IR[/mm] die folgende Matrix:
[mm]\left(
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 3 & 2 & 9 \\
2 & 4 & 12 & 8 \\
2 & 4 & (\alpha + 7) & 8
\end{matrix}
\left |
\begin{matrix}
1 \\
1 \\
2\beta -2 \\
\beta
\end{matrix}
\right)
\right
[/mm]
Für welche [mm]\alpha, \beta \in \IR[/mm] hat die Matrix:
1.) keine Lösung?
2.) genau eine Lösung? Geben Sie diese an, wenn sie existiert.
3.) eine einparametrige Lösungsschar? Geben Sie diese an, wenn sie existiert.
4.) Hat die Matrix eine zwei- oder dreiparametrige Lösungsschar? Begründen Sie Ihre Aussage. |
Um diese Aufgabe zu lösen, habe ich zuerst einmal die Matrix mit dem Gauß-Algorithmus umgeformt.
1 Zeile - 2 Zeile und 3 Zeile - 4 Zeile und 3 Zeile durch 2 geteilt:
[mm]\left(
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 1 & -1 & 5\\
1 & 2 & 6 & 4 \\
0 & 0 & (\alpha -5) & 0
\end{matrix}
\left |
\begin{matrix}
1 \\
0 \\
\beta -1 \\
\beta +2
\end{matrix}
\right)
\right
[/mm]
Abschließend noch die 1 Zeile - 3 Zeile:
[mm]\left(
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 1 & -1 & 5\\
0 & 0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & (\alpha -5) & 0
\end{matrix}
\left |
\begin{matrix}
1 \\
0 \\
\beta \\
\beta +2
\end{matrix}
\right)
\right
[/mm]
Ich hoffe das stimmt soweit. Nun zu den einzelnen Aufgaben:
1.) Für keine Lösung muss der Rang(A) ungleich Rang(A|b) sein. Dies gilt sofern:
[mm] $\alpha [/mm] = 5$ und [mm] $\beta \ne [/mm] -2$, da dann Rang(A) = 3 und Rang(A|b) = 4
2.) Da dachte ich mir, es kann nur "genau eine Lösung" für ein solches LGS geben, sofern gilt: Rang(A)= Rang(A|b) = x mit $x = n$ bei einer (m x n)-Matrix.
In meinem Fall ist dies eine (4x5) also müssten die beiden Matrizen den Rang 5 haben für "genau eine Lösung". Dies geht aber bei der (4x4)-Matrix A erst garnicht, deshalb -> unmöglich.
3.) Dafür müsste gelten: Rang(A)= Rang(A|b) = x mit $x < n$, dann bekomme ich $n - x$ Parameter in meiner Lösungsmenge, die dann die Lösungsschar bilden. Da $n = 5$ muss [mm] $\apha [/mm] = 5$ und [mm] $\beta [/mm] = -2$ sein, damit die letzte Zeile zur Nullzeile wird und somit der Rang nicht vollbesetzt ist.
Rang(A) = Rang(A|b) = 3, es gilt die Ungleichung $x < n$ -> (3 < 5), sodass ich nur eine zweiparametrige Lösungsschar bekomme und keine einparametrige.
Stimmten meine Gedankengänge soweit? Danke schonmal im Vorraus!
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Hallo MartinNeumann,
mal eine Teilantwort ...
> Untersuchen Sie für [mm]\alpha, \beta \in \IR[/mm] die folgende
> Matrix:
>
> [mm]\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 3 & 2 & 9 \\
2 & 4 & 12 & 8 \\
2 & 4 & (\alpha + 7) & 8 \end{matrix} \left | \begin{matrix} 1 \\
1 \\
2\beta -2 \\
\beta \end{matrix} \right) \right[/mm]
>
> Für welche [mm]\alpha, \beta \in \IR[/mm] hat die Matrix:
> 1.) keine Lösung?
> 2.) genau eine Lösung? Geben Sie diese an, wenn sie
> existiert.
> 3.) eine einparametrige Lösungsschar? Geben Sie diese an,
> wenn sie existiert.
>
> 4.) Hat die Matrix eine zwei- oder dreiparametrige
> Lösungsschar? Begründen Sie Ihre Aussage.
> Um diese Aufgabe zu lösen, habe ich zuerst einmal die
> Matrix mit dem Gauß-Algorithmus umgeformt.
>
> 1 Zeile - 2 Zeile und 3 Zeile - 4 Zeile und 3 Zeile durch
> 2 geteilt:
> [mm]\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 1 & -1 & 5\\
1 & 2 & 6 & 4 \\
0 & 0 & (\alpha -5) & 0 \end{matrix} \left | \begin{matrix} 1 \\
0 \\
\beta -1 \\
\beta +2 \end{matrix} \right) \right[/mm]
>
>
> Abschließend noch die 1 Zeile - 3 Zeile:
> [mm]\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 1 & -1 & 5\\
0 & 0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & (\alpha -5) & 0 \end{matrix} \left | \begin{matrix} 1 \\
0 \\
\beta \\
\red{\beta +2} \end{matrix} \right) \right[/mm]
Das muss doch [mm]\red{-}\beta+2[/mm] lauten, oder?
[mm]\beta-(2\beta-2)=-\beta+2[/mm]
Hier kannst du dann aber nooch weiter eliminieren.
Du kannst doch noch das [mm](5-\alpha)[/mm]-fache von Zeile 3 auf das [mm]3[/mm]-fache von Zeile 4 addieren ...
Oder halt im Falle [mm]\alpha\neq 5[/mm] untersuchen, ob und wie sich für [mm]x_3[/mm] in den Zeilen 3 und 4 dieselbe Lösung ergibt ...
>
>
> Ich hoffe das stimmt soweit. Nun zu den einzelnen
> Aufgaben:
> 1.) Für keine Lösung muss der Rang(A) ungleich Rang(A|b)
> sein. Dies gilt sofern:
> [mm]\alpha = 5[/mm] und [mm]\beta \ne -2[/mm], da dann Rang(A) = 3 und
> Rang(A|b) = 4
Stimmt bis auf den Vorzeichenfehler bei [mm]\beta[/mm]
> 2.) Da dachte ich mir, es kann nur "genau eine Lösung"
> für ein solches LGS geben, sofern gilt: Rang(A)= Rang(A|b)
> = x mit [mm]x = n[/mm] bei einer (m x n)-Matrix.
> In meinem Fall ist dies eine (4x5) also müssten die
> beiden Matrizen den Rang 5 haben für "genau eine Lösung".
> Dies geht aber bei der (4x4)-Matrix A erst garnicht,
> deshalb -> unmöglich.
> 3.) Dafür müsste gelten: Rang(A)= Rang(A|b) = x mit [mm]x < n[/mm],
> dann bekomme ich [mm]n - x[/mm] Parameter in meiner Lösungsmenge,
> die dann die Lösungsschar bilden. Da [mm]n = 5[/mm] muss [mm]\apha = 5[/mm]
> und [mm]\beta = -2[/mm] sein, damit die letzte Zeile zur Nullzeile
> wird und somit der Rang nicht vollbesetzt ist.
> Rang(A) = Rang(A|b) = 3, es gilt die Ungleichung [mm]x < n[/mm] ->
> (3 < 5), sodass ich nur eine zweiparametrige Lösungsschar
> bekomme und keine einparametrige.
>
> Stimmten meine Gedankengänge soweit? Danke schonmal im
> Vorraus!
Gruß
schachuzipus
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Danke für deine Antwort. Es muss [mm] $-\beta$ [/mm] lauten. D.h. meine Matrix sieht nun wiefolgt aus:
[mm]\left(
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 1 & -1 & 5\\
0 & 0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}
\left |
\begin{matrix}
1 \\
0 \\
\beta \\
-8\beta +6+\alpha \beta
\end{matrix}
\right)
\right
[/mm]
D.h. wenn [mm] $-8\beta +6+\alpha \beta [/mm] = 0$ ist, ist der Rang(A) = Rang(A|b) = 3, mit [mm] $\alpha=2$ [/mm] und [mm] $\beta [/mm] = [mm] \frac{6}{8-\alpha}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 So 20.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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